精编高中数学知识网络图.docx
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精编高中数学知识网络图
（1）空集是任何非空集合的真子集；
（2）A⊆A；（3）则A⊆B则A=B或A⊂B；
≠
（4）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；（5）含有n个元素的集合有2n个子集，有2n-1个真子集；
（6）∈，⊆的区别：
∈表示元素与集合关系，
⊆表示集合与集合关系；
（7）a与{a}区别：
一般地，a表示元素，
{a}表示只有一个元素a的集合；
（8）{0}，{φ}，φ区别：
{0}，{φ}表示集合，
φ表示空集，φ⊆{0}，φ⊆{φ}.
确定性、互异性、无序性
考点一二
集合元素的特性
有限集
~
集合的分类
集合
集合与简易逻辑（几何分逻辑用语分）
集合的表示
集合的基本关系
无限集空集φ
列举法、特征性质描述法、Veen图法
真子集
性质
子集
几何相等
集合的基本运算
交集pq并集pq补集
互逆
数轴、Veen图、函数图象
（1）AA=A，AA=A，Aφ=A，Aφ=φ；
（2）AB=A⇔A⊆B，AB=A⇔B⊆A，AB⊆A（或B）⊆AB；
原命题：
若p，则q.
逆命题：
若q，则p.
（3）A（CU
A）=U；A（CU
A）=φ；
5
四种命题
互否
否命题：
若⌝p，则⌝q.
互为逆否
互逆
互否
逆否命题：
若⌝q，则⌝p.
CU（CUA）=A；
（4）CU（AB）=（CUA）（CUB）；
（5）分配律：
A（BC）=（AB）（AC）A（BC）=（AB）（AC）；
基本逻辑
5
联结词量词
或∨
且∧非⌝全称量词
存在量词
p∨q
p∧q
⌝p（或⌝q）
全称命题存在命题
（6）结合律：
A（BC）=（AB）C；A（BC）=（AB）C；
否若p:
∀x∈M，p（x）；则⌝p:
∃x0∈M，⌝p（x0）
定若p:
∃x0∈M，p（x0）；则⌝p:
∀x∈M，⌝p（x）
映
考点三
A中元素在B中都有唯一的象；可一对一
（一一映射），也可多对一，但不可一对多
列表法
射
定义表示
解析法
函数概念与基本初等函数（奇偶性
函数的概念
定义域
图象法
使解析式有意义及实际意义
三要素
区间
对应关系值域
常用换元法求解析式
观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等
函
函数的基本性质
单调性
奇偶性
周期性对称性最值
1.求单调区间：
定义法、导数法、用已知函数的单调性。
2.复合函数单调性：
同增异减。
1.先看定义域是否关于原点对称，再看f（-x）=f（x）还是-f（x）.
2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f（0）=0.
3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立。
f（x+T）=f（x）；周期为T的奇函数有：
f（T）=f（T/2）=f（0）=0.
二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。
正（反）比例函数、
数
函数常见的
5
几种变换基本初等函数
分）
分段函数复合函数抽象函数
平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换
单调性：
同增异减赋值法，典型的函数
一次（二次）函数指数函数与对数函数幂函数
三角函数
定义、图象、性质和应用
函数与方程函数的应用
零点
建立函数模型
求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布
函数的平均变化率
函数的瞬时变化率
f（x）与f（x）的区别
0
导数概念
运动的平均速度
运动的瞬时速度
=S'，a
v
t
t
00
=v'
t
0
曲线的割线的斜率
曲线的切线的斜率
k=f'（x）
考点四
0
c'=0（c为常数）；（xn）'=nxn-1；（sinx）'=cosx；（cosx）'=-sinx
a
基本初等函数求导
（log
x）=
1
xlna
；（lnx）=1；（ax）'=axlna；（ex）'=ex.
x
导数
导数概念
设f（x），g（x）是可导的，则有：
（1）[f（x）±g（x）]'=f（x）'±g（x）'
导数及其应用
导数的四则运算法则
⎡⎤'''
（2）[f（x）⋅g（x）]'=f（x）'g（x）+f（x）g（x）'（3）⎢f（x）⎥=f（x）g（x）-f（x）g（x）
简单复合函数的导数
[f（g（x））]'=
f'（u）⋅u'（x）
⎣g（x）⎦
[g（x）]2
函数的单调性研究
f'（x）>0⇒
f（x）在该区间递增，f'（x）<0⇒
f（x）在该区间递减.
