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控制工程导论课后习题答案

第一章　概论　习题及及解答

１-1试列举几个日常生活中的开环控制和闭环控制系统实例,并说明它们的工作原理。

略

1－2。

图1－17是液面自动控制系统的两种原理示意图、在运行中,希望液面高度维持不变。

1、试说明各系统的工作原理。

２、画出各系统的方框图,并说明被控对象、给定值、被控量和干扰信号是什么？

工作原理:

出水量与进水量一致,系统处于平衡状态,液位高度保持在。

当出水量大于进水量,液位降低,浮子下沉,通过连杆使阀门开大,使得进水量增大,液位逐渐回升;当出水量小于进水量,液位升高,浮子上升,通过连杆使阀门1关小,液位逐渐降低。

其中被控对象是水槽,给定值是液面高度希望值。

被控量是液面实际高度,干扰量是出水量、

工作原理:

出水量与进水量一致系统处于平衡状态,电位器滑动头位于中间位置,液面为给定高度。

当出水量大于（小于）进水量,浮子下沉（上浮）带动电位器滑动头向上（下）移动,电位器输出一正（负）电压,使电动机正（反）转,通过减速器开大（关小）阀门,使进水量增大（减小）,液面高度升高（降低）,当液面高度为时,电位器滑动头处于中间位置,输出电压为零,电动机不转,系统又处于平衡状态、

其中被控对象是水槽,给定值为液面高度希望值,被控量是液面实际高度,干扰量是出水量。

系统结构图如下图

1—3什么是负反馈控制?

在图1-17（ｂ）系统中是如何实现负反馈控制的？

在什么情况下反馈极性会误接为正,此时对系统工作有何影响？

解:

负反馈控制就是将输出量反馈到输入端与输入量进行比较产生偏差信号,利用偏差信号对系统进行调节,达到减小或消除偏差的目的、

图1-17系统的输出量液面实际高度通过浮子测量反馈到输入端与输入信号（给定液面高度）进行比较,假如二者不一致就会在电位器输出一电压值——偏差信号,偏差信号带动电机转动,通过减速器使阀门1开大或关小,从而进入量改变,当输出量-—液面实际高度与给定高度一致偏差信号为0,电机,减速器不动,系统又处于平衡状态、

当电位器极性接反（或将电机极反接）此时为正反馈,系统不估计把液面高度维持在给定值。

1－4。

若将图1—17（a）系统结构改为图1—18。

试说明其工作原理。

并与图1-17（ａ）比较有何不同？

对系统工作有何影响?

解:

若将1-１7系统结构图改为1－18,系统变成了正反馈,当出水量与进水量一致,液面高度为给定值、当出水量大于进水量,液面位降低,浮子下称,通过连杆使阀门1关小,进水量越来越小,液面高度不能保持给定高度,同样当出水量小于进水量,浮子上浮,液位升高,使阀门1开大,进水量增大,液位越来越高,不估计维持在给定高度

1-5　某仓库大门自动控制系统的原理图如图１－１9所示、试说明自动控制大门开启和关闭的

工作原理并画出系统方框图

解当合上开门开关时,电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压,偏差电压经放大器放大后,驱动伺服电动机带动绞盘转动,将大门向上提起。

与此同时,和大门连在一起的电刷也向上移动,直到桥式测量电路达到平衡,电动机停止转动,大门达到开启位置。

反之,当合上关门开关时,电动机带动绞盘使大门关闭,从而能够实现大门远距离开闭自动控制。

系统方框图如图解1—2所示、

第二章　物理系统的数学模型

习题及及解答

2—１试建立图２－5５所示各系统的动态方程,并说明这些动态方程之间有什么特点。

图中电压和位移为输入量,电压和位移为输出量;、和为弹性系数;为阻尼器的阻尼系数。

解:

2－2、图2－56所示水箱中,和分别为水箱的进水流量和用水流量,被控量为实际水面高度。

试求出该系统的动态方程。

假设水箱横截面面积为,流阻为。

解:

