欧氏几何的公理体系和我国平面.doc
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欧氏几何的公理体系和我国平面
几何课本的历史演变
张英伯
（北京师范大学数学科学学院100875）
1、几何原本与几何基础
我们都知道，两千多年前，古希腊的数学家欧几里得写了一本一著名的书一一《原本》。
在古往今来的浩瀚书海中，《原本》用各国文字出版的印数仅次于《圣经》而居世界第一位。
我国最早的中译本是在明朝末年由外国传教士利玛窦与我国科学家徐光启翻译的，1607年出版，书名定为《几何原本》。
此后，我国出版的各种译本都沿袭这一名称。
《几何原本》列出了五条公理与五条公设，并在各章的开头给出了一系列定义，然后根据这些定义，公理和公设推导出了465个数学命题，（按照日前通行的希思英译本《Euclid'sElexnents》13卷计算，该书的中译本于1990年出版），其系统之严谨，推理之严密，令人叹为观止。
《几何原本》的内容涉及初等数学的各个领域，包括代数，数论，平面几何，命_体几何，甚至现代极限概念的雏形，但各部分的表述大都是从图形出发的。
第一卷讲直线形，包括点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的平行与垂直，勾股定理等；第二卷讲代数恒等式，如两项和的平方，黄金分割；第三卷讨论圆、弦、切线等与圆有关的图形；第四卷的内容是圆的内接和外切三角形，正方形，内接正多边形（5、10、15边）的作图；第五卷是比例论，取材于欧多克索斯（Eudoxus）的公理法，使之适用于一切可公度和不可公度的量；第六卷将比例论应用于平面图形，研究相似形；第八、九卷是初等数论，其中给出了辗转相除法，证明了素数有无穷多；第十卷篇幅最大，占全书的四分之一，主要讨论无理量，可以看作是现代极限概念的雏形；第十一卷讨论空间的直线与平面；第十二卷证明了圆面积的比等于直径的平方比，球体积的比等于直径的立方比，但没有给出比例常数；第十三卷详细研究了五种正多面体。
欧几里得《几何原本》中的内容己在现代中等教育中分成了若干部分，分别归入平面几何，代数，三角，立体几何。
初中平面几何的内容主要取材于《几何原本》的前六章，大致可以概括为点、线、面角的概念，三角形，两条直线的位置关系（包括平行，垂直），四边形，圆，相似形，求图形的面积这样几个部分。
在全书的开头列出的五个公理和五个公设如下。
公理适用于数学的各个领域；
（1）等于同量的量彼此相等。
（2）等量加等量，其和相等。
（3）等量减等量，其差相等。
（4）彼此能重合的物体是全等的。
（5）整体大于部分。
公设适用于几何部分；
（1）由任意一点到任意（另）一点可作直线。
（2）一条有限直线可以继续延比
（3）以任意点为（圆）心及任意距离（为半径）可以画圆。
（4）凡直角都相等。
（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于一直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
当然，按照现代数学的公理化体系去衡量，《几何原本》的公理体系不是很完备，比如对点、线、面等原始概念的定义不甚清晰；关联，顺序，运动，连续性等方面的公理还有待补充；个别公理欠独立性一些命题的证明基于公理4的几何直观，即；彼此能重合的物体是全等的。
也就是说，一个平面图形可以不改变形状和大小从一个位置移动到另一个位置。
这实际上是不加定义默认了平面的刚体运动。
后者在现代数学中的严格定义是平面到自身的保持距离不变的一个映射。
1899年数学泰斗希尔伯特（Hfilbert）出版了他的著作《几何基础》，并于30多年间不断地修订和精炼，于1930年出了第七版。
《几何基础》一书给出了点、线、面、关联、顺序、合同这些原始概念的准确定义，为欧几里得几何补充了完整的公理体系。
