统计学常用公式Word文件下载.docx

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=X

N+1

当N为奇数

（

）

XN+XN+1

当N为偶数

=

（2）分组数据中位数的计算

分组数据中位数的计算时，要先根据公式N/2确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：

N

fi

i=1

-Sm-1

Me=L+

d

fm

Me表示中位数；

L表示中位数所在组的下限；

Sm-1表示中位数所在组以下各组的累

计次数；

fm表示中位数所在组的次数；

d表示中位数所在组的组距。

3．均值的计算【AVERAGE】

（1）未经分组均值的计算

n

xi

未经分组数据均值的计算公式为：

x1+x2+xni1

x=

（2）分组数据均值计算

k

x=x1f1+x

2f+2

+xkfk=i

xifi

分组数据均值的计算公式为：

f1

f2+

+fk

4．几何平均数【GEOMEAN】

几何平均数是N个变量值乘积的N次方根，计算公式为：

G=nx1x2xn=nxi

i-1

G表示几何平均数；

表示连乘符号。

5．调和平均数【HARMEAN】

调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。

简单调和平均数：

H=1

1=n

+

x1

x2

xni

1xi

m1+m2++mn

mi

加权调和平均数：

i1

H=m1

m2

mn

=nmi

xn

i1xi

H表示调和平均数。

6．极差【Range】

极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即

R=maxi-mxiin

R表示极差；

maxxi和minxi分别表示一组数据的最大值与最小值。

7．平均差【MeanDeviation】

平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。

xi-x

（1）根据未分组资料的计算公式：

AD=i1

（2）根据分组资料的计算公式：

AD=i1

xi-xfi

AD表示平均差

8．方差【Variance】和标准差【StandardDeviation】

方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。

要求掌握方差和标准差的计算方法。

xx

未分组数据方差的计算公式为

：

xif

分组数据方差的计算公式为：

2表示方差。

方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：

未分组数据：

xif

分组数据：

表示标准差。

9．离散系数

离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。

其计算公式为：

V

x

V表示离散系数。

10．偏态【SKEW】

偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。

利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。

显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。

3

EXCEL中偏态系数的计算公式为：

n-1n-2i1

s

11．峰值【KURT】

EXCEL中峰值系数的计算公式为：

4

nn1

3n1

n1n2n3i1

n1n3

s表示样本标准差。

公式二

1．均值估计

（1）样本均值的标准差

样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差,它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样

误差水平。

样本均值的抽样平均误差计算公式为：

重复抽样方式：

x2nn

不重复抽样方式：

通常情况下，当N很大时，（N-1）几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：

x1

nN

在公式中，是总体标准差。

但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S代替。

（2）大样本均值的极限误差xZ2x

（3）大样本下总体均值的区间估计

总体均值的置信度为

（1）的置信区间：

xz2xxz2x即xz2xz2

nn

（4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计总体均值的置信度为

（1）的置信区间：

xt2xxt2x

即

xt

2．比例估计

（1）样本比例的抽样平均误差样本比例的抽样平均误差为：

重复抽样下：

p

p1

上式中，p应为总体比例，实际计算时通常用样本比例

p代替。

不重复抽样下：

p1p

（2）样本比例的抽样极限误差

PZ2p

（3）总体比率的区间估计

总体比例P的置信度为

（1）的置信区间为：

pPppP

即pZ2pppZ2p

3．总体均值检验

（1）单一总体均值检验①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验

检验统计量Z为：

Z

②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验

检验统计量t为：

tx0

sn

（2）两个总体的均值检验①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本

Z检验统计量为：

x1x2-

n1

n2

大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。

②两个正态总体均值检验（小样本）——两个总体方差未知但相等

T检验统计量为：

x1x

2-

sp

n11s12

n21s22

其中：

s121

xix1；

s22

xix2

n11i

n21i1

4．总体比例检验

（1）单一总体的比例检验

Z检验统计量：

p0

（2）两个总体比例的检验

检验的统计量为：

p?

?

?

n1p1

n2p2

为当

，p

p1

p2时p1

和p2

的联合估计值。

5．总体方差假设检验

（1）单一正态总体方差的假设检验

检验统计量为：

2n1s2

n2

xix

s2i1为2的估计量。

（2）两个正态总体的方差假设检验

Fs12s22

2i1

；

。

s1

s2

公式三

1.单因素方差分析

设总体共分为k种处理进行观察，第j种处理试验了容量为nj的样本。

（1）计算各项离差平方和

在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平项离差平方和。

总离差平方和，用SST（Sumof

SquaresforTotal）代表：

nj

SST

xijx

j

x表示全部样本观测值的总均值。

xij

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误差离差平方和，用SSE（SumofSquaresforError）代表：

SSE

xijxj

nj

xj表示第j种水平的样本均值，

xj

水平项离差平方和。

为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A。

于是水平项离差平方和可以用SSA（SumofSquaresforFactorA）表示。

njk2

SSA的计算公式为：

SSA

1j1

（2）计算平均平方

用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（

MeanSquare）。

对

SST来说，其自由度

为（n-1）；

对SSA来说，其自由度为（r-1），这里r表示水平的个数；

对SSE来说，其自由度为（n-r）。

与离差平方和一样，SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：

n-1=（r-1）+（n-r）

对于SSA，其平均平方MSA（组间均方差）为：

MSA

r

对于SSE，其平均平方MSE（组内均方差）为：

MSE

（3）检验统计量F

F

2．两因素方差分析

设两个因素A、B分别有k个水平和n个水平，共进行nk次试验。

在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平A、B项离差平方和。

总离差平方和，用SST（SumofSquaresforTotal）代表：

SSTxijx

x表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为：

1n

nki1

j1

水平项离差平方和可以分别用SSA（SumofSquaresforFactorA）和SSB（SumofSquaresforFactorB）表示。

xj

xij

ni

SSB的计算公式为：

SSB

1k

kj

xijxixjx

用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（MeanSquare）。

对SST来说，其自由度为

（nk-1）；

对SSA来说，其自由度为（k-1），这里k表示水平A的个数；

对SSB来说，其自由度为（n-1），这里n表示水平B的个数；

对SSE来说，其自由度为（n-1）（k-1）。

这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方：

MSB

k1

n1

k1n1

F（A）

F（B）

公式四

1．拟合优度的检验统计量：

fe

fi表示类别i的观察频数；

fe表示假设H0为真时，类别i的期望频数；

k表示类别总数。

注意：

当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的2分布。