2.1.2椭圆的简单几何性质教学设计文档格式.docx

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而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。

第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。

学情

1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础.

2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。

但是，在本节课的学习过程中，学生对椭圆的离心率的理解是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导.

3.学生对于椭圆及其标准方程都有了一定的认识，本节课通过学生对椭圆图形的直观观察，探索发现应该关注椭圆的哪些性质，以及其性质在代数方面上的反映.

教学

重、难点

教学重点:

椭圆的几何性质.通过几何性质求椭圆方程并画图

教学难点:

椭圆离心率的概念的理解.

方法

教学方法：

讲授法、探究法

教学课型、工具

课型：

新授课

教学工具：

多媒体设备

目标

◆知识与技能目标

通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的对称性；

理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念.

◆过程与方法目标

能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；

②由方程的性质得到椭圆的对称性；

③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；

④通过的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．

◆情感、态度与价值观目标

在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.必须让学生认同和掌握：

椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；

必须让学生认同与理解：

已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；

让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．

◆能力目标

（1）分析与解决问题的能力：

通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．

（2）思维能力：

会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；

培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3）实践能力：

培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4）创新意识能力：

培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．

教学过程设计

教学步骤

教师活动

学生活动

设计意图

（一）导入

一、情景导入：

1.国家大剧院的半椭圆正视图；

1.2.椭圆的标准方程.

在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.

通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.

（二）椭圆的大小

思考1：

如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？

1.范围

由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标（x,y）都适合不等式

≤1,≤1

即x2≤a2,y2≤b2

所以|x|≤a，|y|≤b

即－a≤x≤a,－b≤y≤b

这说明椭圆位于直线x＝±

a,y＝±

b所围成的矩形里。

2.对称性

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；

点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）；

（1）在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P（x,y）在曲线上时，它关于x的轴对称点P’（x,－y）也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。

（2）如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？

[曲线关于y轴对称。

]

（3）如果同时以－x代x、以－y代y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？

[曲线关于原点对称。

椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。

这时，椭圆的对称轴是什么？

[坐标轴]

椭圆的对称中心是什么？

[原点]

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

3.顶点

在椭圆的标准方程里，

令x=0,得y=±

b。

这说明了B1（0,－b）,B2（0,b）是椭圆与y轴的两个交点。

令y=0,得x=±

a。

这说明了A1（－a,0）,A2（a,0）是椭圆与x轴的两个交点。

因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。

线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。

它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b（a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长）

在Rt△OB2F2中，由勾股定理有[来源:

Zxxk.Com]

|OF2|2=|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2

这就是在前面一节里，我们令a2－c2＝b2的几何意义。

复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系

发现在椭圆的标准方程中①以－y代y②以－x代x③同时以－x代x、以－y代y.

求曲线与x轴、y轴的交点.

观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长.

研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x，y的范围就知道了.

归纳提问：

从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性.

归纳出：

研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。

要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.

（三）椭圆的形状

思考2:

对于椭圆与椭圆更接近圆的是？

4.离心率

定义：

椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率。

因为a>

c>

0,所以0<

e<

1.[来源:

得出结论：

（1）e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；

（2）e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。

当e＝1时，图形变成了一条线段。

观察图形,说明当离心率e变化时,椭圆形状是怎样随之变化的.

为什么？

留给学生课后思考.

调用几何画板，演示离心率变化（分越接近1和越接近0两种情况讨论）对椭圆形状的影响]

三、例题

例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.

[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a，短轴长2b，该方程中的a＝？

b＝？

c＝？

因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质]

解：

把已知方程化为标准方程,这里a＝5，b＝4，所以c＝＝3

因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝10，2b＝8

离心率e＝＝

两个焦点分别是F1（－3,0）,F2（3,0），

四个顶点分别是A1（－5,0）A1（5,0）A1（0,－4）F1（0,4）.

根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：

（1）以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；

（2）由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；

（3）用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。

例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:

（1）经过点（-3,0）、（0,-2）;

（2）长轴的长等于20,离心率等于0.6

例3：

椭圆的一个顶点为A（2.0）,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比.

学生演板，教师点评.

画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性.

四、小结

（1）理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率;

（2）了解离心率变化对椭圆形状的影响;

（3）通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.

学生思考并总结.

五、布置作业

课本习题2.1（A）组第4、5题