高考数学江苏卷解析版Word版含答案王琪.doc
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
绝密★启用前
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.函数的最小正周期为▲.
解析：
2.设（i为虚数单位），则复数的模为▲.
解析：
3.双曲线的两条渐近线的方程为▲.
解析：
Y
N
输出n
开始
结束
（第5题）
4.集合共有▲个子集.
解析：
（个）
5.右图是一个算法的流程图，则输出的的值是▲
解析：
经过了两次循环，n值变为3
6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：
环），结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为▲.
解析：
易知均值都是90，乙方差较小，
7.现有某类病毒记作，其中正整数可以任意选取，则都取到奇数的概率为▲.
解析：
可以取的值有：
共个
可以取的值有：
共个
所以总共有种可能
符合题意的可以取共个
符合题意的可以取共个
所以总共有种可能符合题意
所以符合题意的概率为
8.如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则▲.
解析：
所以
9.抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内的任意一点，则的取值范围是▲.
解析：
易知切线方程为：
所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为
易知过C点时有最小值，过B点时有最大值0.5
10.设分别是的边上的点，,,若（为实数），则的值为▲.
解析：
易知
所以
11.已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集用区间表示为▲.
解析：
因为是定义在上的奇函数，所以易知时，
解不等式得到的解集用区间表示为
12.在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为,右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为.若，则椭圆的离心率为▲.
解析：
由题意知
所以有两边平方得到，即
两边同除以得到，解得，即
13.平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间最短距离为，则满足条件的实数的所有值为▲.
解析：
由题意设则有
令
则，对称轴
1.时，
，（舍去）
2.时，
，（舍去）
综上或
14.在正项等比数列中，，.则满足的最大正整数的值为▲.
解析：
又时符合题意，所以的最大值为
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分14分）
已知，，.
（1）若，求证：
；
（2）设，若，求，的值.
解：
（1）
（2）
得：
又
16.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，平面平面，,.过作，垂足为，点,分别是侧棱,的中点.
求证：
（1）平面平面;
（2）.
解：
（1）分别是侧棱的中点
在平面中，在平面外
平面
为中点
在平面中，在平面外
平面
与相交于
在平面中
平面平面
（2）平面平面
为交线
在中，
平面
与相交于
在平面中
平面
17.（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
解：
（1）
①与②联立得到圆心坐标
圆方程为
切线斜率不存在时，不合题意
设切线方程为
解得或
切线方程为或
（2）设，则圆方程为
设
由题意
即
存在，圆与圆有交点
即两圆相交或相切
即
18.（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.
现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长为1260m，经测量，，.
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：
（1）
（2）
设乙出发分钟后，甲到了处，乙到了E处
则有
根据余弦定理
即
当时，有最小值
（3）设甲所用时间为，乙所用时间为，乙步行速度为
由题意
解不等式得
19.（本小题满分16分）
设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，，其中为实数.
（1）若，且，，成等比数列，证明：
；
（2）若是等差数列，证明：
.
解：
（1）
时，
成等比
（2）由已知
是等差数列
设（k,b为常数）
有对任意恒成立
此时
命题得证
20.（本小题满分16分）
设函数，，其中为实数.
（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；
（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
解：
（1）
由题意：
对恒成立
即对恒成立
在上有最小值
时，恒成立，在无最值
时，由题意
综上：
的范围是：
（2）在上是单调增函数
对恒成立
即对恒成立
令，则
则有的零点个数即为与图像交点的个数
令
则
易知在上单调递增，在上单调递减
在时取到最大值
当时，
当时，
图像如下
所以由图可知：
时，有1个零点
时，有2个零点
时，有1个零点
综上所述：
或时，有1个零点
时，有2个零点
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