四年级下册数学讲义培优专题讲练第27讲巧做游戏与对策人教版.docx

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四年级下册数学讲义培优专题讲练第27讲巧做游戏与对策人教版

第27讲巧做游戏与对策

巧点晴——方法和技巧

“余数制胜法”“对称制胜法”“例推法”等都是游戏与对策的常用思考方法。

巧指导——例题精讲

我国古代有一个“田忌赛马”的故事：

齐王经常要求和将军田忌赛马，规定各从自己的马中选上等马、中等马和下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马，每胜一场可得一千金。

田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。

结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。

这个故事是对策的一个典型例子。

它告诉我们：

在竞争时，要认真分析研究，寻找并制定尽可能好的方案，利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望时，也不至于输得太惨。

在20世纪形成了对策论这门新兴科学，专门研究这种思想。

A级冲刺名校·基础点晴

【例1】有两堆火柴，一堆16根，一堆11根。

甲、乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根算谁胜，问甲如何才能取胜？

分析与解这是另一类对策游戏。

我们先考虑特殊情况：

当两堆的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。

对一般情况可设法将它化为特殊情况。

甲从16根的那堆中先取出（16－11=）5根，使两堆火柴根数相同，然后每次根据对手取的根数在另一堆中取相同的根数，使两堆火柴数保持相等，直至取到最后一次火柴而获胜。

小结当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用乙的错误取胜。

做一做1桌面上有2000根火柴，甲、乙两人轮流地取1根或2根火柴，谁取到最后一根火柴为胜，问甲获胜的策略是什么？

【例2】甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分放好的硬币不再移动。

谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候他就赢了。

请说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略。

分析与解采用“对称”思想。

设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜。

对于一般较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某一个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币。

按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方，放上一枚硬币。

由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜。

做一做2两个小朋友各持有同样大小的圆纸片若干张，他们轮流把纸片放到一张长方桌面上（桌面比圆纸片大），纸片边缘不越出桌面而且互相不重叠。

轮到谁无法放圆纸片时，就算谁失败，问有什么办法可以取胜？

【例3】一张3×10的长方形网格纸有30个小方格，甲、乙两人轮流在切纸机上沿方格线的直线剪一切。

甲将一分分为两份，先送一份给乙，由乙按同样要求再剪。

然后乙又选送一份给甲，甲再这样剪……如此重复。

谁送给对方的只有一个方格谁就获胜。

问甲要想获胜有何策略？

分析与解先考虑正方形的纸，这时后剪的都可以使图形再变成（较小的）正方形，直到取得胜利。

甲先应当剪下7×3与3×3的两块，把3×3的那块送给乙，乙只能剪成1×3和2×3的两块。

若送1×3给甲，正好可使甲获胜；若送2×3给甲，那么甲再一切剪成1×2与2×2的两块，把2×2的那块送给乙。

乙只可能切成1×2的两块。

其中一块给甲，正好可使甲剪下一个方格给乙获胜。

做一做3甲、乙两人在1×100（100个格子）的长条纸上，从左向右移动一枚棋子（这枚棋子在第一格上）。

移动规则是：

最少移动1格，最多移动3格，将棋子移到最后一格者为输。

问甲有无获胜的策略？

B级培优竞赛·更上层楼

【例4】两个人轮流数数，每人每次可以数1个、2个或3个，但是不能不数。

例如，第一个人数1和2，第二个接着往下数，他们可以数3，也可以数3和4，也可以数3，4，5。

如此继续下去，谁数到100，就算谁胜。

请试一试，怎样才能获胜？

分析与解要抢到100，必须先抢到96。

这时另一个只能数97，或数97，98，或数97，98，99，无法数到100。

如何才能保证数到96呢？

又必须抢到92。

依此类推，得到一列数92，88，…，8，4。

只要抢到这些中任何一个，然后当对方报α（1≤α≤3）个数，这样就能继续抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100。

但无论第一个报什么数，第二个都可以抢到4[第一个人报α≤3时，第二个人就报（4－α）个数时，因此第二人有必胜的策略]。

只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。

小结想一想如果将100改为99或101，其他条件均不变，先数的人能否获胜呢？

做一做4甲、乙两人轮流报数，每次报的数都是不超过8的非零自然数。

把两人报的数逐次相加，谁的和正好达到8，谁就获胜。

问甲欲胜有何策略？

【例5】甲、乙二人轮流报数，必须报不大于6的非零自然数，把两人报出的数的和依次加起来，谁报数后加起来的和是2000，谁就获胜。

如果甲要取胜，是先报还是后报？

报几？

以后怎样报？

分析与解采用倒推法（倒推法是解决这类问题的一种常用的数学方法）。

由于每次报的数是1~6的自然数，2000－1=1999，2000－6=1994，甲要获胜，必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994~1999，由于1994－1=1993（或1999－6=1993），因此，甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993。