（
导数应用
函数的极值与最值曲线的切线变速运动的速度
生活中最优化问题
1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点；
2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。
1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。
一般步骤：
1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；
b
b
；
b
3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。
定积分与微积分
分）
12
定义及几何意义
性质⎰akf（x）dx
=k⎰a
f（x）dx
⎰a[f（x）±g（x）]dx
=⎰a
f（x）dx±bg（x）dx；
⎰
a
b
b
⎰f（x）dx
=-⎰f（x）dx；⎰f（x）dx
=⎰f（x）dx⎰f（x）dx.（aac
bc
abaab
定积分概念
曲边梯形的面积
变力所做的功
1.用定义求：
分割、近似代替、求和、取极限；2.用公式。
n-1
和式
f（ξ）∆x的极限
∑ii
i=1
⎰v（t）dt
=⎰F（x）dx
a
b
微积分基本
定理含意
若F'
（x）=
f（x）,则b
⎰
a
f（x）dx=F（b）-F（a）（牛顿-莱布尼兹公式）
定理
定理应用
1.求平面图形面积；2.在物理中的应用
（1）求变速运动的路程：
s=
（2）求变力所作的功；W
ba
考点五
任意角与弧度制；单位圆
正角、负角、零角
象限角
角
轴线角
终边相同的角
区别第一象限角、锐角、小于900的角
弧度制定义1弧度的角①角度与弧度互化；②特殊角的弧度数；
③弧长公式、扇形面积公式
三角函数
任意角三角函数定义
三角函数
同角三角函数的关系
三角函数线
平方关系、商的关系
公式正用、逆用、变形
任意角的三角函数
诱导公式和（差）角公式
二倍角公式
奇变偶不变，符号看象限
及“1”的代换
化简、求值、证明（恒等式）
（
分）
15
三角函数的图象
正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y=tanxy=Asin（ωx+φ）+b
作图象
性质
描点法（五点作图法）几何作图法
定义域、值域单调性、奇偶性、周期性对称性
最值
对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x轴的直线对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为
kπ
（2，0）（k∈Z）
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意ω的符号）；
④最小正周期T＝2π；⑤对称轴x＝
ω
（2k+1）π-2φ
2ω
，对称中心为（kπ-φ
ω
，b）（k∈Z）.
三角函数模型的简单应用生活中、建筑学中、航海中、物理学中等
正弦定理
a
sinA
=b
sinB
=c
sinC
=2R及变式
适用范围：
①已知两角和任一边，解三角形；
②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
考点六
a2=b2+c2-2bccosA
解的个数是一个？
两个？
还是无解？
余弦定理
b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC
推论：
求角
适用范围：
①已知三边，解三角形；②已知两边和它们的夹角，解三角形。
解三角形
11
（1）解三角形时，三条边和
平面向量
S∆ABC=ah=absinC
22
⎛
++⎫
三个角中“知三求二”。
（2）解三角形应用题步骤：
面积=
p（p-a）（p-b）（p-c）ç其中p=abc⎪
⎝2⎭
先准确理解题意，然后画出示意图，再合理选择定理求
=abc（R是外接圆半径）
4R
1
解。
尤其理解有关名词，如坡角、坡比、仰角和俯角、方位角、方向角等。
实际应用
=（a+b+c）⋅r（r是内切圆半径）
a
2
（分）
5
向量的概念零向量与单位向量表示
=（x-x）2
+（y-y）2
21
21
线性运算加、减、数乘几何意义及运算律
12
平面向量
平面向量基本定理
几何意义
p=xe+ye
投影
b在a方向上的投影为bcosθ=a⋅b
a
数量积
⋅
夹角公式
设a与b夹角为θ,则cosθ=ab
共线（平行）
//b⇔b1=λ0⇔xy
-xy
a⋅b
=0（≠0）
共线与垂直
aa1221a
垂直a⊥b⇔a⋅b=0⇔xx
+
yy=0
1212
向量的应用
在平面（解析）几何中的应用；在物理（力向量、速度向量）中应用
一般数列
考点七
数列的定义通项公式
概念
解析法：