我国数学界的前辈，将西方数学基础的研究引入中国的先驱，几何学与数理逻辑学家，原北京师范大学数学系主任傅种孙教授于1924年与韩桂丛合作，将《几何基础》第一版的英译本译成中文，取名《几何原理》。
傅种孙教授不但是一位严谨的数学家，也是我国历史上功不可没的数学教育家，他一生致力于数学基础在我国的启蒙与普及。
在他的主持和影响下，北京师范大学数学系多年来坚持高标准，严要求，为中学输送了大批优秀的数学教师。
傅先生曾亲自编写了平面几何教科书，于二，三十年代在北京师大附中讲授，使听他讲课的学生受益匪浅。
其中钱学森，段学复，闵嗣鹤，熊全淹等人在新中国成立后成为数学界，物理学界的栋梁。
1958年江泽涵教授的中译本《几何基础》是根据第七版的俄译本和1956年第八版的一些补充译成的。
文革后，征得了江泽涵教授的同意，朱鼎勋教授根据德文第十二版，对1956年的中译本进行增补，修订，于1987年出了《几何基础》中译本第二版。
下述引文均出自该版。
《几何基础》将公理体系分为下述五类。
第一类叫做关联公理，由两点确定一条直线；一条直线上至少有两个点，至少有三个点不在一条直线上，等8个公理组成。
第二类叫做顺序公理，由下述四个公理组成。
（1）若一点B在一点A和一点C之间，则A,B和C是一条直线上的不同的三点，而且B也在C和A之间。
（2）对于两点A和C，直线AC上恒有一点B，使得C在A和B之间。
（3）一条直线的任意三点中，至少有一点在其它两点之间。
（4）设A,B和C是不在同一直线上的三点，设a是平面ABC的一直线，但不通过A,B,C这三点中的任一点，若直线a通过线段AB的一点，则它必定也通过线段AC的一点，或BC的一点。
由此可以证明（见《几何基础》第一章第4节定理8）；平面上的任意一条直线将该平面上其余的点分为两个区域，一个区域的每一点A和另一区域的每一点B所确定的线段AB内，必含有的一个点，而同一个区域的任意两点A和所确定的线段内，不含有直线的点。
有了这个定理，我们才可以定义平面上直线的同侧或异侧。
我们还可以根据顺序公理的前三条，定义直线的一点O将直线分为两侧；设A、,O和B是一直线上的四点，若O不在点A，之间，称A，在O的同侧；若O在点A,B之间，称A,B在O的异侧。
因而直线上点O同侧的点的集合，叫做从点O起始的一条射线。
第三类是合同公理，（或全等公理）。
（1）设A和B是一直线上的两点，是这直线或另一直线上的一点，而且给定了直线上的一侧。
则在上点的这一侧，恒有一点，使得线段AB和线段合同或相等。
记作AB=。
（2）若=AB，且＝AB，则。
（3）关于两条线段的相加。
（4）关于角的合同，（或相等）。
（5）若两个三角形△ABC和△有下列合同式；AB=,，则也恒有合同式，且。
此处没有提BC=，故有别于三角形全等的判定（边角边）。
并以此为根据，通过《几何基础》第一章第6节定理28建立了平面的刚体运动。
为《几何原本》中“彼此能够叠合的物体是全等的”这一事实奠定了公理化基础。
第四类中只有一个公理，即著名的平行公理；设a是一条直线，A是a外的任意一点在a和A所决定的平面上，至多有一条直线通过A，且不和a相交。
与《几何原本》的叙述稍有不同，后者的表述是；两条直线被第三条直线所截，若某一侧同旁内角之和小于两个直角，则两直线在该侧相交。
第五类是连续公理，包括阿基米德度量公理和直线的完备性两条。
2、我国平面几何课本的历史演变
《几何原本》作为教科书在欧洲讲授有1000年以上的历史，我国最早的中译本是在400年前明朝末年出版的。
那个时代小太重视科学技术，包括当时称为算学的数学。
虽然在明末清初，包括清朝康熙皇帝在内，出现过有一定数学水准的学者，但一般来讲，学习数学的人还是为数不多的。
随着清朝末期，英，美，法，德，日，俄等列强对我国的侵略，西方传教士大量进入中国。
他们兴办了各类学堂，即新学，并编译了一些国外的数学教科书作为教材。
