得分
阅卷
复核
9．（10分）在“利用电流传感器（相当于理想电流表）测定干电池电动势和内阻”的实验中，某同学利用两个电流传感器和定值电阻R0=2000Ω以及滑动变阻器，设计了如图a所示的电路，进行实验．该同学测出的实验数据如下表所示
1
2
3
4
5
I1/mA
1．35
1．30
1．20
1．10
1．05
I2/A
0．30
0．40
0．60
0．80
0．90
表中I1和I2分别是通过电流传感器1和2的电流．该电流的值通过数据采集器输入到计算机，数据采集器和计算机对原电路的影响可忽略．
（1）在图b中绘出I1~I2图线；
（2）由I1~I2图线得出，被测电池的电动势为V，内阻为Ω
得分
阅卷
复核
10．（10分）某金属材料发生光电效应的最大波长为λ0，将此材料制成一半径为R的圆球，并用绝缘线悬挂于真空室内．若以波长为λ（λ<λ0）的单色光持续照射此金属球，该金属球发生光电效应所产生光电子的最大初动能为，此金属球可带的电荷量最多为，（设无穷远处电势为零，真空中半径为r带电量为q的导体球的电势为U=k．）
三、计算题。
计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分.有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．
得分
阅卷
复核
11．（20分）某机场候机楼外景如图a所示。
该候机楼结构简化图如图b所示：
候机楼侧壁是倾斜的，用钢索将两边斜壁系住，在钢索上有许多竖直短钢棒将屋面支撑在钢索上．假设海边斜壁的质量为m，质量分布均匀；钢索与屋面（包括短钢棒）的总质量为，在地面处用铰链与水平地面连接，钢索固定于斜壁上端以支撑整个屋面，钢索上端与斜壁的夹角为30º；整个系统左右对称．求
（1j斜壁对钢索的拉力的大小；
（2）斜壁与地面的夹角．
得分
阅卷
复核
12.（20分）从左至右在同—水平地面上依次有3个质点a、b、c，且三者共线，a与b相距l1，b与c相距l2．现同时将它们从其初始位置抛出．已知质点b以初速度v0竖直上抛，质点c以某一初速度竖直上抛．设在这3个质点的运动过程中，a能碰到质点b和c；并假设质点a的质量远大于质点b的质量，且a与b碰撞时间极短．求质点c的初速度vc和质点a的初速度所满足的条件。
所求的结果均用题中的已知量表示出来。
得分
阅卷
复核
13．（20分）有—块长条形的纯净半导体硅，其横截面积为2．5cm2，通有电流2mA时，其内自由电子定向移动的平均速率为7．5×10-5m/s，空穴定向移动的平均速率为2．5×10-5m/s．已知硅的密度为2．4×103kg/m3，原子量是28．电子的电荷量大小为e=1．6×10-19C．若一个硅原子至多只释放一个自由电子，试估算此半导体材料中平均多少个硅原子中才有一个硅原子释放出自由电子?
阿伏伽德罗常数为N0=6．02×1023mol-1．
得分
阅卷
复核
14．（20分）电子感应加速器利用变化的磁场来加速电子．电子绕平均半径为R的环形轨道（轨道位于真空管道内）运动，磁感应强度方向与环形轨道平面垂直。
电子被感应电场加速，感应电场的方向与环形轨道相切．电子电荷量为e。
（1）设电子做圆周运动的环形轨道上的磁感应强度大小的增加率为，求在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力；
（2）设环形轨道平面上的平均磁感应强度大小的增加率为，试导出在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力与的关系；
（3）为了使电子在不断增强的磁场中沿着半径不变的圆轨道加速运，求和之间必须满足的定量关系．
得分
阅卷
复核
15.（20分）如图，导热性能良好的气缸A和B高度均为h（已除开活塞的厚度），横截面积不同，竖直浸没在温度为T0的恒温槽内。
它们的底部由—细管连通（细管容积可忽略）．两气缸内各有一个活塞，质量分别为mA=2m和mB=m，活塞与气缸之间无摩擦，两活塞的下方为理想气体，上方为真空。
当两活塞下方气体处于平衡状态时，两活塞底面相对于气缸底的高度均为。
现保持恒温槽温度不变，在两活塞土上面同时各缓慢加上同样大小的压力，让压力从零缓慢增加，直至其大小等于2mg（g为重力加速度）为止。
并一直保持两活塞上的压力不变；系统再次达到平衡后，缓慢升高恒温槽的温度，对气体加热，直至气缸B中活塞底面恰好回到高度为处．求
（1）两个活塞的横截面积之比SA：
SB；
（2）气缸内气体的最后的温度；
（3）在加热气体的过程中．气体对活塞所做的总功。
得分
阅卷
复核
16．（20分）如示意图所示，一垂直放置的高为15.0cm的圆柱形中空玻璃容器，其底部玻璃较厚，底部顶点A点到容器底平面中心B点的距离为8.0cm，底部上沿为一凸起的球冠，球心C点在A点正下方，球的半径为1.75cm．已知空气和容器玻璃的折射率分别是n0=1.0和n1=1.56．只考虑近轴光线成像。
已知：
当λ《1时，sinλ＝λ．
（1）当容器内未装任何液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上所成的像的位置，并判断像的虚实；
（2）当容器内装满折射率为1.30的液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱的上表面折射后所成像点的位置，并判断这个像的虚实。
第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷
参考解答与评分标准
一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．
1．D2．D3．BD4．A5．C
二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．
6．（10分）
答案：
6N 3分
0.1 3分
24J 4分
7.（10分）
答案：
（1）2：
1 3分;8N 3分
（2）2：
3：
4 4分
8.（10分）
答案：
=（R+x）6分
R4分
9.（10分）
答案:
（1）I1~I2图线为
4分
（2）3.0（±0.1） 3分;1.0（±0.1）3分
10.（10分）
答案：
5分; 5分
三、计算题.
