最新幂函数练习题及答案解析.docx

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最新幂函数练习题及答案解析

1．下列幂函数为偶函数的是（

1

A．y＝x2

）

B．y＝3

C．y＝x2

D．y＝x

－1

解析：

选C.y＝x2，定义域为R，f（－x）＝f（x）＝x2.

2．若a<0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是（）

A．5－a<5a<0.5aB．5a<0.5a<5－a

C．0.5a<5－a<5aD．5a<5－a<0.5a

解析：

选B.5－a＝（15）a，因为a<0时y＝xa单调递减，且51<0.5<5，所以5a<0.5a<5－a.

1

3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为（）

A．1,3B．－1,1

C．－1,3D．－1,1,3

1

解析：

选A.在函数y＝x－1，y＝x，y＝x2，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是

R，且是奇函数，故α＝1,3.

1n1n

4．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若（－2）n>（－3）n，则n＝.

解析：

∵－12<－31，且（－21）n>（－31）n，

∴y＝xn在（－∞，0）上为减函数．又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n＝－1或n＝2.

答案：

－1或2

1．函数y＝（x＋4）2的递减区间是（）A．（－∞，－4）B．（－4，＋∞）

C．（4，＋∞）D．（－∞，4）

解析：

选A.y＝（x＋4）2开口向上，关于x＝－4对称，在（－∞，－4）递减．

1

2．幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递增区间是（）

A．（0，＋∞）

C．（－∞，0）解析：

选C.

－21

幂函数为y＝x－2＝x2，偶函数图象如图．

x

3．给出四个说法：

1当n＝0时，y＝xn的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点（0,0），（1,1）；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n<0.其中正确的说法个数是（）

A．1

C．3解析：

B．2

D．4

1

选B.显然①错误；②中如y＝x－12的图象就不过点（0,0）．根据幂函数的图象可知

③、④正确，故选B.

4．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使f（x）＝xα为奇函数且在（0，＋∞）上单调232

递减的α的值的个数是（）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选A.∵f（x）＝xα为奇函数，∴α＝－1，31，1,3.

又∵f（x）在（0，＋∞）上为减函数，

∴α＝－1.

3

5．使（3－2x－x2）4有意义的x的取值范围是（）

A．R43－2x－x23

∴要使上式有意义，需3－2x－x2>0，

解得－3

6．函数f（x）＝（m2－m－1）xm2－2m－3是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上是减函数，则实数＝（）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m－3<0，经检验得m＝2.

α1

7．关于x的函数y＝（x－1）α（其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，2）的图象恒过点

解析：

当x－1＝1，即x＝2时，无论α取何值，均有1α＝1，

∴函数y＝（x－1）α恒过点（2,1）．

答案：

（2,1）

8．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是．

解析：

∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，∴y＝xα在（0，＋∞）为减函数．答案：

α<0

9．把（32）－3，（53）2，（25）2，（67）0按从小到大的顺序排列

解析：

（67）0＝1，（32）－3>（23）0＝1，

（35）2<1，（52）2<1，

1

∵y＝x21为增函数，

21317021∴（25）2<（53）2<（67）0<（23）－3.答案：

（25）2<（35）2<（67）0<（32）3

－2

2

x≠1.令t＝x－1，则y＝t－3，t≠0为偶

10．求函数y＝（x－1）－3的单调区间．

解：

y＝（x－1）－3＝12＝1，定义域为

x－133x－12

函数．

2－2

因为α＝－23<0，所以y＝t－3在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上单调递增．又t＝x

3

2

－1单调递增，故y＝（x－1）－3在（1，＋∞）上单调递减，在（－∞，1）上单调递增．

11

11．已知（m＋4）－2<（3－2m）－2，求m的取值范围．

－1

解：

∵y＝x－2的定义域为（0，＋∞），且为减函数．

m＋4>0

∴原不等式化为3－2m>0，

m＋4>3－2m解得－1

32

13

∴m的取值范围是（－13，32）．

32

12．已知幂函数y＝xm2＋2m－3（m∈Z）在（0，＋∞）上是减函数，求y的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．

解：

由幂函数的性质可知

m2＋2m－3<0?

（m－1）（m＋3）<0?

－3

又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0.