与此同时，清朝各级政府和留洋归国的有识之士亦陆续设立了各种新学，较著名的中学有王氏育才书塾，即后来的上海南洋中学，北京五城中学堂，即后来的北京师大附中。
这一时期可以看作是我国数学教育的启蒙阶段。
1902年清朝政府正式颁布了钦定学堂章程，于1905年下诏“立停科举，以广学校”，建立了初小5年，高小4年，中学5年的洋学制，并正式开始在中学讲授平面几何。
由于日本十九世纪后半叶的明治维新运动对我国触动很大，当时所用课本大都为日本教材的中译本。
数学教育逐步走上了正轨。
辛亥革命后，1912至1922年，民国政府教育部将学堂改为学校，算学改称数学，（这一称谓于三十年代在民间普及），学制改为初小4年，高小3年，中学4年，教育部审定教学用书，平面几何教材逐步开始使用一些英译本，如美国人温德华氏几何学，和我国自己编的课本，数学教育的水平己大大提高。
1922年，民国政府教育部制定了课程纲要，学制改为小学6年，初中3年，高中3年，平面几何在初中三年级与高中一年级讲授。
高中课程为升入大学进行准备，初中纲要己包括了平面几何的基本内容。
从三十年代初直到五十年代初，我国很多初中使用3S平面几何作为教材，作者为美国的Schultz-Sevenoak–Schuyler三位姓氏以S开头的数学工作者。
这本书可以看作是《几何原本》中平面几何部分的改写本，结合了中学生的接受能力，体系严谨，语言平实。
二战胜利后，经过修订又出了一套新3S平面几何，由上海中学余元庆老师等人翻译，一直沿用到50年代初。
1949年中华人民共和国成立，我们开始学习苏联。
人民教育出版社于五十年代初期出版了自己编写的平面几何课本，主编者是己调到人民教育出版社工作的余元庆老师等，有多人参加编写，内容仍然类比着《几何原本》。
自六十年代初，我国的平面几何课本在内容的编排上有了一些变动，使用了较多的公理，并将平行线部分调到三角形的前面来讲。
其中主要的公理有；
（1）两点确定一条直线。
（2）两点间直线段最短。
（3）过直线外（或直线上）一点有且仅有一条直线与己知直线垂直。
（4）同位角相等，两直线平行。
（5）过直线外一点有且仅有一条直线与己知直线平行。
（6）三角形全等的判定；边角边，角边角，边边边。
据有关专家介绍，3S平面几何强调了知识的从易到难，目前的几何课本则强调了图形的从简到繁。
编写基础教育阶段的几何课本时，最基本的要求是：
在保证前因后果的逻辑顺序的前提下，在论述难易上应由易到难，在图形结构上应由简到繁。
遇有命题的论证难以被学生接受，便把这个命题不加证明，暂作公理使用，使得课本中的公理扩大范围。
我国六十年代初至今的初中平面几何课本就是这样处理的。
1963年的数学教学大纲明确指出：
中学的几何与作为一门科学的欧式几何有所不同，不应该也不可能按照严格的公理体系来讲授。
但是，为了使学生更好地掌握系统的几何知识，并且便于培养他们的推理论证能力，也应该在学生能够接受的条件下，力求逻辑的严谨性。
这一阶段的课本充分注意到了逻辑的严谨性，也注意到了初中生的接受能力。
课本逐年进行着改进和完善。
1963,1964年发行的课本己经相当不错。
据说到1966年又有一套更好的课本准备出版使用，却由于文化大革命的到来而夭折了。
改革开放以后，我们的平面几何课本有时加进视图，锐角三角函数（原高一年级三角课本的部分内容），直线和圆的方程（原高三年级解析几何的部分内容）。
上世纪六十年代至本世纪初，公理体系扩大化的程度以及视图等内容增添的程度随着政治形势的变化而时强时弱，其间有些课本亦编得相当精彩。
据说每个定理的叙述，每个例题的选取，都是经过若干堂教学实践，反复推敲定稿的。
3、《几何原本》证明点滴
最近几个月，我浏览了自下十年代至今国内外的一些初中平面几何课本。
在以讲授平面几何的逻辑体系为宗旨的课本中，都注意到了体系的系统与完整。
换言之，都能够自圆其说。
