高中数学所有的公式.docx
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高中数学所有的公式
高中数学常用公式及结论
1元素与集合的关系:
.
2集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个.
3二次函数的解析式的三种形式：
（1）一般式;
（2）顶点式;（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式）
（3）零点式；（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式）
（4）切线式：
。
（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式）
4真值表：
同真且真，同假或假
5常见结论的否定形式;
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有
个
至多有（
）个
小于
不小于
至多有
个
至少有（
）个
对所有
，成立
存在某
，不成立
或
且
对任何
，不成立
存在某
，成立
且
或
6四种命题的相互关系（下图）:
（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）
原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
充要条件：
（1）、，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；
（2）、，且q≠>p，则P是q的充分不必要条件；
（3）、p≠>p，且，则P是q的必要不充分条件；
4、p≠>p，且q≠>p，则P是q的既不充分又不必要条件。
7函数单调性:
增函数：
（1）、文字描述是：
y随x的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：
设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有
成立，则就叫f（x）在xD上是增函数。
D则就是f（x）的递增区间。
减函数：
（1）、文字描述是：
y随x的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：
设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有
成立，则就叫f（x）在xD上是减函数。
D则就是f（x）的递减区间。
单调性性质：
（1）、增函数+增函数=增函数；
（2）、减函数+减函数=减函数；
（3）、增函数-减函数=增函数；（4）、减函数-增函数=减函数；
注：
上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
函数单调
单调性
内层函数
↓
↑
↑
↓
外层函数
↓
↑
↓
↑
复合函数
↑
↑
↓
↓
等价关系：
（1）设那么
上是增函数；
上是减函数.
（2）设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
8函数的奇偶性：
（注：
是奇偶函数的前提条件是：
定义域必须关于原点对称）
奇函数：
定义：
在前提条件下，若有，
则f（x）就是奇函数。
性质：
（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0.
偶函数：
定义：
在前提条件下，若有，则f（x）就是偶函数。
性质：
（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：
（1）、奇函数·偶函数=奇函数；
（2）、奇函数·奇函数=偶函数；
（3）、偶奇函数·偶函数=偶函数；（4）、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
（5）、偶函数±偶函数=偶函数；（6）、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
9函数的周期性：
定义：
对函数f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
（1）、f（x+T）=-f（x），此时周期为2T；
（2）、f（x+m）=f（x+n），此时周期为2；
（3）、，此时周期为。
10常见函数的图像：
11对于函数（）,恒成立,则函数的对称轴是;两个函数与的图象关于直线对称.
12分数指数幂与根式的性质：
（1）（，且）.
（2）（，且）.
（3）.
（4）当为奇数时，；当为偶数时，.
13指数式与对数式的互化式:
.
指数性质：
（1）1、；
（2）、（）；（3）、
（4）、；（5）、；
指数函数：
（1）、在定义域内是单调递增函数；
（2）、在定义域内是单调递减函数。
注：
指数函数图象都恒过点（0，1）
对数性质：
（1）、；
（2）、；
（3）、；（4）、；（5）、
（6）、；（7）、
对数函数：
（1）、在定义域内是单调递增函数；
（2）、在定义域内是单调递减函数；注：
对数函数图象都恒过点（1，0）
（3）、
（4）、或
14对数的换底公式:
（,且,,且,）.
对数恒等式：
（,且,）.
推论（,且,）.
15对数的四则运算法则:
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
（1）;
（2）;
（3）;（4）。
16平均增长率的问题（负增长时）：
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
17等差数列：
通项公式：
（1），其中为首项，d为公差，n为项数，为末项。
（2）推广：
（3）（注：
该公式对任意数列都适用）
前n项和：
（1）；其中为首项，n为项数，为末项。
（2）
（3）（注：
该公式对任意数列都适用）
（4）（注：
该公式对任意数列都适用）
常用性质：
（1）、若m+n=p+q，则有；
注：
若的等差中项，则有2n、m、p成等差。
（2）、若、为等差数列，则为等差数列。
（3）、为等差数列，为其前n项和，则也成等差数列。
（4）、；
（5）1+2+3+…+n=
等比数列：
通项公式：
（1），其中为首项，n为项数，q为公比。
（2）推广：
（3）（注：
该公式对任意数列都适用）
前n项和：
（1）（注：
该公式对任意数列都适用）
（2）（注：
该公式对任意数列都适用）
（3）
常用性质：
（1）、若m+n=p+q，则有；
注：
若的等比中项，则有n、m、p成等比。
（2）、若、为等比数列，则为等比数列。
18分期付款（按揭贷款）：
每次还款元（贷款元,次还清,每期利率为）.
19三角不等式：
（1）若，则.
（2）若，则.
（3）.
20同角三角函数的基本关系式：
，=，
21正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
22和角与差角公式
;;
.
=
（辅助角所在象限由点的象限决定,）.
23二倍角公式及降幂公式
.
.
.
