高三数学第一轮复习单元讲座 第18讲 随机抽样教案 新人教版Word文档格式.docx
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当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。
系统抽样的步骤可概括为：
（1）将总体中的个体编号。
采用随机的方式将总体中的个体编号；
（2）将整个的编号进行分段。
为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔.当是整数时，；
当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数N´
能被整除，这时；
（3）确定起始的个体编号。
在第1段用简单随机抽样确定起始的个体边号；
（4）抽取样本。
按照先确定的规则（常将加上间隔）抽取样本：
。
3．分层抽样：
当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。
（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的。
用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于；
（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛。
四．典例解析
题型1：
统计概念及简单随机抽样
例1．为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（）
A．1000名运动员是总体B．每个运动员是个体
C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是100
解析：
这个问题我们研究的是运动员的年龄情况，因此应选D。
答案：
D
点评：
该题属于易错题，一定要区分开总体与总体容量、样本与样本容量等概念。
例2．今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本。
问：
①总体中的某一个体在第一次抽取时被抽到的概率是多少?
②个体不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少?
③在整个抽样过程中，个体被抽到的概率是多少?
（1），
（2），（3）。
由问题
（1）的解答，出示简单随机抽样的定义，问题
（2）是本讲难点。
基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性。
题型2：
系统抽样
例3．为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本。
（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．
（2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体（可利用随机数表），剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行．
总体中的每个个体被剔除的概率相等，也就是每个个体不被剔除的概率相等.采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是。
例4．（xx年福建，15）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6，则在第7组中抽取的号码是___________.
剖析：
此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样.按题目中要求的规则抽取即可.
∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小组中抽取的号码是63.
63
当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样。
采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行。
题型3：
分层抽样
例5．（xx湖北文，19）某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。
在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。
登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。
为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。
试确定
（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。
（Ⅰ）设登山组人数为，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有
，解得b=50%,c=10%.
故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、
50％、10％。
（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为（人）；
抽取的中年人数为50％＝75（人）；
抽取的老年人数为10％＝15（人）。
本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。
例6．（xx四川文，5）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（）
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人
B；
根据样本容量和总体容量确定抽样比，最终得到每层中学生人数。
题型4：
综合问题
例7．
（1）（xx年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；
在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法
分析：
此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；
当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；
当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.
依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.
B
（2）（xx湖北卷理第11题，文第12题）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；
使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（）
A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样
D。
采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定。
五．思维总结
常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的
从总体中逐个抽取
总体中的个数比较少
将总体均匀分成几个部分，按照事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个数比较多
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时采用简单抽样或者相同抽样
总体由差异明显的几部分组成
不放回抽样和放回抽样：
在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；
如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样。
随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样。
2019-2020年高三数学第一轮复习单元讲座第19讲用样本估计总体及线性相关关系教案新人教版
1．用样本估计总体
①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点；
②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差；
③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释；
④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；
初步体会样本频率分布和数字特征的随机性；
⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；
能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异；
⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
2．变量的相关性
①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；
②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。
知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
“统计”是在初中“统计初步”基础上的深化和扩展，本讲主要会用样本的频率分布估计总体的分布，并会用样本的特征来估计总体的分布。
1．以基本题目（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；
2．热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征。
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）众数、中位数
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（2）平均数与方差
如果这n个数据是，那么叫做这n个数据平均数；
如果这n个数据是，那么叫做这n个数据方差；
同时叫做这n个数据的标准差。
2．频率分布直方图、折线图与茎叶图
样本中所有数据（或数据组）的频率和样本容量的比，就是该数据的频率。
所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。
频率分布直方图：
具体做法如下：
