热力学知识点、例题、演练(高中物理竞赛).doc
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一、理想气体
1、理想气体
宏观定义：
严格遵守气体实验定律的气体。
微观特征：
a、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略，分子不计重力势能；b、除了短暂的碰撞过程外，分子间的相互作用可以忽略——意味着不计分子势能；c、分子间的碰撞完全是弹性的。
*理想气体是一种理想模型，是实际气体在某些条件约束下的近似，如果这些条件不满足，我们称之为实际气体，如果条件满足不是很好，我们还可以用其它的模型去归纳，如范德瓦尔斯气体、昂尼斯气体等。
2、气体实验三定律
在压强不太大，温度不太低的条件下，气体的状态变化遵从以下三个实验定律
a、玻意耳-马略特定律：
一定质量气体温度不变时，P1V1=P2V2或PV=恒量
b、查理定律：
一定质量气体体积不变时，=或=恒量
c、盖·吕萨克定律：
一定质量气体压强不变时，=或=恒量
3、理想气体状态方程：
一定质量的理想气体，=或=恒量
理想气体状态方程可以由三个试验定律推出，也可以由理想气体的压强微观解释和温度微观解释推导得出。
a、推论1：
=，此结论成功地突破了“质量一定”的条件约束，对解某些特殊问题非常有效。
b、克拉珀龙方程：
原方程中，将“恒量”定量表达出来就成为PV=RT，其中为气体的摩尔数，这个结论被成为克拉珀龙方程。
它的优点是能使本来针对过程适用的方程可以应用到某个单一的状态。
c、推论2：
气体混合（或分开）时，++…+，这个推论很容易由克拉珀龙方程导出。
d、道尔顿分压定律：
当有n种混合气体混合在一个容器中时，它们产生的压强等于每一种气体单独充在这个容器中时所产生的压强之和。
即P=P1+P2+P3+…+Pn
二、分子动理论
1、物质是由大量分子组成的（注意分子体积和分子所占据空间的区别）
2、物质内的分子永不停息地作无规则运动
固体分子在平衡位置附近做微小振动（振幅数量级为0.1），少数可以脱离平衡位置运动。
液体分子的运动则可以用“长时间的定居和短时间的迁移”来概括，这是由于液体分子间距较固体大的结果。
气体分子基本“居无定所”，不停地迁移（常温下，速率数量级为102m/s）。
无论是振动还是迁移，都具备两个特点：
a、偶然无序（杂乱无章）和统计有序（分子数比率和速率对应一定的规律——如麦克斯韦速率分布函数，如图6-2所示）；b、剧烈程度和温度相关。
3、分子间存在相互作用力（注意分子斥力和气体分子碰撞作用力的区别），而且引力和斥力同时存在，宏观上感受到的是其合效果。
分子力是保守力，分子间距改变时，分子力做的功可以用分子势能的变化表示，分子势能EP随分子间距的变化关系如图6-4所示。
分子势能和动能的总和称为物体的内能。
三、气体的内能
1．气体压强的微观意义：
2．气体温度的微观意义：
上式表明，宏观量的温度只与气体分子的平均平动动能有关，它与热力学温度成正比，所以温度成为表征物质分子热运动剧烈程度的物理量。
对所有物质均适用。
对单个分子谈温度毫无意义。
3、理想气体的内能、做功与吸放热计算
a、理想气体的内能计算
由于不计分子势能，故E=N·=NkT=NT=RT，其中N为分子总数，为气体的摩尔数。
由于（对一定量的气体）内能是温度的单值函数，故内能的变化与过程完全没有关系。
b、理想气体的做功计算
气体在状态变化时，其压强完全可以是变化的，所以气体压力的功从定义角度寻求比较困难。
但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功（☆无限分割→代数和累计…），并最终得出这样一个非常实用的结论：
准静态过程理想气体的功W总是对应P-V图象中的“面积”。
这个面积的理解分三层意思——
①如果体积是缩小的，外界对气体做功，面积计为正；②如果体积是增大的，气体对外界做功，面积计为负；③如果体积参量变化不是单调的（例如循环过程），则面积应计相应的差值。
如图所示。
c、吸放热的计算
热力学第一定律：
ΔE=W+Q,注意各量的正负号的规定。
Q=ΔE+（-W）=ΔU+A（W:
指外界对系统做的功；A:
指系统对做外界的功）
等容过程
Q.称做定容摩尔比热容，，为分子的自由度，对于单原子分子气体，；对于双原子分子气体，；而对于多原子分子气体.为摩尔气体常数，．
等压过程
Q=CPΔT
称做定压摩尔比热容，，而称为比热容比．对于单原子分子气体，；而双原子分子气体，；多原子分子气体则有.、及均只与气体分子的自由度有关而与气体温度无关.
