传递过程原理讲课提纲04粘性流体运动的微分方程及其应用2百精.docx
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传递过程原理讲课提纲04粘性流体运动的微分方程及其应用2百精
§2—4N—S方程在柱坐标及球坐标中的表示1.柱坐标中的表示
x=rcosα
y=rsinα
z=z
在r分量方向
z
uur
uurur
uuurz
rrr
r∂∂+-∂∂+∂∂+∂∂2
ααα
θ
=（⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛∂∂+∂∂-∂∂+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂∂∂
+∂∂-22
22222111zuururrurrrrpXrrrr
ααυρα在α分量方向
z
uur
uuurur
uuuz
r
r
∂∂++
∂∂+
∂∂+∂∂ααααααα
θ
=（⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂∂∂
+∂∂-22
22222111zurururrurrrp
rXrαααα
αυαρ在z分量方向
z
uuurur
uuuzz
zzr
z∂∂+∂∂+
∂∂+∂∂αθ
α
=]1（1[
12
2
2
2
2
z
uur
r
ur
r
rz
p
Xzzzz∂∂+
∂∂+
∂∂∂∂+∂∂-
α
υρ
2.球坐标中的表示
x=（rsinαcosφy=（rsinαsinφz=rcosαr分量:
r
uuuruurur
uuurrrr
r2
2
sinφ
αφαφ
α
α
θ
+-∂∂⋅+
∂∂+∂∂+∂∂]
sin1
（2sin1
sinsin11[12
2
2
2
2
222φ
ααα
φ
αααααυρφ
αα∂∂+
+∂∂+
-
∂∂+
⎪
⎭⎫⎝⎛
∂∂∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-uctguuur
ururrurrrrpXrr
rrr=
y
y
图19
α分量:
r
ctgur
uuuruurur
uuurr
αφ
α
α
θ
φααφαααα2
sin-+∂∂⋅+
∂∂+∂∂+∂∂
]
sincos2sin2sin1
sinsin11[
112
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22φ
αα
α
α
φ
αααααυα
ρφ
αα
ααα∂∂-
-
∂∂+
∂∂+
⎪⎭⎫⎝⎛
∂∂∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-
urruurururrurrrp
rXr
=
φ分量:
r
ctguur
uuuruurur
uuurr
r
θ
φ
α
α
θ
φφφφφαφφ+
+
∂∂⋅
+
∂∂+
∂∂+∂∂sin
]
sincos2sinsin2
sin1
sinsin11[sin1
1
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22φ
αα
α
φ
αφ
αααα
αυφ
αρα
φφ
φφφ∂∂+
-
∂∂+
∂∂+
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
∂∂∂∂
+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-
urruurururrurrrp
rXr
=
§3流体运动方程的应用
§3-1平壁间的稳定层流
设平板无限大,相互平行,作层流运动一维稳定流动,不可压缩
于是uy=uz=0（1由连续性方程有
0=∂∂xux
（2
又对稳定流动0=∂∂θ
xu（3
故N—S方程简化为:
（
12
2
22
z
uy
uXx
p
xx∂∂+
∂∂+=∂∂υρ
对无限大平板可认为
0=∂∂z
ux故
02
2
=∂∂z
ux,
又在x方向
X=0
x
图20
于是
2
2
2
2
11dy
uddx
dp
y
ux
p
xxυ
ρυ
ρ=⇒
∂∂=∂∂
边界条件（BoundaryConditiony=y0,ux=0初始条件（Initialconditiony=0,
0=dy
dux
于是（2
2
21y
y
dx
dpu--=
μ及⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=2
0max
1yyu
u式中:
dx
dpyu⋅
-=
2
0max21μ
又设平板的宽度为w,则流体流过二平行平板间的体积流量为
⎰
⎰⎪⎭
⎫⎝⎛-
===
A
yvydxdpwudywudAQ0
3
00
