极差方差标准差.docx
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极差方差标准差
课程解读
1、学习目标：
1.掌握极差、方差、标准差的概念。
2.理解极差、方差、标准差均可反映一组数据的稳定性大小。
二、重点、难点：
重点：
掌握极差、方差和标准差的概念，理解极差、方差、标准差是刻画数据离散程度的几个统计量；会求一组数据的极差、方差、标准差，并会判断这组数据的稳定性。
难点：
理解数据的离散程度与三个“差”之间的关系。
三、考点分析：
近几年来，与统计相关的知识以解答题的形式出现且逐年增多，从试题内容上看，由原来简单的求平均数、中位数、众数、方差等到要求用所学统计知识分析和处理数据，解决实际问题，试题考查从知识立意转向能力立意，选取与实际生活有关的问题，关注社会热点，题型越来越新颖。
知识梳理
一、极差
定义：
一组数据中的最大数据与最小数据的差叫这组数据的极差.
表达式：
极差=最大值－最小值
总结：
1.极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量
2.特点是计算简单
3.极差利用了一组数据两端的信息，但不能反映出中间数据的分散状况
注意：
极差反映一组数据两个极端值之间的差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不科学的，还要了解其他的统计量。
二、方差的概念：
在一组数据
，
，…，
中，各数据与它们的平均数
的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“
”表示，即：
．
方差的计算：
（1）基本公式：
．
（2）简化计算公式（I）：
．
也可写成
．
此公式的记忆方法是：
方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
（3）简化计算公式（II）：
．
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数
，得到一组新数据
，
，…，
，那么，
，也可写成
．
此公式的记忆方法是：
方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方．
（4）新数据法：
原数据
，
，…，
的方差与新数据
，
，…，
的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得
，
，…，
的方差就等于原数据的方差．
三、标准差的概念和计算
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“
”表示，即：
．
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况．方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．
典型例题
知识点一：
极差
例1.
（1）一组数据：
473、865、368、774、539、474的极差是 ，一组数据1736、1350、－2114、－1736的极差是 。
（2）一组数据3、－1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X= 。
（3）一组数据X
，X
，…，X
的极差是8，则另一组数据2X
+1，2X
+1，…，2X
+1的极差是（ ）
A.8 B.16 C.9 D.17
思路分析：
1）题意分析：
本题考查了极差的定义与计算。
2）解题思路：
找到最大值与最小值即可算出极差。
解答过程：
（1）497、3850
（2）4 （3）B
解题后的思考：
1.极差——反映一组数据变化范围的大小。
2.极差=最大值－最小值
3.极差在分析一组数据的离散程度时，仍有不足的一面。
知识点二：
方差
例2.
（1）下列说法正确的是（ ）
A.两组数据，平均数越大，波动越大
B.两组数据，中位数越大，波动越大
C.两组数据，方差越大，波动越大
D.两组数据的波动大小由平均数、方差共同说明
（2）甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400克的茶叶。
从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示：
甲包装机
乙包装机
丙包装机
方差（克2）
31.96
7.96
16.32
根据表中数据，可以认为三台包装机中，_________包装机包装的茶叶质量最稳定。
思路分析：
1）题意分析：
本题考查了方差的意义。
2）解题思路：
数据的波动大小由极差、方差说明，因为乙包装机的方差最小，所以乙包装机包装的茶叶质量最稳定。
解答过程：
（1）C
（2）乙
解题后的思考：
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况．方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．
例3.某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛.在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位：
cm）如下：
甲：
585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：
613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）他们的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？
（3）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
（4）历届比赛表明，成绩达到5.96m就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛？
思路分析：
1）题意分析：
本题考查了平均数、方差的计算。
2）解题思路：
按照公式计算即可，用学到的统计知识对两位运动员的成绩进行分析时，应从平均数、方差等方面进行分析。
解答过程：
（1）甲、乙两人的平均成绩为：
=
（585+596+610+598+612+597+604+600+613+601）=601.6（cm）；
=
（613+618+580+574+618+593+585+590+598+624）=599.3（cm）.
（2）s2甲=65.84，s2乙=284.21，s2甲＜s2乙。
（3）由上面方差的结果可知：
甲运动员的成绩比较稳定；乙运动员的成绩相对不稳定。
但甲运动员的成绩不突出；乙运动员和甲运动员相比较突出。
（4）由历届比赛的分析表明，成绩达到5.96m很可能夺冠。
从平均值分析可知，甲、乙两运动员都有夺冠的可能。
但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大。
为了夺冠，应选甲运动员参加这项比赛。
但如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破纪录，故要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙运动员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙运动员参加这项比赛。
解题后的思考：
对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是极差、方差、标准差；方差和标准差既有联系，也有区别.