等温过程
.
绝热过程
，此称泊松方程,.
四.热力学第二定律
1循环过程若一系统由某一状态出发，经过任意的一系列的过程，最后又回到原来的状态，这样的过程称为循环过程.
循环过程中系统对外所做的功如图16—1所示为某一系统的准静态循环过程．在一循环中系统对外所做的功，数值上等于图16—1所示图中闭合曲线的“面积”.
若循环沿顺时针方向进行。
这个功是正的，相应的循环称为正循环；若循环沿逆时针方向进行，一个循环中系统对外所做的功为负，数值仍等于闭合曲线所包围的面积，相应的循环称为负循环．
一循环中系统对外所做的功，等于一循环中系统吸收的净热量,即吸收热量与放出热量的差.
2热机及其效率设一系统做正循环，那么，系统在膨胀阶段所吸收的热量大于在压缩阶段放出热量，其差值转变为一循环中系统对外所做的功，能完成这种转变的机械称为热机，热机的物理本质就是系统做正循环．热机的主要部分是：
一个高温热源（发热器），用来供给的热量；一个低温热源（冷却器），用来吸取的热量；一种工作物质（如水、空气或水蒸气等），以及盛工作物质的气缸、活塞等．
对于热机，最重要的问题在于由高温热源吸取的热量中，究竟有多少可以转变为功，至于向低温热源所放出的热量的多少，并不重要．因此定义了热机的效率为：
一循环中系统对外所做的功与由高温热源吸取的热量的比值，即.热机效率的大小，由循环的具体结构、性质而定.
3制冷机及其效率设一系统做负循环，则为负，为正，且＞，为负，即一循环中系统对外做了的负功；又系统从低温热源吸收了较少的热量，而在高温热源放出了较多的热量，因而一循环中放出的净热量为－＝.所以系统在一负循环中，外界对系统做了功的结果为：
系统在低温热源吸人热量连同转变而成的热量，一并成为的热量放入高温热源，结果将热量由低温热源输送到高温热源，这就是制冷机（也叫热泵）的原理．
对制冷机，要关心的问题是：
一循环中系统做了功后，有多少热量由低温热源输送到高温热源去了，因此把定义为制冷机的制冷系数．有时也把
叫做制冷机的效率，可以看出，制冷机的效率越高，制冷系数越小，经济效能越低．
在技术上使用热机的种类很多，有蒸汽机、内燃机和制冷机等，图16—2分别表示蒸汽机和制冷机的工作过程框图．
4卡诺循环
图16—3给出了卡诺机模型．卡诺机中的工作物质是理想气体，被一个绝热活塞封闭在气缸中，缸的四壁是完全绝热和光滑的，缸底则是理想导热的；绝热台；一个温度为的高温热源；一个温度为的低温热源，两个热源的热容量极大，温度几乎不变．
卡诺循环的过程可用图16—4状态图线表示，气体从初始状态开始，沿箭头方向经历下列过程；：
将气缸移到高温热源上，让它缓慢地做等温膨胀，体积由膨胀到，在等温过程中，温度恒为，共吸收热量，过程沿等温线进行；
：
将气缸移到绝热台上，让它做绝热膨胀，气体温度逐渐下降，到达状态时，温度已降为，体积膨胀到，过程沿绝热线进行；
：
将气缸移到低温热源上，将气体压缩，温度保持在，压缩中不断放出热量，一直压缩到状态，共放出热量，状态的体积为，它是过点的等温线和过点的绝热线的交点，过程沿等温线进行；
：
将气缸移到绝热台，经过绝热压缩，气体温度逐渐升高，直到返回原来状态，过程沿绝热线进行．
这样完成了一个卡诺循环过程，它是由两个等温过程、和两个绝热过程、组成.卡诺循环中的能量转化过程可用图16—5表示．
5卡诺循环的效率为使对卡诺循环的讨论具有确切的意义，上面四个过程都必须是准静态过程，一卡诺循环的结果是：
工作物质恢复到原来状态，高温热源失去了的热量，表示等温膨胀过程中系统对外所做的功；低温热源获得了的热量，是等温压缩过程中系统对外所做的功，一循环中系统对外所做的总功为：
，其数值等于闭合曲线所包围的面积，是正值．
根据热机效率的定义，卡诺循环的效率为，在过程中吸收的热量，在过程中放出的热量.又、为绝热过程，，即，.有，所以
，.因此卡诺循环的效率为同时也可推导出，即.从结果可看出，卡诺循环的效率只由两个热源的温度而定，越高，越低，效率越高．
6热力学第二定律
热力学第二定律的克劳修斯表述：
在低温热源吸取热量，把它全部放入高温热源．而不引起其他变化是不可能的．这是从热传导的方向性来表述的，也就是说，热传导只能是从高温热源向低温热源方向进行的．
热力学第二定律的开尔文表述：
从单一热源吸取热量，把它完全转变为功而不引起其他变化是不可能的．这是从机械能与内能转化过程的方向来表述的，也就是说，当将内能转变为机械能时，若不辅以其他手段是不可能的．