322μ另一方面,若设平板间的主体流速（即截面平均流速
为ub则有QV=ub·B·（2y0
可得:
2
031ydxdpub⎪⎭
⎫⎝⎛-=μ
故
3
2=
x
buu及
20
3y
udx
dpbμ-
=
§3-2圆形直管内的稳定层流
化工原理中已得出了相应的结论。
若采用N—S方程可知:
在沿轴的一维流动时,若处于重力场中:
,
000=∂∂=∂∂==z
uuuuzzxyθ
及00=∂∂=∂∂=x
pypz,
故N—S方程可简化为:
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂22
221yux
uzp
y
x
υρ
A
图21
应用柱坐标系则为:
dz
dpdr
durdr
udzz⋅
=
+
μ
1
12
2
或
dz
dp
drdurdrdrzμ11=
⎪⎭⎫⎝⎛边界条件r=Ruz=0
初始条件r=0uz=umax
故:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--=2
2
14RrdzdpR
uzμ,
dz
dpR
u⋅
-
=μ
42
max
及⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=2
max1Rruuz,max21uub=,2
8Rudzdpbμ-=上式均为哈根—泊稷叶（Hagen—Poiseuille方程。
根据以上关系,不难证明,在稳定的层流时,管壁处的流体剪应力
dr
duzwμ
τ-=│R⎪⎭
⎫⎝⎛⋅⋅
-=dzdpZRμ及（Re64Re
164
1==
=
λλf
§3-3环形套管中的稳态层流
圆形直管中的柱坐标系N—S方程仍可适应于环形套管中:
dz
dpdr
durdr
udzz⋅
=
+
μ
1
122
或
dz
dp
drdurdrdrzμ11=⎪
⎭⎫⎝⎛
边界及初始条件:
⑴r=R1,uz=0;
（2r=R2,uz=0;
（3r=Rmax,uz=umax;及0=dr
duz
对前式积分得:
x
z
图
22
z
图23
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎪⎭⎫⎝⎛=12max2
12ln221RrRRrdzdpu
rz
μ或⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--⋅⎪⎭⎫⎝⎛=22max222ln221RrRRrdzdpu
r
z
μ根据以上二式有:
2
1
22
1222max
ln（
RRRRR
-=
此即为对数平均“半径平方”,于是:
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫⎝⎛=2max2
max
2
22maxmax
ln221RRRRRdzdpuμ及:
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫⎝⎛=1max2
max2
12maxmax
ln221RRRRRdzdpuμ环形面积中流体的主体流速（平均流速ub
（
2
max2122281222
1
2
1
RRRdzdprdr
dr
rudA
dA
uuRRRRrr
b-+⎪⎭
⎫⎝⎛-
==
=
⎰
⎰
⎰⎰μππ或:
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-=⎪⎭⎫
⎝⎛2
max2122218RRRudzdpbμ
§4爬流（蠕动流
1、概念
爬流—非常低Re数下的流动。
具体来说指Re≤1时的流动,在此情况下,流体流动过程的粘性力超过其惯性力。
2、根据N—S方程可知,爬流时,惯性力的影响比粘性力小得多而可忽略。
故有:
①对不可压缩流体
0=∂∂+∂∂+∂∂z
uy
ux
uzyx（不可压缩流体连续性方程
②ρX,ρY及ρZ≈0（惯性力
③
θ
DDu
x
θ
DDu
y
及
θ
DDu
z
≈0（惯性力
故N—S方程可简化为:
⎪⎪⎭
⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22
2222zuyux
uxp
x
xxμ⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22
2222zuyuxuyp
y
yyμ及⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22
2222zuyuxuzp
zzzμ当流体以极慢的速度绕过半径为r0的球体时,采用球坐标方程并结合球坐标系中的连续性方程及初始条件:
φ
r=r0时,0000===αφuuur
可解得⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-=3