（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；
（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组；
（4）列频率分布表；
（5）画频率分布直方图。
注：
频率分布直方图中小正方形的面积=组距×
=频率。
折线图：
连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。
总体密度曲线：
当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。
3．线性回归
回归分析：
对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。
回归直线方程：
设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：
其中
，。
我们称这个方程为y对x的回归直线方程。
数字特征
例1．为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中20颗做试验，得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：
（1）在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？
（2）求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均杀伤半径．
（1）总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体；
个体是每一颗手榴弹的杀伤半径；
样本是所抽取的20颗手榴弹的杀伤半径；
样本容量是20。
（2）在20个数据中，10出现了6次，次数最多，所以众数是10（米）。
20个数据从小到大排列，第10个和第11个数据是最中间的两个数，分别为9（米）和10（米），所以中位数是（9+10）=9.5（米）。
样本平均数
（米）
所以，估计这批手榴弹的平均杀伤半径约为9.4米。
（1）根据总体、个体、样本、样本容量的概念答题．要注意：
总体、个体和样本所说的考察对象是一种数量指标，不能说成考察的对象是手榴弹，而应说是手榴弹的杀伤半径。
（2）读懂表格的意义，利用概念求众数、中位数，用样本平均数估计这批手榴弹的平均杀伤半径．另外在这里要会简便计算有多个重复数据的样本的平均数。
例2．为估计一次性木质筷子的用量，xx年从某县共600家高、中、低档饭店抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：
0.63.72.21.52.8
1.71.22.13.21.0
（1）通过对样本的计算，估计该县xx年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）；
（2）xx年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店，每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县xx年、xx年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（xx年该县饭店数、全年营业天数均与xx年相同）；
（3）在
（2）的条件下，若生产一套学生桌椅需木材0.07m3，求该县xx年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅。
计算中需用的有关数据为：
每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g，所用木材的密度为0.5×
103kg/m3；
（4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来。
（1）
所以,该县xx年消耗一次性筷子为2×
600×
350=4xx0（盒）。
（2）设平均每年增长的百分率为X，则2（1+X）2=2.42,
解得X1=0.1=10%，X2=－2.1（不合题意，舍去）。
所以,平均每年增长的百分率为10%；
（3）可以生产学生桌椅套数为
（套）。
（4）先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这些县（或市、州）中抽取若干家饭店作样本，统计一次性筷子的用量．
本题是一道统计综合题，涉及的知识点很多，需要灵活运用各种知识分析解决问题．对于第
（1）小题，可先求得样本平均数，再利用样本估计总体的思想来求得问题的解．对于第
（2）小题，实际是一个增长率问题的应用题，可通过设未知数列方程的方法来解．对于第（3）小题，用到了物理公式m＝ρv， 体现了各学科知识之间的联系，让学生触类旁通，在解决实际问题时能综合运用多种知识灵活地解决问题．第（4）小题只要能够运用随机抽样方法，能体会到用样本估计总体的统计思想就可解决，在文字表述上要注意简洁、明了、正确。
数字特征的应用
例3．（xx年全国高考天津文科卷（15））甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：
t/hm2）
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
其中产量比较稳定的小麦品种是甲。
甲=
（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10.0，
乙=
（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）=10.0；
s
=
（9.82+…+10.22）–102=0.02，s
（9.42+…+9.82）–102=0.244>
0.02。
方差与平均数在反映样本的特征上一定要区分开。
例4．（xx江苏7）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.48.49.49.99.69.49.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
（A）9.4,0.484（B）9.4,0.016（C）9.5,0.04（D）9.5,0.016
D；
7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：
9.4,9.4,9.6,9.4,9.5。
则平均数为：
，即。
方差为：
即，故选D。
一定要根据实际的题意解决问题，并还原实际情景。
频率分布直方图与条形图
例5．为检测,某种产品的质量,抽取了一个容量为30的样本,检测结果为一级品5件,而极品8件,三级品13件,次品14件.
（1）列出样本频率分布表;
（2）画出表示样本频率分布的条形图;
（3）根据上述结果,估计辞呈商品为二极品或三极品的概率约是多少
（1）样本的频率分布表为
产品
频数
频率
一级晶
5
0．17
二级晶
8
0．27
三级晶
13
0．43
次品
4
0．13
（2）样本频率分布的条形图为：
（3）此种产品为二极品或三极品的概率约为0.27+0.43=0.7。
条形图中纵坐标一般是频数或频率。
例6．（xx重庆理，6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重（kg）,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
（A）20（B）30
（C）40（D）50
C；
根据运算的算式：
体重在〔56.5,64.5〕学生的累积频率为2×
0.03＋2×
0.05＋2×
0.07=0.4，则体重在〔56.5,64.5〕学生的人数为0.4×
100=40。
熟悉频率、频数、组距间的关系式。
例7．某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的40名学生的身高，其结果如下（单位：
cm）
分组
［140，145）
［145，150）
［150，155）
［155，160）
［160，165）
［165，170）
［170，175）
［175，180）
合计
人数
1
2
5
9
13
6
3
40
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计数据落在［150，170］范围内的概率。
（1）根据题意可列出频率分布表：
分 值
频 数
频 率
［140，145］
0.025
［145，150］
0.050
［150，155］
0.125
［155，160］
0.225
［160，165］
0.325
［165，170］
0.15
［170，175］
0.075
［175，180］
合 计
1.00
（2）频率分布直方图如下：
（3）数据落在［150，170］范围内的概率约为0.825。
茎叶图
例8．观看下面两名选手全垒打数据的茎叶图，对他们的表现进行比较。
1961年扬基队外垒手马利斯打破了鲁斯的一个赛季打出60个全垒打的记录。
下面是扬基队的历年比赛中的鲁斯和马利斯每年击出的全垒打的比较图：
鲁斯马利斯
08
1346
522368
54339
9766114
9445
061
鲁斯的成绩相对集中，稳定在46左右；
马利斯成绩相对发散，成绩稳定在26左右。
题型5：
线性回归方程
例9．由施肥量x与水稻产量y试验数据的关系，画出散点图，并指明相关性。
散点图为：
通过图象可知是正相关。
例10．在某种产品表面进行腐蚀线实验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：
时间t（s）
15
20
30
50
60
70
90
120
深度y（m）
16
17
19
23
25
29
46
（1）画出散点图；
（2）试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。
略解：
（1）散点图略，呈直线形。
（2）经计算可得
=46.36，=19.45，=36750，=5442，=13910。
B=
=
0.3.
A=－b=19.45－035.542。
故所求的回归直线方程为=0.3t+5.542。
题型6：
创新题
例11．把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.
已知前七组的累积频率为0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的频率之和为1－0.79=0.21，进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算后三组的共有频数。
由已知知前七组的累积频数为0.79×
100=79，故后三组共有的频数为21，依题意=21，a1（1+q+q2）=21.∴a1=1，q=4。
∴后三组频数最高
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