同样，由于1993－1=1992，1993－6=1987，所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987~1992，甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986。

同样，由于1986－1=1985，1986－6=1980，所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980~1985，甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979，以此类推。

把甲报完数后加起来得到的和从后往前进行排列：

2000，1993，1986，1979，…。

观察这一数列，发现这是一等差数列，且公差=d=7，这些数被7除都余5。

因此这一数列的最后三项为：

19，12，5。

所以甲要获胜，必须先报5。

因为12－5=7，所以以后乙报几，甲就报7减几，例如乙报3，甲就接着报4（即7－3）。

①甲要获胜必胜先报，甲先报5；

②以后，乙报几，甲就接着报7减几。

这样甲就一定能获胜。

做一做5甲、乙两人轮流报数，必须报1~4的自然数，报两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜，如果甲要取胜，是先报还是后报？

报几？

以后怎样报？

【例6】有1994个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛的规则是：

甲、乙轮流取球，每人每次取1个、2个或3个，取最后一个球的人为失败者。

（1）甲先取，为了取胜，他应采取怎样的策略？

（2）乙选拿了3个球，甲为了取胜，应当采取怎样的策略？

分析与解为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为1~1994号。

取球时先取序号小的球，后取序号大的球。

还是采用倒推法：

甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在倒数一次取球时，必须使他自己取球中序号最大的一个数是1993（也许他取的球不止一个）。

为了保证能做到这一点，就必须使乙倒数第二次所取的球的序号为1990（即1993－3）~1992（即1993－1）。

因此，甲在倒数第二次取数时，必须使自己所取的球中序号最大的一个是1989。

为了保证能做到这一点，就必须使乙倒数第三次取球时，必须使他自己所取球中序号最大的一个是1985。

把甲每次所取的球中序号最大的倒着排列起来，1993，1989，1985，…。

观察这一数列，发现这是一等差数列，公差d=4，且这些数被4除都余1。

因此，甲第一次取球时应取1号球，然后乙取α个球，因为α＋（4－α）=4，所以为了确保甲能从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数，甲就应取（4－α）个球。

这样就能保证甲必胜。

由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号被4除余1的球。

现在乙先拿了3个，甲就应拿5－3=2（个）球，以后乙取α个球，甲就取（4－α）个球。

（1）甲为了获用，甲应先取1个球，以后乙取α个球，甲就取（4－α）个球；

（2）乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取α个球，甲就取（4－α）个球。

做一做654张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到3张，谁拿到最后一张谁输，问先拿牌的人怎样确保获胜？

巧练习——温故知新（二十七）

A级冲刺名校·基础点晴

1.两人轮流在国际象棋盘的空格内放入“象”，一方为黑棋，一方为白棋。

任何一方放入“象”时，要保证不被对方己放的“象”吃掉，谁无法放入棋子为输。

问必胜策略是什么？

2.有两个箱子分别装有63个和108个球。

甲、乙两个人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一个球的人为胜。

问若甲先取，他应如何做才能取胜？

3.下图是一张棋盘（2×9）。

甲置白子于A位，乙置黑子于B位，随后两个人轮流走子，每一步可沿一条横线或竖线中的一条至少走一格，并遵循如下规则：

（1）不允许和对方的棋子处在同一条横线或竖线；

（2）不能越过对方所在的横线或竖线。

轮到谁的棋子无法移动就算失败。

若甲先走，甲有胜乙的办法吗？

4.有100人站成一排，从左到右依次进行1，2报数，凡是报1的人离开队伍，剩下的人继续从左到右进行1，2报数，如此下去，最后剩下的是原来队列中的第几个人？

5.现有7根火柴，甲乙两人轮流从中取1根、2根或3根，直到取完为止，最后计算各人所得火柴总数，得数为偶数者获胜，问先拿的人是否能取胜？

应怎样安排策略？

B级培优竞赛·更上层楼

6.两堆火柴分别有26根和28根，甲乙两人轮流从这两堆火柴中取火柴，每次可以从任意一堆里取出任意多根，但不能不取，也不能同时从两堆里取，规定得到最后一根火柴的人获胜，问甲要采取怎样的策略才能获胜。