00021231cos
rrrruurα⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=3
00041431sinrrrruuαα
2
000023cos⎪⎭
⎫
⎝⎛-=rrruppμα
3、球体在流体中所受阻力包括:
a.由于压力分布在球体表面所产生的形体阻力Fdf
b.球体表面处的剪应力所产生的表面阻力Fds
①对形体阻力,其方向在“-Z”方向,其大小为（（
⎰⎰
=-=
ππ
πμ
ϕααα200
002
02sincosuddrpFrdf⎪⎪⎭
⎫⎝⎛→→παπϕ0:
20:
②对表面阻力,其方向在’+Z’方向（即与球面法向应力相反的方向其大小为:
（（
⎰⎰=
π
π
α
ϕ
ααατ2002
0sinsinddrFrdf
τ
rα
-作用于球面的剪应力,因p⊥τ
rα
故-pcosα恰与τ
rα
sinα在同一方向
P0
r
图
24
x
y
图25
对于球坐标系,牛顿粘性定律dy
duμ
τ-=可表示为
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂
-=αμτααrrurrur1由上述已知的解,代入方程得αμταsin230
0rur=
故:
Fds=4πμr0u0
总阻力:
Fd=Fdf+Fds=6πμr0u0
此即为斯托克斯方程（注意与化工原理中的斯托克斯方程相联系通常对粒子的自由沉降,定义
22
0uCAFDdρ⋅=,式中CD为阻力系数（ξ
根据以上结论可得:
CD=ξ=
Re
2422
0=A
uFd
ρ
式中A—球形粒子在运动方向的投影面积A=πr02
§5流线及流函数
1、概念
流线—欧拉法考察流体运动的结果。
即指任一瞬间,在流场（流动空间的一条曲线,处
于该曲线上的各质点流动方向与该点处曲线的切线相重合（流线既可以为直线,也
可为曲线。
2、流线的几个属性
①一个流动空间是由许多条流线组成的,这许多流线通常称为流线束（曲线族;②不同时间,流动空间中的流线束有可能不同（如不稳定流动过程;
③同一时间,同一空间位置,由于流体质点速度大小及方向的唯一性,故通过该空间点
的流线唯一。
亦即,同一时间、空间中的不同流线不可能相交。
3、流线方程
对质点A,在时间dθ内,有:
dx=uxdθdy=uydxdz=uzdθ故
z
y
x
udzudyudx==
u
质点A
此即为三维流动系统的流线微分方程。
特殊地,对二维流动,则有:
uxdy-uydx=0
根据这一关系,可以求出流体在空间流动的流线方程。
即y=f（x关系（见例题
4、流函数ψ
概念:
相对于某基准流线而言的流体体积流量ψ,设有一函数ψ满足:
x
uy
uyx∂∂=
-∂∂=
ψψ
则dψ=
dxudyudyy
dxx
yx-=∂∂+
∂∂ψψ
即定义ψ为流函数。
对二维不可压缩流体,则:
0（02
2
=∂∂+
∂∂=∂∂∂-
∂∂∂y
ux
ux
yy
xyx即
ψψ
（不可压缩流体连续性方程用流函数表示的结果
ψ亦可表述为:
穿过由基准流线和任一流线及垂直于纸面方向上
的单位厚度流道所构成的体积流量。
即dQ=ψA-ψB=dψ不难看出:
①当ψ=常数时,其所表示的即为流线
x
y
udxudy=;
②流速越大的地方,流线越密集;
③流体流过曲线c的单位厚度流量等于曲线c上A、B两点的流函数差;
5柱坐标中流函数的定义式定义:
α
ψrdur∂=r
u∂∂-
=ψα
§6势流及势函数
1概念
势流函数:
即速度势（VelocityPotential函数。
根据势能的概念可知:
在重力场中,单位质量流体（固体势能Ω的变化dΩ等于将流体升举一个微分高度所做的功,即:
dΩ=-gdz或-g=dΩ/dz（注意:
流体势能的意义p+ρgz
线
图27
将此概念引入速度问题,规定一个函数φ,并定义:
x
ux∂∂=
φ
可见,流体沿x方向的运动速度是其在x方向的速度势梯度。
2用势函数表示的不可压流体的二维流动连续性方程
直角座标中,不可压流体的二维流动连续性方程为:
0=∂∂+
∂∂y
ux
uyx
引入速度势概念则有02
2
22
=∂∂+
∂∂y
x
φφ（不可压流体连续性方程用势函数表示
此即为Laplace方程。
通过引入Laplace变换,并已知适当的边界条件,即可求解。
3根据势函数
x
ux∂∂=
φ及y
uy∂∂=
φ
故有:
x
uy
uyx∂∂=∂∂（x
yy
x∂∂∂=∂∂∂φφ2
2
即由右图28分析可知:
a、平面上微元流体在经过dθ时间后,由于x方向速度梯度使上层流体运动所引起的位移为
θdydy
ux∂∂
（顺时针方向;b、同理,在y方向引起的位移为
θdxdx
uy∂∂（逆时针方向。
这二者使
流体微元绕z轴方向发生旋转。
故总的旋转速度为二者之和的平均值。