上述两种表述是完全等效的，若承认其中一种表述，可以推出另一种表述．热力学第二定律也使人们认识到，自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向．
例1．两端开口的横截面积为S的直管固定在水平方向上，在管内有两个活塞．开始左边活塞通过劲度系数为k的未形变的弹簧与固定的壁相连．两个活塞之间的气体压强P0等于外界大气压强．右活塞到右管口的距离为H，它等于两活塞之间的距离（如图）．将右活塞缓慢地拉向右管口，为了维持活塞在管口的平衡，问需用多大的力作用在此活塞上？
摩擦不计．温度恒定．
分析和解：
左活塞：
P0SPSkx=0①
右活塞：
F十PSP0S=0②
式中P为后来两活塞之间气体压强．可得：
F二P0SPS=kx
可见，x=0，F=0；k=0，F=0.
因温度恒定，根据玻意耳定律有
P0HS＝P（2Hx）S
由此，得③
将③式代入②式，得到关于F的二次方程：
F2（P0S+2kH）F+P0SkH=0
其解
既然k=0时，F=0，所以最终答案应为
演练1：
如图为竖直放置的上细下粗的密闭细管，水银柱将气体分隔成A、B两部分，初始温度相同。
使A、B升高相同温度达到稳定后，体积变化量为DVA、DVB，压强变化量为DpA、DpB，气体对液面压力的变化量为DFA、DFB，则（AC）
A．水银柱向上移动了一段距离 B．DVA＜DVB
C．DpA＞DpB D．DFA＝DFB
演练2：
一抽气机转速n=400转/分，抽气机每分钟能抽出气体20L，设容器的容积V0=2L，问经多长时间才能使容器的压强由p0=105Pa降到pN=100Pa?
42s
演练3.如图所示气缸上部足够长，质量不计的轻活塞A、B的截面积分别为2S和S，气缸下部长为2l。
A、B活塞间以长为7l/4的无弹性轻质细绳相连，A活塞上部有压强为p0的大气。
开始时封闭气室M、N中充有同种气体。
且M的体积是N的2倍，N中气体恰好为1mol，且小活塞B位于距底部l处，气体温度为T0。
现同时缓慢升高两部分封闭气体的温度至2T0，求平衡后活塞A与底部的距离。
4l
例2、如图所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长96cm，内有一段长20cm的水银柱，当温度为27℃且管口向上竖直放置时，被封闭的气柱长为60cm。
试问：
当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？
=，即=，得P=
隔离水银柱下面的液面分析，可知P≤76+x时准静态过程能够达成（P可以随升温而增大，直至不等式取等号），而P＞76+x时准静态过程无法达成（T升高时，P增大而x减小），水银自动溢出。
所以，自动溢出的条件是：
T＞（－x2+20x+7296）
考查函数y=（－x2+20x+7296）发现，当x=10cm时，ymax=385.2K
而前面求出的x=0时，T只有380K，说明后阶段无须升温，即是自动溢出过程（参照图6-8理解）。
而T＞ymax即是题意所求。
演练1：
.一根内径均匀、开口向上、竖直放置的长直玻璃管，管长为Lcm，其上端被长为hcm的汞柱封住，汞面和管口相平。
现用手指堵住管口使玻璃管竖直倒置，求放开手指后汞全部溢出的条件。
大气压相当于Hcm高汞柱所产生的压强。
答案：
L>H+h
演练2：
一根长为L（以厘米为单位）的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中，大气的压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长L＞H.现把细管弯成L形，如图所示.假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化.可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出.当细管弯成L形时，以l表示其竖直段的长度，问l取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？
给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示）.
