中心对称图形平行四边形全章复习与巩固基础知识讲解.docx
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中心对称图形平行四边形全章复习与巩固基础知识讲解
中心对称图形——平行四边形全章复习与巩固（基础）
责编：
杜少波
【学习目标】
1.掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角.
2.理解中心对称图形的定义和性质.
3.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.
4.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法,并能运用这些知识进行有关的证明和计算.
5.掌握三角形中位线定理.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、旋转的概念和性质
将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
要点二、中心对称与中心对称图形
一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点三、平行四边形
1．定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：
边：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：
（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：
（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：
平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
要点四、矩形
1．定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：
（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：
由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点五、菱形
1.定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：
（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点六、正方形
1.定义：
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：
（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
边长×边长＝
×对角线×对角线
4．判定：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、旋转与中心对称图形
1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A；
【解析】
解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
【总结升华】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找
对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后与原图重合．
2、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（ ）
A．60°B．75°C．85°D．90°
【思路点拨】根据旋转的性质知，旋转角∠EAC=∠BAD=65°，对应角∠C=∠E=70°，则在直角△ABF中易求∠B=25°，所以利用△ABC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可．
【答案】C；
【解析】
解：
根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．
如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，
∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC的度数为85°．
故选C．
【总结升华】本题考查了旋转的性质．解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数的．
类型二、平行四边形
3、如图，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．
求证：
四边形MFNE是平行四边形．
【答案与解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD＝BC,AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）
又∵DF∥BE（已知）
∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）
∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF
又∵AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴AF∥CE
∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.
举一反三：
【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB,通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．
【答案】AB＝DE＋DF，
提示：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠C＝∠EDB
∴DF＝AE．
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，
∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE
类型三、矩形
4、（2016春•常州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．
试说明：
（1）AE=DC；
（2）四边形ADCE为矩形．
【思路点拨】
（1）根据已知条件可以判定四边形ABDE是平行四边形，则其对边相等：
AE=BD．结合中点的性质得到AE=CD；
（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．
【答案与解析】
证明：
（1）如图，∵AE∥BC，
∴AE∥BD．
又∵DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD．
∵D为BC的中点，
∴BD=DC，
∴AE=DC；
（2）∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥CD，
∴平行四边形ADCE为矩形．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明
（2）的结论．
5、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.
【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入Rt△AEF中，由折叠可知CD＝CF，DE＝EF，易得AC＝10，所以AF＝4，AE＝8-EF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出EF的值．
【答案与解析】
解：
设EF＝
，
由折叠可得：
DE＝EF＝
，CF＝CD＝6，
又∵在Rt△ADC中，
．
∴AF＝AC－CF＝4，AE＝AD－DE＝8－
．
在Rt△AEF中，
，
即
，
解得：
＝3∴EF＝3
【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．
举一反三：
【变式】（2015秋•抚州校级期中）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，
连接AF，BF．
（1）求证：
四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：
AF平分∠DAB．
【答案】证明：
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠BFC=90°，
∵CF=9，BF=12，
∴BC=
=15，
∴AD=BC=15，
∴AD=DF=15，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
类型四、菱形
6、如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）.
A.80° B.70° C.65° D.60°
【答案】D；
【解析】
解：
连结BF，由FE是AB的中垂线，知FB＝FA，
于是∠FBA＝∠FAB＝
＝40°.
∴∠CFB＝40°＋40°＝80°,
由菱形ABCD知，DC＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF，
于是△DCF≌△BCF，
因此∠CFD＝∠CFB＝80°,
在△CDF中,∠CDF＝180°－40°－80°＝60°.
【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.
举一反三：
【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？
如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．
【答案】四边形ABCD是菱形；
证明：
由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,
过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．
∴∠CFB＝∠AEB＝90°．
∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴AB＝BC,
∴四边形ABCD是菱形.
类型五、正方形
7、（2015春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．
（1）若DG=2，求证：
四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积．
【思路点拨】
（1）通过证明Rt△DHG≌△AEH，得到∠DHG=∠AEH，从而得到∠GHE=90°，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形EFGH为正方形；
（2）作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，利用AB∥CD得到∠AEG=∠QGE，再根据菱形的性质得HE=GF，HE∥GF，则∠HEG=∠FGE，所以∠AEH=∠QGF，于是可证明△AEH≌△QGF，得到AH=QF=2，然后根据三角形面积公式求解．
【答案与解析】
（1）证明：
∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHG=90°，
∴∠DHG+∠AHG=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
（2）解：
作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面积=
CG•FQ=
×2×2=2．
【总结升华】本题考查了正方形的判定与性质：
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．也考查了菱形和矩形的性质．
举一反三：
【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．
（1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．
（2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．
（3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．
在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．
【答案】四边形EFGH为平行四边形；
解：
（1）AC＝BD，
理由：
如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，
此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝
BD，HG＝
AC，得EH＝GH，
故四边形EFGH为菱形．
（2）AC⊥BD，
理由：
如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，
此时四边形EFGH为平行四边形．
易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形．
（3）AC＝BD且AC⊥BD，
理由：
如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，
综合
（1）
（2）可得四边形EFGH为正方形．
本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．
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