2004年高考数学试题(全国1理)及答案.doc

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2004年高考试题全国卷Ⅰ理

球的表面积公式

S=4

其中R表示球的半径，

球的体积公式

V=，

其中R表示球的半径

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

Pn（k）=CPk（1－P）n－k

一、选择题：

本大题共12小题，每小题6分，共60

1．（1－i）2·i= （）

A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2

2．已知函数 （）

A．b B．－b C． D．－

3．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+3|= （）

A． B． C． D．4

4．函数的反函数是 （）

A．y=x2－2x+2（x<1） B．y=x2－2x+2（x≥1）

C．y=x2－2x（x<1） D．y=x2－2x（x≥1）

5．的展开式中常数项是 （）

A．14 B．－14 C．42 D．－42

6．设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是 （）

A．（A）∪B=I B．（A）∪（B）=IC．A∩（B）= D．（A）（B）=B

7．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=

A． B． C． D．4

8．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]

9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 （）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于 （）

A． B． C． D．

11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （）

A． B． C． D．

12．的最小值为 （）

A．－ B．－ C．－－ D．+

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．不等式|x+2|≥|x|的解集是.

14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为.

15．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n－1）an－1（n≥2），则{an}的通项

16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是.

①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线； ④一条直线及其外一点；在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：

本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

求函数的最小正周期、最大值和最小值.

18．（本小题满分12分）

一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.

19．（本小题满分12分）

已知求函数的单调区间.

20．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离，

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

21．（本小题满分12分）

设双曲线C：

相交于两个不同的点A、B.

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.

22．（本小题满分14分）

已知数列，且a2k=a2k－1+（－1）k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….

（I）求a3,a5；

（II）求{an}的通项公式.

2004年高考试题全国卷1理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题

DBCBABCCBADB

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．{x|x≥－1}14．x2+y2=415．16．①②④

三、解答题

17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.

解：

所以函数f（x）的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

解：

P（ξ=0）=0.52×0.62=0.09.

P（ξ=1）=×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6=0.3

P（ξ=2）=×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.37.

P（ξ=3）=×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.2

P（ξ=4）=0.52×0.42=0.04

于是得到随机变量ξ的概率分布列为：

ξ

0

1

2

3

4

P

0.09

0.3

0.37

0.2

0.04

所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.

解：

函数f（x）的导数：

（I）当a=0时，若x<0，则<0，若x>0,则>0.

所以当a=0时，函数f（x）在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

（II）当

由

所以，当a>0时，函数f（x）在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（III）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0

由2x+ax2<0，解得x<0或x>－.

所以当a<0时，函数f（x）在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.

20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.

（I）解：

如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE·sin60°=，

即点P到平面ABCD的距离为.

（II）解法一：

如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

.连结AG.

又知由此得到：

所以

等于所求二面角的平面角，

于是

所以所求二面角的大小为.

解法二：

如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.

在Rt△PEG中，EG=AD=1.

于是tan∠GAE==,

又∠AGF=π－∠GAE.

所以所求二面角的大小为π－arctan.

21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.

解：

（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得

（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.①

双曲线的离心率

（II）设

由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，

22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.

解：

（I）a2=a1+（－1）1=0,

a3=a2+31=3.

a4=a3+（－1）2=4,

a5=a4+32=13,

所以，a3=3,a5=13.

（II）a2k+1=a2k+3k

=a2k－1+（－1）k+3k,

所以a2k+1－a2k－1=3k+（－1）k,

同理a2k－1－a2k－3=3k－1+（－1）k－1,

……

a3－a1=3+（－1）.

所以（a2k+1－a2k－1）+（a2k－1－a2k－3）+…+（a3－a1）

=（3k+3k－1+…+3）+[（－1）k+（－1）k－1+…+（－1）],

由此得a2k+1－a1=（3k－1）+[（－1）k－1],

于是a2k+1=

a2k=a2k－1+（－1）k=（－1）k－1－1+（－1）k=（－1）k=1.

{an}的通项公式为：

当n为奇数时，an=

当n为偶数时，

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