——系数,取决于管道流出侧的阻力,消去中间变量,可得

假定系统初始处在稳定点上,这时有:

,当信号在该点附近小范围变化时,能够认为输出与输入的关系是线性的,。

即

_____＿___流阻

有时可将符号去掉,即

2—3求图２-57信号的象函数。

解:

ﻩﻩ

ﻩ

２-4。

用拉氏变换求解下列微分方程（假设初始条件为零）

１、

其中ﻩﻩ分别为,和·、

2、

3。

解:

1。

２－５。

一齿轮系如图2-58所示。

、、

和分别为齿轮的齿数;、和分别表示

传动轴上的转动惯量;、和为各转轴的

角位移;是电动机输出转矩。

试列写折算到

电机轴上的齿轮系的运动方程。

解:

2－６系统的微分方程组如下:

ﻩ

其中、、、均为大于零的常数。

试建立系统的结构图,并求传递函数、及

解:

求令

消去中间变量,得

求令

消去中间变量得

求　令

消去中间变量得

２—7、　简化图2—59所示系统的结构图,并求系统传递函数。

解:

2-８、试用梅逊公式列写图2—60所示系统的传递函数、

解:

2-９、　

求出图２—61所示系统的传递函数、、、。

解:

2-10、已知系统结构图2-62所示,图中为扰动作用,为输入。

1。

求传递函数和。

2、若要消除干扰对输出的影响（即）,问？

解:

①

②

2—１1、若某系统在阶跃输入作用时,系统在零初始条件下的输出响应为

试求系统传递函数和脉冲响应。

解单位阶跃输入时,有,依题意

2—1２。

已知系统的传递函数

且初始条件为,。

试求阶跃响应作用时,系统的输出响应、

解系统的微分方程为

（1）

考虑初始条件,对式

（1）进行拉氏变换,得

（2）

第三章时域分析法习题及解答

3—1、假设温度计可用传递函数描述其特性,现在用温度计测量盛在容器内的水温。

发现需要时间才能指示出实际水温的9８％的数值,试问该温度计指示出实际水温从１0%变化到９0%所需的时间是多少？

解:

ﻩﻩ

ﻩ

３-2。

ﻩ系统在静止平衡状态下,加入输入信号,测得响应为

试求系统的传递函数、

解:

ﻩ

3-3.某惯性环节在单位阶跃作用下各时刻的输出值如下表所示、试求环节的传递函数。

０

２

３

（）

1。

2。

９７

3。

４。

３8

4、8１

5、１0

5、３6

６、０0

解:

设

ﻩ

ﻩﻩ

3—4、已知系统结构图如图３－4９所示、试分析参数对输出阶跃响应的影响。

解:

ﻩ

当时,系统响应速度变慢;

ﻩ时,系统响应速度变快。

3-5、ﻩ设控制系统闭环传递函数为

试在［ｓ]平面上绘出满足下列各要求的系统特征方程式根的估计分布的区域。

　１。

　　2、,　

3、,

解:

①

ﻩ

②

ﻩ

③

3-6。

已知某前向通路的传递函数（如图3-5０所示）

今欲采纳负反馈的方法将阶跃响应的调节时间减小为原来的倍,并保证总放大系数不变、试选择和的值、

解:

ﻩ

ﻩ解得:

3-7。

ﻩ设一单位反馈控制系统的开环传递函数为

试分别求出当和时系统的阻尼比,无阻尼自然频率,单位阶跃响应的超调量及峰值时间,并讨论的大小对系统性能指标的影响。

解:

ﻩﻩ

ﻩ

ﻩﻩ

增大使,但不影响调节时间、

3—8、设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-51所示、假如该系统属于单位反馈控制系统,试确定其开环传递函数、

解:

ﻩ

ﻩﻩ

3—9。

ﻩ设系统闭环传递函数

　试求1。

;;;;;时单位阶跃响应的超调量、调节时间及峰值时间。

　　２、;和;时单位阶跃响应的超调量、调节时间和峰值时间、

　　　3。

依照计算结果,讨论参数、对阶跃响应的影响。

解:

ﻩ

ﻩﻩ

1、　

ﻩﻩ

ﻩ2、　

ﻩ

ﻩ3、改变使闭环极点位置改变,从而系统动态性能发生变化。

。

３-10。

　已知图3－５2（a）所示系统的单位阶跃响应曲线图３-52（b）,试确定、和的数值、

解:

　由系统阶跃响应曲线有

系统闭环传递函数为

　　　　　　　　（１）　　　　　　

由　联立求解得

由式

（1）

另外　

3—1１、测得二阶系统图3－53（a）的阶跃响应曲线如图3-５3（b）所示。

试判断每种情况下系统内、外两个反馈的极性（其中“０”为开路）,并说明其理由。

解:

ﻩﻩ

（1）单位阶跃响应为等幅振荡,故闭环极点为纯虚根,故内回路断开,外回路为负反馈;

（2）单位阶跃响应为发散,内回路为正反馈,外回路为负反馈;

（3）单位阶跃响应为近似斜坡信号,故外回路断开,内回路为负反馈;

（4）单位阶跃响应为加速度信号,闭环极点为原点上２个极点,故内回路开路,外回路也开路。

3-12。

ﻩ试用代数判据确定具有下列特征方程的系统稳定性。

　　1、

　2。

　　3、

解:

ﻩ

ﻩﻩﻩ

ﻩﻩRｏuｔh表第一列系数均大于0,故系统稳定。

ﻩﻩ

ﻩﻩﻩ

ﻩRｏuｔh表第一列系数有小于0的,故系统不稳定。

ﻩ

ﻩﻩ

Rouｔｈ表第一列系数有小于0的,故系统不稳定。

3－13。

ﻩ设单位反馈系统的开环传递函数分别为

1、;2、

试确定使闭环系统稳定的开环增益的范围（传递函数中的称为不稳定的惯性环节、为根轨迹增益）。

解:

ﻩ

ﻩﻩﻩ

ﻩ

ﻩ由Ｒoｕth表第一列系数得故当时系统稳定。

ﻩ

ﻩ不满足必要条件,系统不稳定、

3-14.

试确定图３—5４所示系统的稳定性、

解:

ﻩ系统稳定、

ﻩ

满足必要条件,故系统稳定。

３—15。

已知单位反馈系统的开环传递函数为

试求系统稳定时,参数和的取值关系。

解:

ﻩﻩ

ﻩ

由Routｈ表第一列系数大于0得,即

３-16。

设系统结构图如图３—55所示,已知系统的无阻尼振荡频率。

试确定系统作等幅振荡时的和值（、均为大于零的常数）。

解:

ﻩ

ﻩﻩ

ﻩﻩ解得:

３-1７、已知单位反馈控制系统开环传递函数如下,试分别求出当输入信号为、和时系统的稳态误差。

　　1、　

　　2、

　３、

解:

　1、

ﻩﻩﻩ经判断系统稳定

ﻩﻩ

2、

ﻩﻩ

ﻩﻩ经判断:

系统不稳定。

3。

经判断系统稳定

ﻩ

3－1８、设单位反馈系统的开环传递函数

试求当输入信号时,系统的稳态误差。

解:

ﻩ满足必要条件,系统稳定。

ﻩ

３－１9。

ﻩ控制系统的误差还有一种定义,这就是不管关于单位反馈系统依然非单位反馈系统,误差均定义为系统输入量与输出量之差,即

现在设闭环系统的传递函数为

试证:

系统在单位斜坡函数作用下,不存在稳态误差的条件是和。

证明:

ﻩ

ﻩﻩ

ﻩ

ﻩﻩ

ﻩ要使,只有让,即

3—2０、具有扰动输入的控制系统如图3-56所示。

试计算阶跃扰动输入·时系统的稳态误差。

解:

ﻩ

ﻩﻩﻩ

3-２1、试求图3—５7所示系统总的稳态误差。

解:

（a）、

ﻩ

ﻩ　（b）。

ﻩ

3-22、系统如图３－58（a）所示,其单位阶跃响应如图3-５8（b）所示,系统的位置误差,试确定、与值。

解:

ﻩ

系统是稳定的,故

ﻩﻩ

ﻩ

3-23。

ﻩ系统结构图如图3－5９所示、现要求:

（1）扰动,稳态误差为零;

　　（２）　输入,稳态误差不大于、

　试:

各设计一个零极点形式最简单的控制器的传递函数,以满足上述各自的要求。

并确定中各参数可选择范围。

解:

（1）、ﻩ

取,可使,,要使系统稳定由劳斯判据得０

ﻩﻩ

（2）。

ﻩﻩ

ﻩﻩ取

ﻩﻩ

要使系统稳定由劳斯判据得及,

综合得参数选择范围为及。

第四章　根轨迹法习题及解答

4—1、已知开环零、极点分布如图4-25所示。

试概略绘制相应的闭环根轨迹图。

解:

根轨迹如图解4—1所示。

４—2、　已知系统开环传递函数

ﻩﻩ

试作从的闭环根轨迹,并证明在平面内的根轨迹是圆,求出圆的半径和圆心。

解:

根轨迹圆心,半径的圆,如图解4-2所示。

。

4—３、设单位反馈控制系统开环传递函数如下,试概略绘出系统根轨迹图（要求确定分离点坐标）、

（1）

ﻩ

（2）

解⑴

系统有三个开环极点:

1实轴上的根轨迹:

　　　,ﻩﻩﻩ

2渐近线:

3分离点:

解之得:

（舍去）。

4与虚轴的交点:

特征方程为

令　　　　　

　　解得

与虚轴的交点（0,）、根轨迹如图解４－3（ａ）所示。

ﻩﻩ

⑵根轨迹绘制如下:

①实轴上的根轨迹:

②渐近线:

③　分离点:

用试探法可得。

根轨迹如图解4-3（b）所示、

4-４、已知单位反馈系统的开环传递函数如下,试概略绘出系统的根轨迹图（要求算出出射角）。

（1）ﻩ

ﻩ

（2）

解　⑴　

根轨迹绘制如下:

ﻩﻩ

①实轴上的根轨迹:

②分离点:

解之得:

③起始角:

由对称性得另一起始角为。

根轨迹如图解４—4（a）所示、

⑵　

系统有三个开环极点和一个开环零点。

根轨迹绘制如下:

①实轴上的根轨迹:

②　起始角:

根轨迹如图解4－４（ｂ）所示。

4－5、已知系统如图４、—26所示。

作根轨迹图,要求确定根轨迹的出射角和与虚轴的交点、并确定使系统稳定的值的范围。

解:

有3条根轨迹,且3条全趋于无穷远处。

①实轴上:

②渐近线:

③出射角:

④与虚轴交点:

则有

解得:

∴使系统稳定的值范围为

4-6、已知单位反馈系统的开环传递函数如下,试画出概略根轨迹图。

（1）

（2）ﻩ

（3）ﻩ解:

（1）

解:

（1）

有2条根轨迹且全趋于无穷远处、

①实轴上:

②渐近线:

图解4-６

③分离点:

（2）

有２条根轨迹,其中1条趋于无穷远处。

实轴上、

（3）

有２条根轨迹,且１条趋向无穷远处。

①实轴上:

②分离点:

４—7、设系统开环传递函数

ﻩﻩﻩ

试作出从变化时的根轨迹。

解:

做等效开环传递函数

G（s）

①　实轴上的根轨迹:

②　分离点:

解得:

（舍去）,

如图解4－7所示,根轨迹为以开环零点为圆心,开环零点到开环极点的距离为半径的圆、

4—8、设系统的闭环特征方程

ﻩ

（1）当时,作系统根轨迹,并求出系统阶跃响应分别为单调、阻尼振荡时（有复极点）的取值范围。

（2）若使根轨迹只具有一个非零分离点,此时的取值?

