2010年(全国卷II)高考理科数学.doc

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）

数学（理）试题

一、选择题（本大题共12题,共计60分）

（1）复数（）

（A）（B）（C）（D）

（2）函数的反函数是（）

（A）（B）

（C）（D）

（3）若变量满足约束条件则的最大值为（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

（4）如果等差数列中，，那么（）

（A）14（B）21（C）28（D）35

（5）不等式的解集为（）

（A）（B）

（C）（D）

（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）

（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）

（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位

（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位

（8）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则  等于（　　）

（A）（B）（C）（D）

（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）

（A）1（B）（C）2（D）3

（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则（）

（A）64（B）32（C）16（D）8

（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（）

（A）有且只有1个（B）有且只有2个

（C）有且只有3个（D）有无数个

（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（）

（A）1（B）（C）（D）2

二．填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）已知是第二象限的角，，则．

（14）若的展开式中的系数是，则．

（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．

（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离．

三．解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）中，为边上的一点，，，，求．

（18）（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝（n2＋n）·3n.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：

．

（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1.

（Ⅰ）证明：

为异面直线与的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．

（20）（本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．

（21）（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l与双曲线C：

相交于B、D两点，且BD的中点为．

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：

过A、B、D三点的圆与x轴相切．

（22）（本小题满分12分）设函数．

（Ⅰ）证明：

当时，；

（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．

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