解：
设注入水银柱长为x，则空气柱长变为L’＝，空气柱上表面与管口的距离d＝L－L’＝x，开始时由于x很小，所以d＞x，可继续倒入水银。
（1）水银柱上表面与管口相平时，水银柱未进入水平管：
由（H＋x）（L－x）＝HL，得x＝L－H，可见当l≥L－H时，有最大值xm＝L－H。
（2）水银柱上表面与管口相平时，一部分水银柱进入水平管：
由（H＋l）（L－x）＝HL，得x＝，又l＜x，所以l＜，L＞H＋l，而x＝L－＜L－H，可知当l≥L－H时，x有最大值xm＝L－H。
例3、p
3p0/2
p0
p0/2
V0/2
3V0/2
V0
V
A
B
C
D
o′
0
1mol理想气体缓慢地经历了一个循环过程，在p-V图中，这个过程是一个椭圆，如图所示,已知此气体若处在与椭圆中心0ˊ点所对应的状态时，其温度为T0=300K.求在整个循环过程中气体的最高温度T1和最低温度T2各是多少。
【答案】549K；125K
演练2、图所示是一定质量理想气体状态变化所经历的P-T图线，该图线是以C点为圆心的圆。
P轴则C点的纵坐标PC为单位（T轴以TC为单位）。
若已知在此过程中气体所经历的最低温度为T0，则在此过程中，气体密度的最大值ρ1和最小值ρ2之比ρ1/ρ2应等于多少？
【解说】本题物理知识甚简，应用“推论1”即可。
===
此式表明，越大时，ρ就越大。
故本题归结为求的极大值和极小值。
r=1-
T=Tc（1+rcosθ）
P=PC（1+rcosθ）
引入y==，然后函数的极值…【答案】
演练2：
图是一种测量低温用的气体温度计，它的下端是测温泡A，上端是压力计B，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计。
操作时先把测温计在室温T0下充气至大气压P0，然后加以密封，再将A浸入待测液体中，当A和待测液体达到热平衡后，B的读数为P，已知A和B的容积分别为VA和VB，试求待测液体的温度。
【解说】本题是“推论2”的直接应用
=+
【答案】TA=
【例】证明理想气体的压强P=n，其中n为分子数密度，为气体分子平均动能。
【证明】考查yoz平面的一个容器壁，P=①
设想在Δt时间内，有Nx个分子（设质量为m）沿x方向以恒定的速率vx碰撞该容器壁，且碰后原速率弹回，则根据动量定理，容器壁承受的压力
F==②
在气体的实际状况中，如何寻求Nx和vx呢？
考查某一个分子的运动，设它的速度为v，它沿x、y、z三个方向分解后，满足
v2=++
分子运动虽然是杂乱无章的，但仍具有“偶然无序和统计有序”的规律，即
=++=3③
这就解决了vx的问题。
另外，从速度的分解不难理解，每一个分子都有机会均等的碰撞3个容器壁的可能。
设Δt=，则
Nx=·3N总=na3④
注意，这里的是指有6个容器壁需要碰撞，而它们被碰的几率是均等的。
P====nm=n
例4．如图所示，绝热的活塞S把一定质量的稀薄气体（可视为理想气体）密封在水平放置的绝热气缸内．活塞可在气缸内无摩擦地滑动．气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地加热．气缸处在大气中，大气压强为p0．初始时，气体的体积为V0、压强为p0．已知1摩尔该气体温度升高1K时其内能的增量为一已知恒量c。
，求以下两种过程中电热丝传给气体的热量Ql与Q2之比．
p0
r
（1）从初始状态出发，保持活塞S位置固定，在电热丝中通以弱电流，并持续一段时间，然后停止通电，待气体达到热平衡时，测得气体的压强为pl.
