参考高考数学一轮总复习第10章概率与统计第三节随机抽样用样本估计总体AB卷文1.docx
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参考高考数学一轮总复习第10章概率与统计第三节随机抽样用样本估计总体AB卷文1
（参考）2019年高考数学一轮总复习第10章概率与统计第三节随机抽样用样本估计总体AB卷文1
1.（2016·新课标全国Ⅰ，19）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：
元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
（1）若n＝19，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
解
（1）当x≤19时，y＝3800；
当x>19时，y＝3800＋500（x－19）＝500x－5700.
所以y与x的函数解析式为
y＝（x∈N）.
（2）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
（3800×70＋4300×20＋4800×10）＝4000，
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
（4000×90＋4500×10）＝4050.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
2.（2015·新课标全国Ⅱ，18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
8
14
10
6
（1）作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？
说明理由.
解
（1）如图所示：
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.
（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
记CA表示事件：
“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：
“B地区用户的满意度等级为不满意”.
由直方图得P（CA）的估计值为（0.01＋0.02＋0.03）×10＝0.6，
P（CB）的估计值为（0.005＋0.02）×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
3.（2014·新课标全国Ⅰ，18）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标
值分组
[75，85）
[85，95）
[95，105）
[105，115）
[115，125）
频数
6
26
38
22
8
（1）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
解
（1）
（2）质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝（－20）2×0.06＋（－10）2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
4.（2014·新课标全国Ⅱ，19）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：
（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
解
（1）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.
（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.（注：
考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分.）
5.（2013·新课标全国Ⅰ，18）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：
h）.试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根
据两组数据完成右面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解
（1）设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为，由观测结果可得＝（0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5）＝2.3，
＝（0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2）＝1.6
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好.
（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2.3.上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0.1.上，由此可看出A药的疗效更好.
1.（2016·，8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远（单位：
米）
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳（单位：
次）
63
a
75
60
63
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（ ）
A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛
C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛
解析 由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为：
1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人需要从1～8号产生，数据排序后可知第3，6，7号必须进跳绳决赛，另外3人需从63，a，63，60，a－1四个得分中抽取，若63分的人未进决赛，则60分的人就会进入决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛.故选B.
答案 B
2.（2015·四川，3）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A.抽签法B.系统抽样法
C.分层抽样法D.随机数法
解析 结合几种抽样的定义知选C.
答案 C
3.（2015·，4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90B.100
C.180D.300
解析 由题意抽样比为＝，∴该样本的老年教师人数为900×＝180（人）.
答案 C
4.（2014·广东，6）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）
A.50B.40
C.25D.20
解析 由＝25，可得分段的间隔为25.故选C.
答案 C
5.（2014·重庆，3）某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A.100B.150
C.200D.250
解析 样本抽取比例为＝，该校总人数为1500＋3500＝5000，则＝，故n＝100，选A.
答案 A
6.（2014·湖南，3）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（ ）
A.p1＝p2＜p3B.p2＝p3＜p1
C.p1＝p3＜p2D.p1＝p2＝p3
解析 根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样，每个个体被抽到的概率都是p＝，故p1＝p2＝p3，故选D.
答案 D
7.（2013·湖南，3）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（ ）
A.9B.10
C.12D.13
解析 抽样比为＝，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n＝13，故选D.
答案 D
8.（2013·江西，5）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08B.07
C.02D.01
解析 所取的5个体依次为08，02，14，07，01，故选D.
答案 D
9.（2015·福建，13）某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________.
解析 由题意知，男生共有500名，根据分层抽样的特点，在容量为45的样本中男生应抽取人数：
45×＝25.
答案 25
10.（2014·湖北，11）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
解析 分层抽样中各层的抽样比相同.样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件.在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品总数为1800件.
答案 1800
11.（2014·天津，9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.
解析 由分层抽样的特点可得应该从一年级本科生中抽取×300＝60（名）学生.
答案 60
12.（2014·山东，16）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：
件）如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
解
（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.
（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，
{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，
{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.
记事件D：
“抽取的这2件商品来自相同地区”，
则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.
所以P（D）＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
13.（2016·山东，3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：
小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A.56B.60
C.120D.140
解析 由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：
（0.16＋0.08＋0.04）×2.5＝0.7，∴人数是200×0.7＝140人，故选D.
答案 D
14.（2015·陕西，2）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A.93B.123
C.137D.167
解析 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：
110×70%＋150×（1－60%）＝137.故选C.
答案 C
15.（2015·湖南，2）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示
13
0
0
3
4
5
6
6
8
8
8
9
14
1
1
1
2
2
2
3
3
4
4
5
5
5
6
6
7
8
15
0
1
2
2
3
3
3
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（ ）
A.3B.4C.5D.6
解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名.选B.
答案 B
16.（2014·山东，8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A.6B.8
C.12D.18
解析 由题意，第一组和第二组的频率之和为0.24＋0.16＝0.4，故样本容量为＝50，又第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故该组中有疗效的人数为18－6＝12.
答案 C
17.（2013·四川，7）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）
解析 由分组可知C，D一定不对，由茎叶图可知[0，5）有1人，[5，10）有1人，∴第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相同，可排除B.故选A.
答案 A
18.（2015·湖北，14）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：
万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示.
（1）直方图中的a＝________；
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________.
解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解之得a＝3.于是消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为：
0.6×10000＝6000，故应填3，6000.
答案
（1）3
（2）6000
19.（2016·，17）某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.
解
（1）如题图所示，用水量在[0.5，3）的频率的和为：
（0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3）×0.5＝0.85.
∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，
∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.
（2）当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为：
（0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3）×4＋0.15×3×4＋[0.05×（3.5－3）＋0.05×（4－3）＋0.05×（4.5－3）]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5（元）.
即该市居民该月的人均水费估计为10.5元.
20.（2016·四川，16）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：
吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由；
（3）估计居民月均用水量的中位数.
解
（1）由频率分布直方图，可知：
月均用水量在[0，0.5）的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1－（0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02）＝0.5×a＋0.5×a，
解得a＝0.30.
（2）由
（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.
（3）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x－2）＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
21.（2015·安徽，17）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100].
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50）的概率.
解
（1）因为（0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028）×10＝1，所以a＝0.006.
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022＋0.018）×10＝0.4.
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
（3）受访职工中评分在[50，60）的有：
50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40，50）的有：
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