an=f（n）
表示图象法列表法
数列是特殊的函数
递推公式
⎧
an=⎨
S1，n=1
，
an与sn的关系
⎩Sn-Sn-1
n≥2
n-1
n-m
通项公式
an=a1
+（n-1）d=am
+（n-m）d
an=a1⋅q
=am⋅q
特殊数列
等差数列
求和公式
S=n（a
+
a）=na
+n（n-1）d
（1）
a（1
-
qn）
a1-an
⋅q
（1）
数列
n21n12
Sn=na1q=
时；
1
1-q
=q≠
1-q
2
性质am+an=ap+aq
=2am+n
am⋅an
an+1
=ap⋅aq
=am+n
2
等比数列判断
an+1
-
an
=常数
2=常数
an
数
（
q≠0，an≠0
逐差累加法
等差中项：
2an+1=
an+an+2
列
分）
12
常见递推类型
①an+1-an=
②an+1=f（n）
an
f（n）
逐商累积法
⎨n
⎬
构造等比数列⎧a+q⎫
等比中项：
2
a
n+1
=an
⋅an+2
及方法
③an+1=pan+q
⎩p-1⎭
1-1=p
a
a
④pan+1an=an-an+1
构造等差数列
n+1n
n
⑤an+1=pan+q
化为an+1=
qn
p⋅an
qqn-1
+1转化为③
公式法：
应用等差、等比数列的前n项和公式
n
倒序相加法
自然数的乘方和公式：
常见的求和方法
分组求和法
nk=1n（n+1）；∑k2=
1n（n+1）（2n+1）
∑
裂项相消法
k=1
n
k
2
=⎡1n
k=16
2
⎥
n+⎤
数列应用
错位相减法
∑3
k=1
⎢⎣2
（1）⎦
柱、锥、台、球的结构特征
结构
S
圆台
简单组合体的结构特征
考点八
空间几何体
三视图
三视图
长对正，高平齐，宽相等
=π（r'2+r2+r'l+rl）
直观图
直观图（斜二侧画法）
平行投影和中心投影
=1（s'+
V
圆台3
s's+s）⋅h；
球
S
球
表（侧）
三视图与立体几何
面积体积
点与线
点在直线上或点不在直线上，∈或∉
=4πR2；V
=4πR3；
3
点与面
点在面内或点不在面内，
∈或∉
平面三公理及推论
空间点、直
线与线
线与面
相交
共面直线
平行
异面直线
相交
线在面外
平行
只有一个公共点没有公共点只有一个公共点
l⋂α=A
（分）
线、平面的
线在面内
l⊂α
没有公共点
l//α
5
位置关系
面与面
相交α⋂β=l
平行α//β
平行关系的相互转化
线线线面面面
平行平行平行
垂直关系的相互转化
线线线面面面
垂直垂直垂直
异面直线所成的角
范围；（00,900]
cos
a⋅b
;
θ=
a⋅b
空间的角
直线与平面所成的角
范围；[00,900]
sinθ=
a⋅n
;
考点九
a⋅n
二面角
范围；[00,1800]
cosθ=
n⋅n;
12
n
⋅
n
12
点到平面的距离
立体证明
空间的距离
直线与平面所成的距离平行平面之间的距离
相互之间的转化
a
l
a⋅n
A
d=.
n
n
θ
b
θ
2
θθOθ1B
C
a’α
（
10
a
异面直线所成的角
直线与平面所成的角
cosθ2=cosθ1⨯cosθ
分）
A
二面角
垂线法
垂面法
BO
D
C
射影法
线定理作出平面角，解直角三角形求角
通过做二面角的棱的垂面，二面角θ的大小为cosθ=S`÷
两条交线所成的角即为平面角S
共线向量
a//b⇔
=λb（λ∈R）或
a
定理OP
=OA
+ta（t∈R，a为l方向向量）
空间向量的
共面向量
p与a，b共面⇔
p=xa+yb（a，b不共线）
考点十
加减运算空间向量的
定理或AP=xAB+yAC或OP=OA+xAB+yAC
=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）
空间任一向量p=xa+yb+zc（a，b，c不共面）
空间向量及其运算
数乘运算空间向量的
空间向量
基本定理
推论：
设OABC是不共面四点，则对任一点P有
OP=xOA+yOB+zOC（x，y，z∈R）
空间向量与立体几何
数量积运算
平行与垂
（
）
空间向量（分）
空间向量的
直的条件
a//b⇔b=λaa≠0,λ∈R;a⊥b⇔a⋅b=0
坐标运算
向量夹角
cos
a,b
=a⋅b
=（坐标表示）
a⋅b
向量距离
AB=
2
AB=
（x-x）2+（y
-y）2+（z
1
1
2
2
2
-z）2
1
5
a⋅b
直线的方向向量与法量
1.求异面直线的夹角θ:
cosθ=
立体几何中
向量法证两直线平行与垂直
a⋅b
的向量方法
求空间角
（a，b为方向向量）；
求空间距离
2.直线与平面的夹角θ:
cosθ=
a⋅n
a⋅n
（a为直线方向向量，n为平面法向量）
n⋅MP
⎛n为平面α的法向量，⎫
点到平面的距离：
d=
çç
n⎝M∈α,P∉α
⎪⎪3.二面角θ:
cosθ=
n⋅n
1
n
⋅
2
n
⎭
12
线面距、面面距都可转化为点面距.
