浙江省高中数学竞赛卷参考答案.doc
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2007年浙江省高中数学竞赛（Ａ卷）参考答案
一、选择题
1.如果，则使的的取值范围为（B）
A.B.C.D.
解：
显然，且。
。
要使。
当时，，即；当时，，此时无解。
由此可得，使的的取值范围为。
2.已知集合，，则＝ （ C ）
A.B.Ｒ
C. D.
解：
没有实数可以使上述不等式成立。
故。
从而有。
3.以为六条棱长的四面体个数为 （ B ）
A.2 B. 3 C. 4 D. 6
解：
以这些边为三角形仅有四种：
，，，。
固定四面体的一面作为底面：
当底面的三边为时，另外三边的取法只有一种情况，即；
当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，。
其余情形得到的四面体均在上述情形中。
由此可知，四面体个数有３个。
4.从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（C）种。
A.89 B.90 C. 91 D.92
解：
若取出的３个数构成递增等比数列，则有。
由此有。
当固定时，使三个数为整数的的个数记作。
由，知应是的整数部分。
，，，,，
,,.
因此，取法共有。
5.若在复平面上三个点构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，其中，则△ABC的面积为（A ）
A. B. C. 1 D.
解：
依题意，，。
△ABC的面积为。
2007重
6. 的末二位数字是 （ C ）
A.01 B.07 C. 43 D.49
ｋ重
解：
记 。
题目要求的末二位数。
其中M为正整数。
由此可得的末二位数与的末二位数字相同。
首先来观察的末二位数字的变化规律。
2
3
4
5
6
7
8
9
的末二位数字
49
43
01
07
49
43
01
07
的末二位数字的变化是以４为周期的规律循环出现。
（为奇整数）
（为正整数）
因此，与的末二位数字相同，为43。
二、填空题
7.设为的单调递增数列，且满足，则。
解：
（由题意可知取正号。
）
因此，公差为２的等差数列，即。
从而可得。
8.设为方程的根（），则。
解：
由题意，。
由此可得
，，以及 。
。
9.设均为非负实数，则
的最小值为 2007 。
解：
在直角坐标系中，作点，，，，。
则
I＝
＝＋＋＋ （应用三角不等式）
＋＋＋＝2007。
如果取，即，那么I取到最小值2007。
10.设是定义在R上的奇函数，且满足；又当时，，则＝。
解：
依题意，，即是以４为周期的周期函数。
因为当时，，且为奇函数，所以当时，。
此时有 。
可得。
又因为是以４为周期的周期函数，所以也有，（）。
11.设，则不超过的最大整数为。
解：
,
,
不超过的最大整数为。
12.整数，且，则整数组为。
解：
方程两边同乘以８，得。
因为，所以要使左边为奇数，只有，即。
则。
要使左边为奇数，只有，即。
从而有 ，即。
故有。
三、解答题
13.已知抛物线和点。
过点任作直线，交抛物线于B,C两点。
（１）求△ABC的重心轨迹方程，并表示成形式；
（２）若数列，，满足。
试证：
。
解：
（１）设过的直线方程为。
又设，，联立方程组，
消去，得。
从而有，
，。
设△ABC的重心坐标为，则
消去k，即得 。
（２）因为，，所以
，
上式右边等号成立当且仅当。
假设，则
，
上式右边等号成立当且仅当。
由此得到（）。
从而有
。
14.设正实数及非负实数满足条件
求的最小值，并论证之。
解：
根据，有
. （）
上式取等号当且仅当 。
15.设，为子集。
若，且存在，，，则称为“好集”。
求最大的，使含的任意33元子集为好集。
解：
令，。
显然对任意，不存在，使得成立。
故Ｐ是非好集。
因此 。
下面证明：
包含21的任意一个33元子集A一定为好集。
设。
若1，3，7，42，63中之一为集合A的元素，显然为好集。
现考虑1，3，7，42，63都不属于集合A。
构造集合
，，，，，，，，
，，，，，。
由上可见， 每个集合中两个元素都是倍数关系。
考虑最不利的情况，即，也即中16个元素全部选作A的元素，A中剩下16个元素必须从这15个集合中选取16个元素。
根据抽屉原理，至少有一个集合有两个元素被选，即集合A中至少有两个元素存在倍数关系。
综上所述，包含21的任意一个33元子集A一定为好集，即的最大值为21。
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