2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc
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2017年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)
一、填空题:
本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列中,,,则的值为.
2.设复数满足,则的值为.
3.设是定义在上的函数,若是奇函数,是偶函数,则的值为.
4.在中,若,且三条边成等比数列,则的值为.
5.在正四面体中,分别在棱上,满足,,且与平面平行,则的面积为.
6.在平面直角坐标系中,点集,在中随机取出三个点,则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.
7.设为非零实数,在平面直角坐标系中,二次曲线的焦距为4,则的值为.
8.若正整数满足,则数组的个数为.
二、解答题(本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
9.设不等式对所有成立,求实数的取值范围.
10.设数列是等差数列,数列满足,.
(1)证明:
数列也是等差数列;
(2)设数列、的公差均是,并且存在正整数,使得是整数,求的最小值.
11.在平面直角坐标系中,曲线,曲线,经过上一点作一条倾斜角为的直线,与交于两个不同的点,求的取值范围.
2017年全国高中数学联合竞赛加试(B卷)
一、(本题满分40分)
设实数满足,令,证明:
二、(本题满分40分)
给定正整数,证明:
存在正整数,使得可将正整数集分拆为个互不相交的子集,每个子集中均不存在4个数(可以相同),满足.
三、(本题满分50分)
如图,点是锐角的外接圆上弧的中点,直线与圆过点的切线分别相交于点,与的交点为,与的交点为,与的交点为,求证:
平分线段.
四、(本题满分50分)
设,,集合,求的元素个数的最大值.
一试试卷答案
1.答案:
解:
数列的公比为,故.
2.答案:
解:
设,由条件得,比较两边实虚部可得,解得:
,故,进而.
3.答案:
解:
由条件知,,,
两式相加消去,可知:
,即.
4.答案:
解:
由正弦定理知,,又,于是,从而由余弦定理得:
.
5.答案:
解:
由条件知,平行于,因为正四面体的各个面是全等的正三角形,故,.
由余弦定理得,,
同理有.
作等腰底边上的高,则,故,
于是.
6.答案:
解:
注意中共有9个点,故在中随机取出三个点的方式数为种,
当取出的三点两两之间距离不超过2时,有如下三种情况:
(1)三点在一横线或一纵线上,有6种情况,
(2)三点是边长为的等腰直角三角形的顶点,有种情况,
(3)三点是边长为的等腰直角三角形的顶点,其中,直角顶点位于的有4个,直角顶点位于,的各有一个,共有8种情况.
综上可知,选出三点两两之间距离不超过2的情况数为,进而所求概率为.
7.答案:
解:
二次曲线方程可写成,显然必须,故二次曲线为双曲线,其标准方程为,则,注意到焦距,可知,又,所以.
8.答案:
574
解:
由条件知,当时,有,对于每个这样的正整数,由知,相应的的个数为,从而这样的正整数组的个数为,
当时,由,知,,进而,
故,此时共有2组.
综上所述,满足条件的正整数组的个数为.
9.解:
设,则,于是对所有成立,由于,,
对给定实数,设,则是关于的一次函数或常值函数,注意,因此等价于,解得
所以实数的取值范围是.
10.解:
(1)设等差数列的公差为,则
所以数列也是等差数列.
(2)由已知条件及
(1)的结果知:
,因为,故,这样
若正整数满足,则
.
记,则,且是一个非零的整数,故,从而.
又当时,有,
综上所述,的最小值为.
11.解:
设,则直线的方程为,代入曲线的方程得,,
化简可得:
①,
由于与交于两个不同的点,故关于的方程①的判别式为正,计算得,
,
因此有,②
设的横坐标分别为,由①知,,,
因此,结合的倾斜角为可知,
,③
由②可知,,故,从而由③得:
注1:
利用的圆心到的距离小于的半径,列出不等式,
同样可以求得②中的范围.
注2:
更简便的计算的方式是利用圆幂定理,事实上,的圆心为,半径为,故.
加试试卷答案
一、
证明:
当时,不等式显然成立
以下设,不妨设不异号,即,那么有
因此
二、
证明:
取,令,
设,则,
故,而,所以在中不存在4个数,满足
三、
证明:
首先证明,即证
连接,因为,
所以,①
由题设,是圆的切线,所以,,又(注意是弧的中点),于是由①知②
因为,所以,
于是③
而④
由②,③,④得,
即
又,
故
设边的中点为,因为,
所以由塞瓦定理知,三线共点,交点即为,故由可得平分线段
四、
解:
考虑一组满足条件的正整数
对,设中取值为的数有个,根据的定义,当时,,因此至少有个不在中,注意到,则柯西不等式,我们有
从而的元素个数不超过
另一方面,取(),(),
则对任意(),有
等号成立当且仅当,这恰好发生次,此时的元素个数达到
综上所述,的元素个数的最大值为160.