（n，n为两平面法向量）.
12
倾斜角与斜率倾斜角α［00，1800）和斜率k=tanα的变化
考点十一十二
点斜式：
y-y0
=k（x-x0）
斜截式：
y=kx+b
注意
（1）截距可
直线方程
两点式：
y-y1
=x-x1
（x1≠x2,y1≠y2）
正，可负，也可为0；
（2）方程
~
y2-y1
x2-x1
各种形式的变化
和适用范围.
截距式：
x+yab
=1（a≠0,b≠0）
直线的方程
一般式：
Ax+By+C
=0（AB≠0）
直线与圆的方程
两直线平行
k1=k2，且b1≠b2.或A1B2=A2B1且A1C3≠A2C1.
平面内两条位置关系
两直线相交
两直线垂直两直线斜交
k1⋅k2=-1或A1A2+B1B2=0.
k1≠k2或A1B2≠A2B1.
两直线重合
k=k，且b
=b.或AB
=AB且AC
=AC.
121212211321
点点距
PP=
（x-x）2+（y
-y）2.
122121
（
15
距离点线距
分）
线线距
d=Ax0+By0+C
A2+B2
d=C1-C2
.
A2+B2
k-k
AB-AB⎛
θ∈[00，900）⎫
两直线夹角
tanθ=1
2=12
21ç⎪
ç⎪
1+k1k2
A1A2+B1B2
⎝A1A2+B1B2≠0⎭
标准方程：
（x-a）2+（y-b）2=r2
以AB为直径圆方程：
（x-x）（x-x）+（y-y）（y-y）=0
1212
圆的方程
一般方程：
二元二次方程
22
x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）
Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0
表示圆的充要条件是：
点和圆的位置关系
点在圆内⇔d0
0
点在圆上⇔d=r⇔（x-a）2
+（y-b）2
0
0
+（y-b）2
=r2
⎧A=C≠0
⎨
⎪B=0
⎪22
0
点在圆外⇔d>r⇔（x-a）2
+（y-b）2
>r2
⎩D+E
-4F>0
0
圆的方程
相离∆∆<<00，d或>dr>r
AB=
1+k2
x1-x2
直线和圆的
相切∆∆==00，d或=dr=r
=1+k2
（x+x）2-4xx
位置关系
1212
相交∆>0，或dAB=2
r2-d2
相离
（1）利用两圆方程组解数的是个0，1，2；
圆和圆的位
（2）r-r
置关系
相切1212
空间直角坐标系
d=r1+r2⇔外切；d=r1-r2⇔内切
相交
d>r1+r2⇔外离0；空间两点间距离、中点坐标公式
1
几种常见的圆系：
1
直线与圆锥曲线的位置关系：
=1
曲线与方程
求曲线的方程画方程的曲线
轨迹方程的求法：
直接法、定义法、相关点法、参数法
考点十三
纯粹性与完备性
求两曲线的交点
圆锥曲线
椭圆定义及标准方程
圆锥曲线
双曲线几何
性质
抛物线
范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）渐近线（双曲线）、准线、离心率。
（通径、焦半径）
相交弦长
（
直线与圆锥曲线的位
12
置关系相切
分）
相离
点（x，y）−关−于−点（a−，b）−对−称→点（2a-x，2b-y）
对称性问题
中心对称0000
曲线f（x，y）−关−于−点（a−，b）−对−称→曲线f（2a-x，2b-y）
⎧A⋅x1+x2+B⋅y1+y2+C=0
轴对称
点（x1，y1）与点（x2，y2）关于
ï22
⎨y-y⎛A⎫
直线Ax+By+C=0对称
⎪21⋅ç-
÷=1
⎩⎪x2-x1⎝B⎭
圆锥曲线
椭圆
---------
定义
MF+MF=2a（常数2a>FF=2c）
1212
标准方程
x2y2
+=1（a>b>0）a=b时椭圆变
a2b2
22
成圆，x2+y2=a2
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