计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的不能得分。
有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位.
11.（20分）设斜壁长度为l,斜壁对钢索的拉力大小为F,斜壁与水平地面所夹锐角为α,由力矩平衡条件得
F=mgcosα①
钢索与屋面作为一个整体受到三个力:
两端的拉力大小均为F（与水平方向的夹角为α-30º），竖直向下的重力mg，由力的平衡条件得
2Fsin（α-30°）=mg②
由①②式得
cosαsin（α-30°）=③
由三角中的积化和差公式有
[sin（α-30º-α）+sin（α-30º+α）]=
即sin（2α-30º）=1④
解得α=60º⑤
由①⑤式得
F=mg
评分参考:
①②式各4分,③④⑤⑥式各3分.
12.（20分）以质点a的初始位置为原点,向右为x轴正向,向上为y轴正向.设a的初速度x和y分量分别为vx和vy.按抛体运动公式,在时刻t质点a、b、c的坐标分别为
（xa，ya）=（vxt,vyt-gt2） ①
（xb，yb）=（l1,v0t-gt2） ②
（xc，yc）=（l1+l2,vct-gt2） ③
a与b相碰的条件是,存在时刻t1,使满足
vxt1=l1 ④
vyt1-gt12=v0t1-gt12⑤
v0t1-gt12≥0⑥
⑥式来自于水平地面对质点y坐标的限制。
由④⑤⑥式得
vy=v0 ⑦
vx≥g ⑧
由于a与b碰撞时间极短,可忽略重力的影响。
在a与b碰撞前后,系统的动量和能量守恒
mavx=mav'x+mbv'bx⑨
ma+mbvby（t1）=mav'y（t1）+mbv'by（t1）⑩
ma[vx2+vy2（t1）]+mbvby2（t1）=ma[v'x2+v'y2（t1）]+mb[v'bx2+v'by2（t1）]
式中,碰后的有关速度用打撇的字母表示.由题意,可认为mb=0.将mb=0代入⑨⑩式得
vx=v'x，vy（t1）＝v'y（t1）
可见,质点b的运动对质点a的运动的影响可忽略。
同理,a与c相碰的条件是,存在时刻t2,使满足
vxt2=l1+l2
vyt2-gt22=vct2-gt22
vct2-gt22≥0
由式得
vc=vy
vx≥g
由⑦⑧式得,质点c的初速度vc为
vc=v0
质点a的初速度应满足的条件为
vx≥g
vy=vc=v0
评分参考:
①②③式各2分,④⑤⑥⑦⑧各1分.
13.（20分）
设此半导体单位体积内有n个自由电子（因此也有n个空穴）,以S表示此半导体的横截面积,vl和v2分别表示半导体中空穴和自由电子的定向移动速率,Il和I2分别表示半导体中空穴和自由电子定向移动形成的电流,则
Il=nevlS①
I2=nev2S②
半导体中的总电流为
I=Il+I2③
由此得
n=④
由题意知,此半导体单位体积内有瓦个硅原子释放出自由电子.
单位体积半导体硅内的原子个数为
N=N0⑤
式中ρ和M分别为硅的密度和摩尔质量,N0=6.02×1023mo1-1是阿伏伽德罗常数.由④⑤式得
=⑥
代入有关数据得
=1×105⑦
即此半导体材料中,平均约1×105个硅原子释放出一个自由电子.
评分参考:
①②式各4分,③式3分,④式2分,⑤式3分,⑥⑦式各2分.