24三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R（A,ω,为常数，且A≠0）的周期；函数，（A,ω,为常数，且A≠0）的周期.
三角函数的图像：
25正弦定理 ：
（R为外接圆的半径）.
26余弦定理：
;;.
27面积定理：
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
（3）.
28三角形内角和定理：
在△ABC中，有
.
29实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数，那么：
（1）结合律：
λ（μ）=（λμ）;
（2）第一分配律：
（λ+μ）=λ+μ;
（3）第二分配律：
λ（+）=λ+λ.
30与的数量积（或内积）：
·=||||。
31平面向量的坐标运算：
（1）设=,=，则+=.
（2）设=,=，则-=.
（3）设A，B,则.
（4）设=，则=.
（5）设=,=，则·=.
32两向量的夹角公式：
（=,=）.
33平面两点间的距离公式：
=（A，B）.
34向量的平行与垂直：
设=,=，且，则：
||=λ.（交叉相乘差为零）
（）·=0.（对应相乘和为零）
35线段的定比分公式：
设，，是线段的分点,是实数，且，则
（）.
36三角形的重心坐标公式：
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
（5）为的的旁心.
38常用不等式：
（1）（当且仅当a＝b时取“=”号）．
（2）（当且仅当a＝b时取“=”号）．
（3）
（4）.
（5）（当且仅当a＝b时取“=”号）。
39极值定理:
已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
（3）已知，若则有
。
（4）已知，若则有
40一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：
同号两根之外，异号两根之间.即：
；
.
41含有绝对值的不等式：
当a>0时，有
.
或.
42斜率公式：
（、）.
43直线的五种方程：
（1）点斜式（直线过点，且斜率为）．
（2）斜截式（b为直线在y轴上的截距）.
（3）两点式（）（、（））.
两点式的推广：
（无任何限制条件！
）
（4）截距式（分别为直线的横、纵截距，）
（5）一般式（其中A、B不同时为0）.
直线的法向量：
，方向向量：
44夹角公式：
（1）. （，,）
（2）.（,,）.
直线时，直线l1与l2的夹角是.
45到的角公式：
（1）.（，,）
（2）.（,,）.
直线时，直线l1到l2的角是.
46点到直线的距离：
（点,直线：
）.
47圆的四种方程：
（1）圆的标准方程.
（2）圆的一般方程（＞0）.
（3）圆的参数方程.
（4）圆的直径式方程（圆的直径的端点是、）.
48点与圆的位置关系：
点与圆的位置关系有三种：
若，则点在圆外;
点在圆上;点在圆内.
49直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有三种（）:
;;.
50两圆位置关系的判定方法:
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，，则：
;
;
;
;
.
51椭圆的参数方程是. 离心率，
准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离（焦准距）。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：
.
52椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
，；。
53椭圆的的内外部:
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
54椭圆的切线方程:
（1）椭圆上一点处的切线方程是.
（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）椭圆与直线相切的条件是.
55双曲线的离心率，准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离（焦准距）。
过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：
.
焦半径公式，，
两焦半径与焦距构成三角形的面积。
56双曲线的方程与渐近线方程的关系:
（1）若双曲线方程为渐近线方程：
.
（2）若渐近线方程为双曲线可设为.
（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为
（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
（4）焦点到渐近线的距离总是。
57双曲线的切线方程:
（1）双曲线上一点处的切线方程是.
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）双曲线与直线相切的条件是.
58抛物线的焦半径公式:
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
59二次函数的图象是抛物线：
（1）顶点坐标为；
（2）焦点的坐标为；
（3）准线方程是.
60直线与圆锥曲线相交的弦长公式
或
（弦端点A，由方程消去y得到
为直线的倾斜角，为直线的斜率，.
61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为两平面的法向量平行。
64向量的直角坐标运算：
设＝，＝则：
（1）＋＝；
（2）－＝；
（3）λ＝（λ∈R）；
（4）·＝；
65夹角公式：
设＝，＝，则.
66异面直线间的距离：
（是两异面直线，其公垂向量为，是上任一点，为间的距离）.
67点到平面的距离：
（为平面的法向量，，是的一条斜线段）.
68球的半径是R，则其体积,其表面积．
69球的组合体：
（1）球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
（2）球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
（3）球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为
（正四面体高的）,外接球的半径为（正四面体高的）.
70分类计数原理（加法原理）：
.
分步计数原理（乘法原理）：
.
71排列数公式：
==.（，∈N*，且）．规定.
72组合数公式：
===（∈N*，，且）.
组合数的两个性质:
（1）=;
（2）+=.规定.
73二项式定理;
二项展开式的通项公式.
的展开式的系数关系：
；；。
74互斥事件A，B分别发生的概率的和：
P（A＋B）=P（A）＋P（B）．
个互斥事件分别发生的概率的和：
P（A1＋A2＋…＋An）=P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．
75独立事件A，B同时发生的概率：
P（A·B）=P（A）·P（B）.
n个独立事件同时发生的概率：
P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P（An）．
76n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：
77数学期望：
数学期望的性质
（1）.