并做出根轨迹。

（3）当时,是否具有非零分离点,并做出根轨迹、

解:

（１）

做等效开环传递函数

有3条根轨迹,有2条趋向无穷远处、

①实轴上:

②渐近线:

③分离点:

解得:

当时系统阶跃响应为单调。

当及时系统阶跃响应为阻尼振荡、

（２）

分离点:

要使系统只有一个非零分离点,则即,（舍去）

（３）

作等效开环传递函数

有３条根轨迹其中2条趋向无穷远处

①实轴上:

②渐近线:

③分离点:

无解,故无分离点、

4-9、试作图4—２７所示系统从时的系统根轨迹图,并确定使系统稳定的值范围。

解根轨迹绘制如下:

①实轴上的根轨迹:

②渐近线:

③与虚轴交点:

闭环特征方程为

图解4-9　　根轨迹图

把代入上方程,令

解得:

根轨迹如图解4—９所示、由图解4—９可知使系统稳定的值范围为。

4－10、做出图4—２8所示系统的根轨迹,图中分别为

ﻩﻩ

（1）ﻩ

ﻩ

（2）ﻩﻩ

　（3）ﻩ

解:

（１）

有3条根轨迹且全趋向于无穷远处、

①实轴上:

②起始角:

③渐近线:

④与虚轴相交:

解得:

（2）

①实轴上:

②渐近线:

③出射角:

100°

=１20°

１0０°-（+１2０°+90）°＝（2k+1）

=70°

（３）

①实轴上:

②渐近线:

③出射角:

＝1２0°,

６0°－（+120°＋９0）°=（２k＋1）

=3０°

4—11、设控制系统如图4-29所示,为了使系统闭环极点为,试确定增益和速度反馈系数的数值,并利用值绘制系统的根轨迹图。

解:

∴有

有2条根轨迹,１条趋向无穷远处、

①实轴上:

②分离点:

4—12、为了使图4-30所示系统的闭环极点的希望位置为,在前向通路中串入一个校正装置作补偿,其传递函数为

图中

试确定（１）所需的值。

（2）所希望的闭环极点上的值。

　　（3）第三个闭环极点的位置。

解:

∴

解得:

4—13、设负反馈系统的开环传递函数为

ﻩﻩﻩ

（１）试作系统的根轨迹。

ﻩ

（2）求当时,闭环的一对主导极点值,并求其及另一个极点。

ﻩ（3）求出满足（２）条件下的闭环零、极点分布,并求出其在阶跃作用下的性能指标。

解:

（１）、有３条根轨迹,其中２条趋向无穷远处。

①实轴上:

②渐近线:

③分离点:

试根得:

—0。

534４

设阻尼线与根轨迹交点为

另一实根为

有解得:

1、178

4－1４、图4－31所示的随动系统,其开环传递函数为

为了改善系统性能,分别采纳在原系统中加比例—微分串联校正和速度反馈校正两种不同方案。

（1）试分别绘制这三个系统的根轨迹、

（２）当时,依照闭环零、极点分布,试比较两种校正对系统阶跃响应的影响。

解:

（１）

（a）

实轴上:

（ｂ）

（ｃ）

（２）

（a）

（b）

（c）

比较:

（b）与（ａ）相比附加了开环零点,因此影响了系统的闭环极点,改变了阶跃响应中的模态,使得超调量减小,调节时间缩短。

（b）与（ｃ）相比开环传递函数相同,只是前者附加了闭环零点,不影响极点,不影响单位阶跃响应中的各模态,但会改变各模态的加权系数,从而影响系统的动态性能、（ｂ）附加了闭环零点后,比（c）的峰值时间提早,超调量稍有增加、

４-15、系统的开环传递函数为

试绘制系统的根轨迹,并确定系统输出为等幅振荡时的闭环传递函数。

解:

（1）实轴上:

（2）渐近线:

（3）分离点:

解得:

（4）与虚轴交点:

令:

解得:

根轨迹如图。

输出为等幅振荡时的闭环传递函数即为根轨迹与虚轴相交处对应的闭环极点、

所求闭环传递函数为

第五章频率响应法习题及解答

5-1　设系统开环传递函数为

今测得其频率响应,当＝1raｄ/ｓ时,幅频,相频。

试问放大系数及时间常数各为多少？

解:

已知系统开环传递函数

则频率特性:

幅频特性:

相频特性:

当时,

则有,、

5－2设单位反馈系统的开环传递函数为

当闭环系统作用有以下输入信号时,试求系统的稳态输出。

ﻩﻩ

（1）

ﻩﻩ

（2）

ﻩ（3）

解:

系统闭环传递函数为:

频率特性:

幅频特性:

相频特性:

（1）当时,则,

则,

（2）当时,则,

则,

（3）当时,

5-3若系统单位阶跃响应为

ﻩﻩﻩ

试求系统的频率特性。

解　　　

则　　　　

频率特性为　

5-4试求图5—50所示网络的频率特性,并画出其对数频率特性曲线。

（ａ）依图:

（b）依图:

5-5已知某些部件的对数幅频特性曲线如图5—５1所示,试写出它们的传递函数,并计算出各环节参数值。

解:

。

ﻩ由,,则

、

。

、

。

、

其中,由,得,

。

由,得,　,、

5-6试证明惯性环节的幅相频率特性曲线为一个半圆。

证明:

惯性环节

其频率特性为

幅相曲线是圆

５-7　　概略画出下列传递函数的幅相频率特性曲线

（1）

（２）　

（3）　

解

（1）,

取特别点:

时,,

描点画图可得幅频特性曲线如图所示。

（2）　,

取特别点:

ﻩ时,,

时,,

其幅频特性曲线为:

（3）　,

取特别点:

ﻩ时,,

时,,

其幅频特性曲线为:

5-8画出下列传递函数的对数频率特性曲线（幅频特性作渐近线）

ﻩ

（1）

ﻩ

（2）

（3）

ﻩ（4）

ﻩﻩ（5）

解（１）

（2）

（3）

（4）

５—9　若系统开环传递函数为

ﻩﻩ

式中为中除比例、积分两种环节外的部分,试证明

ﻩﻩﻩ

为时的频率值,如图５－5２所示。

证依题意,G（ｓ）近似对数频率曲线最左端直线（或其延长线）对应的传递函数为。

题意即要证明的对数幅频曲线与0db交点处的频率值。

因此,令

可得,故,证毕、

5—10　负反馈系统开环幅相频率特性图如图５－５3所示、

假设系统开环传递函数K=50０,在［s]右半平面内开环极点数P＝0、试确定使系统稳定时Ｋ值的范

解:

由奈氏判据可知,若系统开环稳定（）,由变化时,开环幅相频率特性曲线不包围点,则闭环系统稳定、

设

时,由小到大分别为,,,

当时,,,,

要使系统开环幅相频率特性曲线不包围点,应有

或且

解得:

当或时,系统稳定、

5-11图5-54为三个最小相位系统的对数幅频特性曲线。

（1）试写出对应的传递函数。

（2）　概略地画出对应的对数相频特性曲线和幅相频率特性曲线

解:

（a）依图可写出:

其中参数:

则:

（b）依图可写出　

（ｃ）

5-12设系统开环频率特性曲线如图5—5５

（1）~（10）所示,试用奈氏判据判别对应闭环系

统的稳定性。

已知对应开环传递函数分别为

（1）

（2）

ﻩﻩ（3）

ﻩ（4）　

ﻩ（5）

ﻩ（６）

ﻩ（7）

ﻩ（8）　

ﻩ（9）

ﻩ（10）

解　题５－12计算结果列表

题号

开环传递函数

闭环

稳定性

备注

１

-1

不稳定

２

０

稳定

—1

２

不稳定

０

稳定

-1

２

不稳定

０

稳定

1/２

稳定

不稳定

1０

－1/2

不

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