我也读了一点《几何原本》和《几何基础》；我想对于中学教师或与编写中学课本有关的老师而言，了解一些欧几里得和希尔伯特的原始的证法也许是有益的。
下面略举几例。
比如三角形全等的判定“边角边”在欧氏几何中是作为定理如下证明的。
（见《几何原本》第一卷命题4），其中用到了平面图形可以小改变形状和大小从一个位置移动到另一个位置。
己知；与中，。
求证；，且。
证明：
将与叠合，使落在射线上，C}落在射线上。
则由得到落在B上，落在C上。
根据两点确定一条直线这一公设，与BC叠合。
所以，且BC=。
在希尔伯特的几何基础中，三角形全等的判定“边角边”基本上是作为公理给出来的。
合同公理的第5条中，只要再加上BC=就是三角形全等的判定“边角边”，而BC=是可以证明的，且证明不难（见《几何基础》第一章第6节定理12）。
如前所述，合同公理的第5条是用公理化方法建立平面刚体运动的重要依据（见《几何基础》第一章第6节定理28）。
三角形全等的判定定理“角边角”亦可类似证明，而判定定理“边边边”的证明需要用到等腰三角形的两底角相等。
等腰三角形的这一性质定理出现在《几何原本》第一卷命题5，在欧洲中世纪被戏称为“驴桥”，那时数学水平较低，很多学习欧几里得《原本》的人到这里被卡住，难于理解和接受。
在《几何基础》中，该性质列为第一章第6节定理11。
下述第一种证法基于希尔伯特的定理11。
己知；中，。
求证；。
证明：
考察与。
因为,所以△ABC△ACB（边角边）。
根据全等三角形的对应角相等，得到。
第二种证法也许对初学者来说容易一些，己知求证不变。
证明将△ABC不改变形状和大小移动到另一个位置，得到与之全等的△A'B'C'，故。
另一方面，因为，，由三角形全等的判定定理边角边知。
所以。
故,（等于同量的量彼此相等）。
三角形全等的判定“边边边”在《几何原本》和《几何基础》中都是定理，我们可以用拼合法及等腰三角形的性质证明，下述证法与原书略有不同。
己知：
△ABC与△A'B'C'中，AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'。
求证：
△ABC二△A'B'C'。
证明：
将B'C'与BC叠合，且使与通位于BC的异侧，连接胡，因为AB=A'B',所以。
因为AC=A'C',所以，即，由“边角边”得△ABC△A'B'C'。
（当然更详细地还需考虑相交线段BC于某个端点或与BC不相交的情况）
在《几何原本》和《几何基础》中，“同位角相等，两直线平行”都是定理，证明方法也十分类似。
平行公理只告诉我们过直线外一点至多有一条直线与己知直线不相交，并没有说这样的直线是不是真的有。
我们把不相交的两条直线称为平行线，那么“同位角相等，两直线平行”保证了这样的直线一定有。
如果把这件事情当作基本事实承认下来，就得到下面对平行公理的表述：
过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行。
这是在平面几何课本中流行的表述。
下述三角形外角定理对平行线存在性的证明至关重要：
三角形的外角大于任一不相邻的内角（见《几何原本》第一卷命题16,《几何基础》第一章第6节定理22）。
己知；，求证；的外角＞。
证明：
取AC中点D，连BD并延长到F，使FD=BD，则点F位于内。
连CF，由于，有△ABD△CFD（边角边），这时＜（全体大于部分）。
以上是欧几里得的证法，将射线CF位于内部当作直观的事实。
希尔伯特也把这一定理作为平行线存在性的准备，他的证明运用了反证法，避开了射线CF是否位于内部的问题。
己知，求证同上。
证明：
如果结论不成立，则有。
。
若等号成立，延长BC到E，使CE=AB。
再由，,l，有（边角边）。
这时（全等三角形的对应角相等）。
故，即平角。
过B,E两点可以引两条不重合的直线BAE和BCE,与两点确定一直线矛盾。
