第5章 生活中的轴对称单元测试A卷基础篇北师版.docx
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第5章生活中的轴对称单元测试A卷基础篇北师版
第五章生活中的轴对称单元测试（A卷基础篇）（北师大版）
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2019秋•阳新县期末）下列图形中，有且只有三条对称轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2019秋•和平区期末）下列每对图形中的两个图形成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2019秋•蚌埠期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
4．（2019秋•瑶海区期末）如图，在△ABC中，点D、E在BC边上，点F在AC边上，将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合．结论：
①∠BAC＝90°，②DE＝EF，③∠B＝2∠C，④AB＝EC，正确的有（ ）
A．①②③④B．③④C．①②④D．①②③
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（ ）
A．11B．12C．14D．16
6．（2019秋•绵阳期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE＝CD，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2019秋•长春期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．图中等腰三角形的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（2019秋•襄州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB＝∠B；②CD＝
AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
9．（2019秋•包河区期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140°B．100°C．50°D．40°
10．（2019秋•绵阳期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得分
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2019秋•石景山区期末）如果等腰三角形的一个角比另一个角大30°，那么它的顶角是 ．
12．（2019秋•天心区校级期末）如图，在△ABC中，已知AD⊥BC于点D，BD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C的度数为 ．
13．（2019秋•长白县期末）如图，OC平分∠AOB，D为OC上一点，DE⊥OB于E，若DE＝7，则D到OA的距离为 ．
14．（2019秋•官渡区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC边上的任意一点，点B，C，E在同一条直线上，且CE＝CD，则∠E＝ 度．
15．（2019秋•石景山区期末）如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10．在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长为 ．
16．（2019秋•太仆寺旗期末）小敏设计了一种衣架，如图，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则A、B的距离为 cm．
17．（2019秋•樊城区期末）已知：
如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 ．
18．（2019秋•南开区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为 ．
评卷人
得分
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分）（2019秋•阳新县期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，求∠MAN的度数是多少？
20．（8分）（2019秋•兰州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：
DC＝2：
1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．
21．（10分）（2019秋•天心区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：
∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
22．（10分）（2019秋•大连期末）如图，等腰△ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°．
（1）在图中找出与∠DAC相等的角，并加以证明；
（2）若AB＝6，BE＝m，求：
AF（用含m的式子表示）．
23．（10分）（2019秋•满城区期末）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．
（1）求证：
∠BAD＝∠EDC；
（2）若点E关于直线BC的对称点为M（如图2），连接DM，AM．求证：
DA＝AM．
第五章生活中的轴对称单元测试（A卷基础篇）（北师大版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2019秋•阳新县期末）下列图形中，有且只有三条对称轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】解：
A、有3条对称轴；
B、有1条对称轴；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：
A．
【点睛】考查了轴对称图形的对称轴的概念，能够正确找到各个图形的对称轴是解题的关键．
2．（2019秋•和平区期末）下列每对图形中的两个图形成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】解：
A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：
C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴．
3．（2019秋•蚌埠期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
【答案】解：
∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝
∠BAC＝
×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝
＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故选：
D．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
4．（2019秋•瑶海区期末）如图，在△ABC中，点D、E在BC边上，点F在AC边上，将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合．结论：
①∠BAC＝90°，②DE＝EF，③∠B＝2∠C，④AB＝EC，正确的有（ ）
A．①②③④B．③④C．①②④D．①②③
【答案】解：
∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，
∴AB＝AE，∠B＝∠AEB，
∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合，
∴AE＝CE，∠C＝∠CAE，
∴AB＝EC，∴④正确；
∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C，
∴∠B＝2∠C，故③正确；
故选：
B．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（ ）
A．11B．12C．14D．16
【答案】解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵△BCD的周长为24，
∴BD+CD+BC＝24，
∴AB+BC＝24，
∵BC＝10，
∴AC＝AB＝24﹣10＝14．
故选：
C．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．（2019秋•绵阳期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE＝CD，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】解：
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC，
∴CE＝CD，
∴△EDC是等腰三角形；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠E＝30°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝∠DBC，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形，
故选：
B．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE＝BD．
7．（2019秋•长春期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．图中等腰三角形的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】解：
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠3＝∠4，
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴BD＝DF，EF＝EC，
∴△BDF和△CEF是等腰三角形．
故选：
C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，根据题意判断出BD＝DF，CE＝EF是解答此题的关键．
8．（2019秋•襄州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB＝∠B；②CD＝
AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】解：
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；
∴CD＝BD，
∵AD＝BD，
∴CD＝
AB；故②正确；
∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，
∴CF＝DF，
∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．
故选：
B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解此题的关键．
9．（2019秋•包河区期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140°B．100°C．50°D．40°
【答案】解：
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，
故选：
B．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
10．（2019秋•绵阳期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【答案】解：
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝70°，
∴∠DAB＝110°，
∴∠HAA′＝70°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，
故选：
B．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2019秋•石景山区期末）如果等腰三角形的一个角比另一个角大30°，那么它的顶角是 80°或40° ．
【答案】解：
①较大的角为顶角，设这个角为x，则：
x+2（x﹣30）＝180
x＝80；
②较大的角为底角，设顶角为y°，则：
y+2（y+30）＝180
y＝40，
答：
等腰三角形的顶角为80°或40°．
故答案为：
80°或40°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．（2019秋•天心区校级期末）如图，在△ABC中，已知AD⊥BC于点D，BD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C的度数为 70° ．
【答案】解：
∵AD⊥BC于点D，BD＝DC，
∴AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝20°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C＝70°，
故答案为：
70°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌等腰三角形的性质是解题的关键．
13．（2019秋•长白县期末）如图，OC平分∠AOB，D为OC上一点，DE⊥OB于E，若DE＝7，则D到OA的距离为 7 ．
【答案】解：
∵OC平分∠AOB，D为OC上任一点，且DE⊥OB，DE＝7，
∴D到OA的距离等于DE的长，
即为7．
故答案为：
7．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；熟练掌握角平分线的性质，是正确解题的前提．
14．（2019秋•官渡区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC边上的任意一点，点B，C，E在同一条直线上，且CE＝CD，则∠E＝ 30 度．
【答案】解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝
＝30°，
故答案为30．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．（2019秋•石景山区期末）如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10．在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长为 3 ．
【答案】解：
由勾股定理得，AC＝
＝
＝8，
由折叠的性质可得，BD＝AB＝10，EA＝ED，
∴CD＝BD﹣BC＝10﹣6＝4，
设CE＝x，则EA＝ED＝8﹣x，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，
x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
故答案为：
3．
【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，将问题转化到一个直角三角形中是解决问题的关键．
16．（2019秋•太仆寺旗期末）小敏设计了一种衣架，如图，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则A、B的距离为 18 cm．
【答案】解：
连接AB，如图所示：
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝18cm，
故答案为：
18．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定方法是解题的关键．
17．（2019秋•樊城区期末）已知：
如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 70°或40°或20° ．
【答案】解：
如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．（2019秋•南开区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为 6 ．
【答案】解：
∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为6，
故答案为：
6．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分）（2019秋•阳新县期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，求∠MAN的度数是多少？
【答案】解：
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB＝100°，
∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×80°＝160°
故当△AMN周长最小时，∠MAN的度数是160°．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
20．（8分）（2019秋•兰州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：
DC＝2：
1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．
【答案】解：
过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD＝DE
又BD：
DC＝2：
1，BC＝7.8cm
∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．
∴DE＝DC＝2.6cm．
∴点D到AB的距离为2.6cm．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答．
21．（10分）（2019秋•天心区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：
∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
【答案】解：
（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）（2019秋•大连期末）如图，等腰△ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°．
（1）在图中找出与∠DAC相等的角，并加以证明；
（2）若AB＝6，BE＝m，求：
AF（用含m的式子表示）．
【答案】解：
（1）结论：
∠BDE＝∠DAC．
理由：
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵∠ADB＝∠3+∠ADE＝∠1+∠C，∠ADE＝∠C＝60°，
∴∠3＝∠1．
（2）如图，在DE上截取DG＝DF，连接AG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，AD＝AD，
∴△ADG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2
∵∠AEG＝60°+∠3，∠AGE＝60°+∠2，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
∴AE＝AF＝6﹣m．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判断，全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等，对应角相等得出结论．
23．（10分）（2019秋•满城区期末）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．
（1）求证：
∠BAD＝∠EDC；
（2）若点E关于直线BC的对称点为M（如图2），连接DM，AM．求证：
DA＝AM．
【答案】解：
（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣∠DAE，∠EDC＝60°﹣∠E，
又∵DE＝DA，
∴∠E＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠EDC．
（2）由轴对称可得，DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，
∵DE＝DA，
∴DM＝DA，
由
（1）可得，∠BAD＝∠EDC，
∴∠MDC＝∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠MDC+∠ADB＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴AD＝AM．
【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
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