即:
y
ux
ux
uy
unxyyx∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-
==ω20（以逆时针方向为正计
当ω=0时,称此流体为无旋运动,或说为有势运动。
即此时:
y
ux
uxy∂∂=∂∂
4势函数的应用举例—泊努利方程的导出
x
由欧拉方程（二维xp
Xuz
uuy
uux
uuxxz
xy
xx
∂∂-
=∂∂+
∂∂+∂∂+∂∂ρθ
1（1
y
p
Yuzuuyuuxuuyyz
yy
yx
∂∂-
=∂∂+
∂∂+∂∂+∂∂ρθ1（2
y
p
Zuz
uuy
uux
uuzzz
zyzx∂∂-
=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ρθ
1（3
在稳态、二维运动及不可压缩流体条件下有:
xp
Xy
uux
uuxy
xx
∂∂-
=∂∂+∂∂ρ1（1’
y
p
Yyuux
uuyy
yx
∂∂-
=∂∂+∂∂ρ1（2’
又由有势（无旋运动
xuy
uyx∂∂=∂∂有:
xp
Xx
uux
uuyy
xx
∂∂-
=∂∂+∂∂ρ1（1”
y
p
Xy
uuy
uuyy
xx
∂∂-
=∂∂+∂∂ρ1（2”
即:
ρ
p
uuyx+
Ω-+
2
2
2
121=常数
或:
Ω-+
ρ
p
u
2
2
=常数此即为著名的柏努利（Bernoulli方程。
5讨论
①由有势运动（无旋运动可知:
只有对于理想流体流动才会有势函数（无旋运动存在。
对实际流体,由于其粘性,将会使流体微元发生有旋运动。
②尽管实际流体不存在势函数,但其流函数仍然存在。
只要该流体满足连续性方程,而并不需要满足流体不可压缩条件。
6流网、势线与流线的关系
流网:
由一组等势线和一组流线所交织成的图称为平面有势（无旋运动流网。
流网的特性:
等势线与流线必然正交。
证明:
对等势线,其方程为φ（x,y=常数
或∂φ∂φdx+dy=0⇒uxdx+uydy=0（法线向量）∂x∂y（切线向量）对流线:
uxdy−uydx=0即：
∂ψ=ux（流线）∂y而对势线：
∂φ=ux（势线）∂x又在直角座标中：
x⊥y故:
∂φ∂ψ=即φ与ψ正交。
∂x∂y7应用举例例A.对于稳态二维流动的流体，已知某流场的速度向量形式为u（x,y=3x2yi+4xy3j①试求出过点（1，3）的流线方程；②判别其无旋性（有势性）。
解：
①流线方程的一般形式为由已知向量形式可知：
对稳定二维流动dΨ=0即:
3x2ydy−4xy3dx=0故dψ=uxdy−uydxux=3x2yuy=4xy3∫ydy2=4dx3∫x即:
114=−lnx+c或y=−4y3lnx+c331−4lnx又该流线过点（2，3）故c=1/3y=此即为过点（1，3）的流线方程。
②判别有旋性（有势性）若流体有势，则应满足即:
uxdx+uydy=0udy=−xdxuy或∂uy∂x=∂ux∂y34
对方程求导:
4dy−3（1−4lnx'43x=y'===22dx（1−4lnx（1−4lnx3x（1−4lnx2又:
22ux3x2y3x3（1−4lnxx（1−4lnx−=−=−2=−x=−uy49124xy34y可见在一般情况下，该流体均为有旋运动，即为非理想流体。
例B.已知二维流场中，稳态流动下的速度向量为u（x,y=3xy2i+3x2yj，且流线过点（1，。
2）试问其是否作无旋运动。
若无旋，试求其势函数φ及流函数ψ，并证明φ与ψ正交。
解：
①由题可知:
ux=3xy2，uy=3x2y若作无旋运动，则应满足:
∂uy∂x=∂uy∂ux⇒=6xy∂y∂x∂φ∂x∂ux=6xy∂y322xy+c（y2由此可判断其作无旋运动（有势运动）又:
ux=3xy2=故φ=∂φ=3x2y+c'（y=uy=3x2y∂y故:
于是:
c’（y=0即c（y=常数=cφ=322xy+c―――势函数2②对于稳定的二维运动，其流函数应满足：
uxdy−uydx=0即:
3xy2dy−3x2ydx=0即:
ydy=xdx→y2=x2+c当其过点（1，2）时有:
22=12+c⇒c=3即:
y2=x2+3或y=±x2+3③正交性若流线ψ的切线与势线φ的法线二者斜率相等，则φ与ψ正交对流线:
y2=x2+3故2yy’=2x即:
k1=y’=x/y——流线切线斜率对势线:
φ=3/2x2y2+C在等势线（φ=C1）上，有：
C1=3/2x2y2+C即:
x2y2=C2故2yy’=2xcc1'=−422xx35
即:
y'=−c2又由于x=1时y=2故C2=4yx3即:
y'=−44y4yy=−22=−=−3c2xxyxyxx1x=－yy−x则势线的法线斜率k2=−k1*k2=-1，即φ与ψ正交。
36
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