14.（20分）
（1）设电子做圆周运动的圆轨道上的磁感应强度大小为B,方向与环面垂直。
由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
evB=m①
设在圆轨道切线方向作用在电子上作用力为F,按照动量定理有
F∆t=∆（mv）②
由①②式得
F=eR③
（2）按照法拉第电磁感应定律,在电子运动的圆轨道上的感应电动势为
ξ=④
式中圆轨道所张的面上的磁通量Ф为
Ф=πR2⑤
这里,为圆轨道所张的面上的平均磁感应强度。
由④⑤式得
ξ=πR2⑥
考虑电子运行一圈感应电场所做的功,由电动势的定义可得
ξ=2πRE ⑦
电子在圆轨道切向所受到的力为
F=qE⑧
由⑥⑦⑧式得,
F=eR⑨
（3）③和⑨式所表示的是同样的力的大小.联立③⑨式得
=⑩
这就是为了使电子在不断增强的磁场中沿着半径不变的圆轨道加速运动,和之间必须满足的定量关系.
评分参考:
第
（1）问6分,①②③式各2分;第
（2）问10分,④⑤⑦⑧⑨式各2分;第（3）问4分,⑩式4分.
15.（20分）
（1）平衡时气缸A、B内气体的压强相等,故
①
由①式和题给条件得
SA:
SB=2:
1②
（2）两活塞上各放一质量为2m的质点前,气体的压强pl和体积V1分别为
p1=③
V1=SBh④
两活塞上各放一质量为2m的质点后,B中活塞所受到的气体压力小于它和质点所受重力之和,B中活塞将一直下降至气缸底部为止,B中气体全部进入气缸A.假设此时气缸A中活塞并未上升到气缸顶部,气体的压强p2为
p2=⑤
设平衡时气体体积为V2.由于初态末态都是平衡态,由理想气体状态方程有
⑥
由③④⑤⑥式得
V2=SBh=SAh⑦
这时气体的体积小于气缸A的体积,与活塞未上升到气缸顶部的假设一致.
缓慢加热时,气体先等压膨胀,B中活塞不动,A中活塞上升;A中活塞上升至顶部后,气体等容升压;压强升至时,B中活塞开始上升,气体等压膨胀。
设当温度升至T时,该活塞恰位于处.此时气体的体积变为
V3=SBh⑧
气体压强
p3=⑨
设此时气缸内气体的温度为T,由状态方程有
⑩
由⑤⑦⑧⑨⑩式得
T=5T0
（3）升高恒温槽的温度后,加热过程中,A活塞上升量为
h-h=h
气体对活塞所做的总功为
W=4mg·h+3mg·h=4mgh
评分参考:
第
（1）问3分,①式2分,②式1分;第
（2）问13分,③④⑤⑥式各2分,⑦⑧⑨⑩式各1分;第（3）问4分,式各2分.
16.（20分）
（1）容器底部凸面两侧介质的折射率分别是n1=1.56和n0=1.0。
如图,由B点发出的经过球心C的光线BA经过顶点A后,方向不变,进入空气中;由B点发出的与BA成α角的另一条光线BD在D点折射,设折射角为φ,并与前一条出射光线交于E点,E点即B点的像点的位置。
由折射定律和几何关系得
nlsinθ=n0sinφ①
γ=α+θ②
φ=γ+β③
在三角形BCD和三角形CDE中,由正弦定理可得
④
⑤
由于只考虑近轴光线成像,所以α、β、θ、φ都是小角度,①④⑤式可写为
n1θ=n0φ ⑥
θ=α ⑦
φ=β ⑧
由⑥⑦式可得
α+θ=φ（1+）＝0.82φ＜φ ⑨
所考虑的光线是会聚的,故所成的像为实像.由②③⑥⑦⑧式可得
将题给数据代入上式得
1.75cm=9.75cm ⑩
由⑨式和题给数据得
=（8.0-1.75+9.75）cm=16.0cm⑩
B点发出的光线通过平凸玻璃柱,在玻璃柱对称轴上所成的像点的位置在C点正上方9.75cm处或在B点正上方16.0cm处.
（2）容器底部凸面两侧介质的折射率分别是nl=1.56和n2=1.30.如图,由B点发出的经过球心C的光线BA经过顶点A后,方向不变,进入液体中;由B点发出的与BA成α角的另一条光线BD在D点折射,设折射角为φ,并与前一条出射光线交E点,E点即B点发出的光线第一次折射后所成像点的位置.
由折射定律和几何关系可得
nlsinθ=n2sinφ
γ=α+θ
γ=φ+β
在三角形BCD和三角形CDE中,由正弦定理可得
由于只考虑近轴光线成像,所以α、β、θ、φ都是小角度,式可写为
n1θ=n2φ
θ=α
φ=β
由式可得
α+θ=φ（1+）＝1.07φ>φ
所考虑的光线是发散的,故所成的像为虚像.由式得
将有关数据代入上式可得:
1.75cm=26.25cm
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