当m＝0或m＝－2时，y＝x－3，

定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．

∵－3<0，

∴y＝x－3在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，

－3－3

又∵f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），

∴y＝x－3是奇函数．

当m＝－1时，y＝x－4，定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．

－411－4

∵f（－x）＝（－x）－4＝14＝14＝x－4＝f（x），

－x4x

∴函数y＝x－4是偶函数．

∵－4<0，∴y＝x－4在（0，＋∞）上是减函数，

又∵y＝x－4是偶函数，

∴y＝x－4在（－∞，0）上是增函数．

1．

A．

C．

下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）1

y＝x3B．

5

y＝x3

D．

1y＝x2

2

y＝x3

解析：

选D.y＝x3＝3x2，其定义域为R，值域为[0，＋∞），故定义域与值域不同．

2．如图，图中曲线是幂函数

y＝xα在第一象限的大致图象．已知α取－2，－21，21，2

四个值，

A．

C．

则相应于曲线C1，

－1，1，2

－2，2，2

1－2,2，12

－2，

1

－2，

C2，

C3，C4的α的值依次为（

1

2，

B．2，12，

1

D．2，2，

1

－2，

－2

22

1

y＝x2，

解析：

选B.当x＝2时，

即C1：

y＝x2，C2：

1

>22>2－2>2－2，

1

2，

－－2

C3：

y＝x2，C4：

y＝x.

3．以下关于函数y＝xα当

A．一条直线

B．一条射线

C．除点（0,1）以外的一条直线

D．以上皆错解析：

选C.∵y＝x0，可知x≠0，∴y＝x0的图象是直线y＝1挖去（0,1）点．4．函数f（x）＝（1－x）0＋（1－x）21的定义域为

1－x≠0

解析：

，∴x<1.

1－x≥0

答案：

（－∞，1）

α＝0时的图象的说法正确的是（）

2

1．已知幂函数f（x）的图象经过点（2，2），则f（4）的值为（）

B.1

B.16

A．16

1

C.12

D．2

解析：

选C.设f（x）＝xn，则有2n＝22，解得n＝－21，

1

即f（x）＝x－2，

所以f（4）＝4－2＝21.

{x|x>0}的是（）

B．y＝x2

3

D．y＝x4

2．下列幂函数中，定义域为

2

A．y＝x3

1

C．y＝x3

3

4＝

2323311解析：

选D.A.y＝x3＝3x2，x∈R；B.y＝x2＝x3，x≥0；C.y＝x－3＝1，x≠0；3x

D.y＝x

1

，x>0.

4x3

3．已知幂函数的图象y＝xm2－2m－3（m∈Z，x≠0）与x，y轴都无交点，且关于

y轴对

称，则m为（）

A．－1或1B．－1,1或3

C．1或3D．3

解析：

选B.因为图象与x轴、y轴均无交点，所以m2－2m－3≤0，即－1≤m≤3.又图象关于y轴对称，且m∈Z，所以m2－2m－3是偶数，∴m＝－1,1,3.故选B.

4．下列结论中，正确的是（）

①幂函数的图象不可能在第四象限

2α＝0时，幂函数y＝xα的图象过点（1,1）和（0,0）

3幂函数y＝xα，当α≥0时是增函数

4幂函数y＝xα，当α<0时，在第一象限内，随x的增大而减小

A．①②B．③④

C．②③D．①④

解析：

选D.y＝xα，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y＝x2在（－∞，0）上为减函数，①④正确．

5．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有（）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：

选B.y＝x2与y＝x0是幂函数．

6．幂函数f（x）＝x满足x>1时f（x）>1，则α满足条件（）

A．α>1B．0<α<1

C．α>0D．α>0且α≠1

解析：

选A.当x>1时f（x）>1，即f（x）>f

（1），f（x）＝xα为增函数，且α>1.

7．幂函数f（x）的图象过点（3，3），则f（x）的解析式是．

11

解析：

设f（x）＝xα，则有3α＝3＝32?

α＝12.

1

答案：

f（x）＝x2

8．设x∈（0,1）时，y＝xp（p∈R）的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是

解析：

结合幂函数的图象性质可知p<1.

答案：

p<1

9．如图所示的函数F（x）的图象，由指数函数f（x）＝ax与幂函数g（x）＝xα“拼接”而成，则aa、aα、αa、αα按由小到大的顺序排列为．

解析：

依题意得a4＝12

单调递增知aα<αα

答案：

aα<αα

10．函数f（x）＝（m2－m－5）xm－1是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，试确定m的值．

解：

根据幂函数的定义得：

m2－m－5＝1，

解得m＝3或m＝－2，

当m＝3时，f（x）＝x2在（0，＋∞）上是增函数；

当m＝－2时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，不符合要求．故m＝3.

11．已知函数f（x）＝（m2＋2m）·xm2＋m－1，m为何值时，f（x）是：

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数？

解：

（1）若f（x）为正比例函数，

2

m2＋m－1＝1

则2?

m＝1.

m2＋2m≠0

（2）若f（x）为反比例函数，

m2＋m－1＝－1则2?

m＝－1.

m2＋2m≠0

（3）若f（x）为二次函数，m2＋m－1＝2则2?

m2＋2m≠0

（4）若f（x）为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±2.

y轴对称，求

12．已知幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共点，且关于m的值，并画出它的图象．

解：

由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.

当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意．

y＝x0，其图象如图

（1）．

∴m＝±1或m＝3.当m＝－1或m＝3时，有当m＝1时，y＝x－4，其图象如图

（2）．

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