（2）若～,则.
（3）若服从几何分布,且，则.
78方差：
标准差：
=.
方差的性质：
（1）；
（2）若～，则.
（3）若服从几何分布,且，则.
方差与期望的关系：
.
79正态分布密度函数：
，
式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
对于，取值小于x的概率：
.
80在处的导数（或变化率）：
.
瞬时速度：
.
瞬时加速度：
.
81函数在点处的导数的几何意义：
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
82几种常见函数的导数：
（1）（C为常数）.
（2）.（3）.
（4）. （5）；.
（6）;.
83导数的运算法则：
（1）.
（2）.（3）.
84判别是极大（小）值的方法：
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
85复数的相等：
.（）
86复数的模（或绝对值）==.
87复平面上的两点间的距离公式：
（，）.
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程，
①若,则;
②若,则;
③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根.
高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数
1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性（确定,互异,无序）;已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=
2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。
已知集合M={y｜y=x2,x∈R},N={y｜y=x2+1,x∈R},求M∩N；与集合M={（x,y）｜y=x2,x∈R},N={（x,y）｜y=x2+1,x∈R}求M∩N的区别。
3．集合A、B，时，你是否注意到“极端”情况：
或；求集合的子集时是否忘记.例如：
对一切恒成立，求a的取植范围，你讨论了a＝2的情况了吗？
4．对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为如满足条件的集合M共有多少个
5．解集合问题的基本工具是韦恩图;某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？
6．两集合之间的关系。
7．（CUA）∩（CUB）=CU（A∪B）（CUA）∪（CUB）=CU（A∩B）；；
8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p、q形式的复合命题的真值表:
（真且真，同假或假）
p
q
P且q
P或q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
9、命题的四种形式及其相互关系:
互 逆
互 互
互 为 互
否 逆 逆 否
否 否
否 否
否 互 逆
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗？
映射f：
A→B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？
11、函数的几个重要性质：
①如果函数对于一切，都有或f（-x）=f（x），那么函数的图象关于直线对称.
②函数与函数的图象关于直线对称；
函数与函数的图象关于直线对称；
函数与函数的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数在区间上是递增函数，则在区间上也是递增函数．
④若偶函数在区间上是递增函数，则在区间上是递减函数．
⑤函数的图象是把函数的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数（的图象是把函数的图象沿x轴向右平移个单位得到的；
函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向下平移个单位得到的.
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？
函数y=的定义域是；
复合函数的定义域弄清了吗？
函数的定义域是[0,1],求的定义域.函数的定义域是[],求函数的定义域
14、一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？
在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？
（取值,作差,判正负.）可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。
16、函数的单调区间吗？
（该函数在和上单调递增；在
和上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
17、函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？
（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.
18、换底公式及它的变形，你掌握了吗？
（）
19、你还记得对数恒等式吗？
（）
20、“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
二、三角、不等式
21、三角公式记住了吗？
两角和与差的公式________________；二倍角公式:
________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:
“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:
巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次,
22、在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？
正切函数在整个定义域内是否为单调函数？
你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
23、在三角中，你知道1等于什么吗？
（
这些统称为1的代换）常数“的种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：
商的关系，倒数关系，平方关系；
诱导公试：
奇变偶不变，符号看象限）
24、在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如等）
25、你还记得三角化简题的要求是什么吗？
项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）
26、你还记得三角化简的通性通法吗？
（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？
cos2x=（1+cos2x）/2;sin2x=（1-cos2x）/2
27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
（）
28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？
（）
29、辅助角公式：
（其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由确定）在求最值、化简时起着重要作用.
30、三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？
能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x值的集合吗？
（别忘了kZ）
三角函数性质要记牢。
函数y=k的图象及性质：
振幅|A|，周期T=,若x=x0为此函数的对称轴，则x0是使y取到最值的点，反之亦然，使y取到最值的x的集合为，当时函数的增区间为，减区间为；当时要利用诱导公式将变为大于零后再用上面的结论。
五点作图法：
令依次为求出x与y，依点作图
31、三角函数图像变换还记得吗？
平移公
（1）如果点P（x，y）按向量平移至P′（x′，y′），则
（2）曲线f（x，y）=0沿向量平移后的方程为f（x-h，y-k）=0
32、有关斜三角形的几个结论：
（1）正弦定理:
（2）余弦定理:
（3）面积公式
33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是.
②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．
34、不等式的解集的规范书写格式是什么？
（一般要写成集合的表达式）
35、分式不等式的一般解题思路是什么？
（移项通分，分子分母分解因式，x的系数变为正值，奇穿偶回）
36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？
（一般是根据定义分类讨论）
37、利用重要不等式以及变式等求函数的最值时，你是否注意到a，b（或a，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？
（一正二定三相等）
38、（当且仅当时，取等号）；a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；
39、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？
（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：
综上所述，原不等式的解集是……．
40、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
41、对于不等式恒成立问题，常用的处理方
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