如果<，则以AC为一边，在内部作，使的另一边交线段BC于C}，利用△可同上推出矛盾。
定义；同一平面内不相交的两条直线叫平行线。
判定定理；同位角相等，两直线平行（《几何原本》第一卷命题27,28,《几何基础》第一章第7节定理30）。
己知；直线AB,CD与直线L分别相交于M，N两点，同位角。
求证；AB‖CD。
证明：
如果AB,CD相交于P，则根据三角形的外角定理，在中，外角＞,与己知矛盾，故AB,CD不相交，AB‖CD。
性质定理；两直线平行，同位角相等。
（《几何原本》第一卷命题29,《几何基础》第一章第7节定理30）。
己知；直线AB‖CD，直线L分别交AB,CD于点M和点N。
求证；同位角。
证明：
若，过点M作直线与L交成，使，则与AB不重合且‖CD。
过M点有两条直线AB和平行于CD，与平行公理矛盾。
4、结束语
我国近百年来数学教育的一个突出特点是对双基的重视，也就是说，学生们对基础知识的把握比较准确，深入，对基本技能的运用比较熟练。
我听过不少数学家和科技工作者谈起他们当年学习平面几何的体会，认为平面几何的学习对于他们逻辑思维习惯的养成起了至关重要的作用。
记得我六十年代读初中时，不少同学喜欢做平面几何题，有时还比着做，觉得挺好玩。
那时学生们每天下午有一节或两节自习课，做完功课后没什么可干的，就做点儿题。
四点钟放学在操场上玩到吃晚饭，晚饭后看看课外书什么的。
那时候的数学课外书不多，更没有习题集。
有一套数学家为中学生写的小册子给那一代喜欢数学的中学生留下了深刻的印象，现在这套丛书在大陆和台湾分别再版了。
其中有华罗庚的《从杨辉三角谈起》，《从祖冲之的圆周率谈起》，段学复的《对称》，吴文俊的《力学在几何中的一些应用》，姜伯驹的《一笔画和邮递路线问题》，龚昇的《从刘徽割圆谈起》，史济怀的《平均》，再版时补充了冯克勤的《费马猜想》等等。
老师也很少给我们出难题，作业只留书上的习题，书上打星号的题作为思考，不记分数。
只有个别时候在黑板的角落里写几道更难一点的思考题，做不做两可。
老师倒是十分在意我们的基本概念是不是清楚。
比如有时上课铃一响，老师第一句话就说拿出一张纸来，写出三角形全等的判定定理“边边边”及其证明。
十分钟后收上去，接着讲新的内容。
谁要是不明白，可以在自习课时去找老师补课。
随着科学技术的飞速发展，数学在经济建设中发挥着越来越重要的作用。
作为数学大厦基础的初等数学，作为初等数学重要组成部分的平面几何学，亦应得到更好的重视。
这并不意味着平面几何的课时越多越好，知识点越多越好，而是说要把平面几何的公理体系简明扼要地讲精、讲透。
按照项武义教授的话说，就是返璞归真，抓住平面几何的本质把它的逻辑体系说透。
使学生们感受到欧氏几何内在的逻辑美，感受到推理证明的巨大力量。
现在很多老师都在积极地钻研数学课程的内容和讲授方法。
这是一个可喜的现象。
我相信在我们的中学老师、数学工作者和数学教育工作者的共同努力下，一定能够发扬光大我国中小学数学教育的优良传统，把平面几何课本写得更好，为把我国的下一代培养成有数学素养的劳动者，当然也包括有数学素养的科技人才做出应有的贡献。
致谢
北京大学张顺燕教授对本文的初稿提出了中肯的批评和建议。
北京师范大学王申怀教授逐字审阅了全文，就历史事实为文章写了两段关键性的附注；傅种孙先生的贡献和1963年数学教学大纲，现己并入正文。
在此向二位先生表示由衷的谢意。
参考文献
l、欧几里得。
几何原本。
兰纪正，朱恩宽译。
西安；陕西科学技术出版社，1990
2、希尔伯特。
几何基础。
江泽涵，朱鼎勋译。
北京；科学出版社，1987
3、魏庚人主编。
中国中学数学教育史。
北京；人民教育出版社1987
4、傅种孙文集。
北京；北京师范大学出版社，2005
5、项武义。
基础几何学。
北京；人民教育出版社，2004
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