例4.一次科技知识竞赛，两组学生的成绩统计如下：
分数
50
60
70
80
90
100
甲组人数
2
5
10
13
14
6
乙组人数
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由。
思路分析：
1）题意分析：
本题考查了数据分析的知识。
2）解题思路：
可以利用众数、中位数、平均数、方差等说明。
解答过程：
（1）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，以成绩的众数比较看，甲组成绩好些；
（2）甲、乙两组成绩的中位数都是80分，甲组成绩在中位数以上的有33人，乙组成绩在中位数以上的有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好；
（3）从成绩统计表可知，甲组成绩在90分以上的人数为20人，乙组成绩在90分以上的人数为24人，说明乙组成绩高分段的人数较多，同时乙组得满分的人数比甲组多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好；
（4）经过计算可得s2甲=172，s2乙=256，s2甲＜s2乙，表明甲组成绩的波动比乙组要小。
解题后的思考：
中位数、众数、平均数、方差可从不同角度分析数据。
应注意这些量之间的区别与联系。
例5.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.
（1）请填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环以上次数
甲
7
1.2
1
乙
5.4
（2）请你就下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.
①从平均数和方差相结合看；
②从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）。
思路分析：
1）题意分析：
本题考查了数据分析的知识
2）解题思路：
可以利用众数、中位数、平均数、方差等说明
解答过程：
（1）甲的中位数为7，乙的平均数为7，中位数为7.5，命中9环以上次数为3；
（2）①他们的平均成绩相同，但甲比乙的成绩要稳定些；②乙命中9环以上次数比甲多，故而乙比甲的成绩要好些；③从折线统计图上看，甲一直在7环附近波动，没有什么起色，而乙的成绩从第五次开始一直程上升趋势，而且越来越好，故乙更有潜力。
解题后的思考：
弄清统计图表之间的关系
小结：
1.刻画数据离散程度的统计量:
极差：
一组数据中最大数据与最小数据的差.
方差：
各个数据与它们的平均数之差的平方的平均数，即
s2=
［（x1－
）2+（x2－
）2+…+（xn－
）2］
其中
是x1，x2，…，xn的平均数，s2是方差。
标准差：
方差的算术平方根。
2.一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。
提分技巧
1.牢固掌握概念并掌握概念间的区别与联系，及其在实际问题中的应用。
2.本讲主要与数据打交道，解题时计算较繁，所以要认真、耐心、细致的学习。
3.关注与方程不等式相结合的综合试题，会读图，会分析图表。
注意能力的培养，加大训练力度。
预习导学
一、预习新知：
下节课我们将复习八年级下册的所有内容。
二、预习点拨
请同学们复习分式、反比例函数、勾股定理、四边形及数据的相关内容。
同步练习（答题时间：
60分钟）
一、填空题：
1.数据组3，3，2，3，6，3，6，3，2中，众数是_______；平均数是______；极差是_______，中位数是______．
2.数据组3，5，4，2，5，1，3，1的方差是________．
3.某学生7门学科考试成绩的总分是560分，其中3门学科的总分是234分，则另外4门学科成绩的平均分是_________．
4.样本数据3，6，
，4，2的平均数是5，则这个样本的方差是________．
5.一组数据同时减去80，所得新的一组数据的平均数为2.3，那么原数据的平均数为__________．
二、选择题：
6.已知样本数据为5，6，7，8，9，则它的方差为（ ）．
A.10 B.
C.2 D.
7.8个数的平均数为12，4个数的平均数为18，则这12个数的平均数为（ ）．
A.12 B.18 C.14 D.12
8.甲、乙两个样本的容量相同，甲样本的方差为0.102，乙样本的方差是0.06，那么（ ）．
A.甲的波动比乙的波动大 B.乙的波动比甲的波动大
C.甲、乙的波动大小一样 D.甲、乙的波动大小无法确定
9.在某次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：
85，81，89，81，72，82，77，81，79，83
则这组数据的方差为（ ）．
A.1.86 B.
C.186 D.18.6
三、解答题：
10.某公司员工的月工资如下：
员工
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
月工资（元）
6000
3500
1500
1500
1500
1100
1000
（1）求该公司员工月工资的中位数、众数、平均数；
（2）用平均数还是用中位数和众数描述该公司员工月工资的一般水平比较恰当？
11.小红的奶奶开了一间金键牛奶销售店，主要经营“金键学生奶”、“金键酸牛奶”、“金键原味奶”，可奶奶经营不善，经常出现某品种的牛奶滞销（没卖完）或脱销（量不够）的情况，造成了浪费或亏损，细心的小红结合所学的统计知识帮奶奶统计了一个星期牛奶的销售情况，并绘制了下表：
（1）计算各品种牛奶的日平均销售量，并说明哪种牛奶的销量最高？
（2）计算各品种牛奶的方差（结果保留两位小数），并比较哪种牛奶的销量最稳定？
（3）假如你是小红，你会对奶奶提出哪些好的建议．
12.下图是某篮球队队员的年龄结构直方图，根据图中信息解答下列问题：
（1）该队队员年龄的平均数；
（2）该队队员年龄的众数和中位数；
（3）该队队员年龄的方差和标准差。
试题答案
1.略 2.2.25 3.81.5分 4.8 5.82.3
6.C 7.C 8.A 9.D
10.
（1）1500，1500，2300，
（2）中位数和众数
11.
（1）
学生奶=3，
酸牛奶=80，
原味奶=40，金键酸牛奶的销量最高。
（2）
12.57，
91.71，
96.86，金键学生奶的销量最稳定。
（3）建议学生奶平常尽量少进或不进，周末可进几瓶．
12.
（1）21岁
（2）21岁，21岁（3）6，
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