（2）仍从初始状态出发，让活塞处在自由状态，在电热丝中通以弱电流，也持续一段时间，然后停止通电，最后测得气体的体积为V2．
解：
初状态：
P0V0＝RT0，过程1是等容过程，气体不做功，
Q1＝c（T1－T0），末状态：
P1V0＝RT1，
可解得：
Q1＝V0（p1－p0），过程2是等压过程，
Q2＝c（T2－T0）＋p0（V2－V0），末状态：
P0V2＝RT2，
可解得：
Q2＝p0（V2－V0），所以＝。
演练1：
绝热容器A经一阀门与另一容积比A容积大很多的绝热容器B相连．开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30oC，B中气体的压强是A中的两倍。
现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭，问此时容器A中气体的温度为多少？
假设在打开到关闭阀门的过程中，处在A中的气体与处在B中的气体之间无热交换。
已知每摩尔该气体的内能为。
解：
设气体的摩尔质量为μ，容器A的体积为V。
阀门打开前，其中气体的质量为M、压强为P、温度为T，由，得①
打开阀门又关闭后，A中气体的压强2P，温度、质量为，则②
由B进入A的气体的质量为③
设这些气体处在容器B中时所占的体积为△V，则④
容器B中其他气体对这些气体将等压做功为⑤
A中气体内能的变化为⑥
因为A与外界没有热交换，根据热力学第一定律，有结果为。
演练2：
图所示，A和B是两个圆筒形绝热容器，中间用细而短的管子连接，管中有导热性能良好的阀门K，而管子和阀门对外界却是绝热的。
F是带柄的绝热活塞，与容器A的内表面紧密接触，不漏气，且不计摩擦。
开始时，K关闭，F处于A的左端。
A中有摩尔、温度为T0的理想气体，B中则为真空。
现向右推动F，直到A中气体的体积与B的容积相等。
在这个过程中，已知F对气体做功为W，气体温度升为T1，然后将K稍稍打开一点，使A中的气体缓慢向B扩散，同时让活塞F缓慢前进，并保持A中活塞F附近气体的压强近似不变。
不计活塞、阀门、容器的热容量，试问：
在此过程中，气体最后的温度T2是多少？
解：
过程一：
K打开前，过程绝热，据热力学第一定律，ΔE=W
又由E=CVT知ΔE=CV（T1−T0）
因此，CV=①
而且在末态，P1=②
过程二：
K打开后，过程仍然绝热，而且等压。
所以，
W′=P1（V1−V1′），其中V1′为A容器最终的稳定容积。
〖学员思考〗此处求功时ΔV只取A容器中气体体积改变而不取整个气体的体积改变，为什么？
——因为B容器中气体为自由膨胀的缘故…
为求V1′，引进盖·吕萨克定律=
从这两式可得W′=P1V1③
而此过程的ΔE′=CVΔT=CV（T2−T1）④
（注意：
这里是寻求内能增量而非热量，所以，虽然是等压过程，却仍然用CV而非CP）
最后，结合①②③④式对后过程用热力学第一定律即可。
【答案】T2=T1。
例题5、0.1mol的单原子分子理想气体，经历如图所示的A→B→C→A循环，已知的状态图中已经标示。
试问：
（1）此循环过程中，气体所能达到的最高温度状态在何处，最高温度是多少？
（2）C→A过程中，气体的内能增量、做功情况、吸放热情况怎样？
BC的直线方程为P=－V+2y=PV=－V2+2V
显然，当V=2时，y极大，此时，P=1
代入克拉珀龙方程：
1×105×2×10－3=0.1×8.31Tmax，解得Tmax=240.7K
（2）由克拉珀龙方程可以求得TC=180.5K=TB，TA=60.2K
ΔE=RΔT=0.1××8.31×（60.2－180.5）=－150.0J
根据“面积”定式，W=0.5×105×2×10-3=100J
计算Q有两种选择：
a、Q=CPΔT=0.1××8.31×（60.2－180.5）=－250.0J
b、Q=ΔE－W=－250.0J
【答案】
（1）V=2×10－3时，Tmax为240.7K；
（2）内能减少150.0J，外界对气体做功100J，气体向外界放热250J。
演练1．如图，在一大水银槽中竖直插入一根玻璃管，管上端封闭，下端开口，已知槽中水银面以上的那部分玻璃管的长度L＝76cm，管内封闭有n=1.0×10-3mol的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少？
已知管外大气压强为76cmHg,空气的摩尔内能U＝CVT，CV=20.5J/molK。
解：
设管内空气柱长度为h，大气压强为P0，管内空气压强为P，水银密度为ρ，由图可知P0=P+ρg（Lh）①
根据题给数据可知P0=ρgL。
管内空气压强为②
S为玻璃管横截面积，V为管内空气体积，由②式可知，
管内空气压强与其体积成正比。
由克拉伯龙方程PV=nRT，得③
在管内气温度T1降到T2的过程中，气体体积由V1减小到V2，外界对气体做正功，其值可用图8—5中划有斜线的梯形面积来表示，即有
④
管内空气内能的变化为⑤
设Q为外界传给气体的热量，根据热一定律，有=0.247J
演练2：
一个高为152cm的底部封闭的直玻璃管中下半部充满双原子分子理想气体，上半部是水银且玻璃管顶部开口，对气体缓慢加热，到所有的水银被排出管外时，传递给气体的总热量是多少？
（大气压强p0=76cmHg）
例6．由v1摩尔的单原子分子理想气体与v2摩尔双原子分子理想气体混合组成某种理想气体，已知该混合理想气体在常温下的绝热方程为（C为常量）．试求v1与v2的比值α.
演练1：
如图
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