7.甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒、2粒或3粒，取到最后一粒的是胜利者，你以为先取的能获胜，还是后取的能获胜？

应采取什么策略？

8.一副扑克有54张，两人轮流拿，每人每次只能拿1到4张，谁拿到最后一张就算输，问先拿的人怎样确保获胜？

9.有一个3×3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片，9张卡片分别写有：

1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数。

小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格中的一格，小兵计算上、下两行6个数的和，小强计算左、右两列数的和，和数大的一方取胜，怎么才能获胜？

10.在5×5在棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、向下或者向左下对角线走一格，两人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者，必

胜的策略是什么？

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

11．在黑板上写n－1（n＞3）个数：

2，3，4，…，n，甲、乙两人轮流从黑板上擦去一个数，如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。

问：

（1）n取什么值时甲必胜？

（2）n取什么值时乙必胜？

12.有1000根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1到10根火柴，谁取到最后一根火柴就获胜。

如果甲先取，谁有必胜的策略？

13.甲、乙两人轮流黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。

如果甲第一个写，谁一定获胜？

写出一种获胜的方法。

14.甲、乙两人轮流从分别写1，2，3…，99的99张卡片中任意取走一张，先取卡的人能否保证在他取走第97张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？

15.两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列1，2，3，…，100，101中删去9去数，经过这样的11次删除后，还剩下两个数，如果这两个数的差是55，这时判第一个删数的人获胜，问谁能获胜？

巧总结

本节我的收获是：

。

不足之处有：

。

智慧法

古人算乘法

对于乘法的计算，当两个相乘的数较大时，我们用口算就很难了。

那么古人是怎么计算的呢？

先看一个图。

如果把最上面和右边的数字写出来则是34和467，把左边和下面的数字写在一起则为15878。

这三个数字有什么联系呢？

其实34×467=15878。

像表中的计算方法就是古人计算乘法的一种方法。

这种方法流行于阿拉伯，在15世纪传入我国。

现在，让我们来看古人是怎么算的。

上表中写在上面和右边的两数是两个乘数，为了简单一些，常把乘数中数位较少的写在上面，较多的写在右边。

然后按从上到下让每个数相乘，乘得的结果分开写成一上一下。

如果图中的三、四分别与右边的四相乘得出的结果三（12），六（16），这样依次乘完每个数。

乘完后按照斜对的方法把每个斜对着的数相加起来。

在这种方法中，要先看破相加在数是否有进位，如果有，则进位要优先算。

把相加得到的个位写出，把十位再与前面的一个斜对行的数字相加。

例如，上图中，上图中的“六、二、八、二”相加得到18。

把“八”写出来，再把“一”与前面的斜对行“一、二、一”相加，所以就会有这个表中的“五”。

表中的其他数字如“一”是“1＋0”得来的；“七、八”分别是“4＋2＋1”，“8＋0”得出。

加完以后，再按照从左上到下右把数字联起来就是要算的结果。

如图中的“一五八七八”即15878。

你试算一虎看是否正确。

奇妙的乘法

古时候，有个地主非常吝啬。

人们帮他干活，他都舍不得给工钱。

有一次，一个穷人走到他家，想在那儿找活干。

地主说：

“你要多少工钱？

”

穷人说：

“我要的工钱很少。

第一天。

给我一粒麦子；第二天，给我1×2，2粒麦子；第三天，给我2×2，4粒麦子，第四天，给我4×2，8粒麦子……给够我两个月的工钱，以后我就一辈子为你免费干活。

”

地主听了，暗自高兴：

“你这个穷鬼，给你一碗麦子都要你数半天。

你自己来找苦吃，也别怪我不仁了。

”于是，他笑嘻嘻地对那位穷人说：

“好！

这是你说的。

一言为定！

”

第一天，干完活之后，地主高高兴兴地把一粒麦子送给穷人；第二天，他又把2粒麦子送给穷人……这样一直到第十天，他送给穷人的麦子就要开始用碗装了。

第20天后，他送给穷人的麦子就必须用一个小口袋装着。

但地主毫不觉得自己有半点吃亏。

再过了5天，地主看着穷人是大袋找着、小袋提着报酬走出家门，他伤心地哭了起来：

“才第25天啊……”

你知道：

这个穷人是怎么计算他的工钱吗？

这两个月的工钱又该是多少呢？

是：

2×2×2×…×2×2－1=1152921504606846975（粒）

60个2相乘

这么多的麦子全世界要用几百年的时间才能生产出来啊！

这个穷人就是阿凡提。