成人高考专升本数学试卷word版.doc
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2016成人高考专升本数学
一.选择题：
本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
*1.设函数，是的反函数，则（）
A.B.
C.D.
令
，反函数为，选B
*2.若是的极值点，则（）
A.必定存在，且
B.必定存在，但不一定等于零
C.可能不存在
D.必定不存在
应选C。
例：
在处取得极小值，但该函数在处不可导，而不存在
*3.设有直线，则该直线必定（）
A.过原点且垂直于x轴
B.过原点且平行于x轴
C.不过原点，但垂直于x轴
D.不过原点，且不平行于x轴
直线显然过（0，0，0）点，方向向量为，轴的正向方向向量为，，故直线与x轴垂直，故应选A。
*4.幂级数在点处收敛，则级数（）
A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与有关
在点处收敛，推得对，绝对收敛，特别对有绝对收敛，故应选A。
5.对微分方程，利用待定系数法求其特解时，下面特解设法正确的是（）
A.B.C.D.
二.填空题：
本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。
*6._________________.
7.设，则_________________.
*8.设，则_________________.
解：
*9._________________.
解
10.设，则_________________.
*11.已知，则过点且同时平行于向量和的平面的方程为_________________.
面的法向量为
平面的方程为即
12.微分方程的通解是_________________.
*13.幂级数的收敛区间是_________________.
解：
令，
由解得，，于是收敛区间是
14.设，则与同方向的单位向量_________________.
*15.交换二次积分的次序得_________________.
解：
积分区域如图所示：
D：
，于是
三.解答题：
本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。
*16.计算
解：
*17.设，求
解：
18.判定函数的单调区间
19.求由方程所确定的隐函数的微分
*20.设函数，求
解：
设，则，两边求定积分得
解得：
，于是
21.判定级数的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？
22.设，求
23.求微分方程的通解
*24.将函数展开为麦克劳林级数
解：
（）
即
25.设，求
26.求函数在条件之下的最值。
*27.求曲线的渐近线
解：
（1）
曲线没有水平渐近线
（2），曲线有铅直渐近线
（3）
所以曲线有斜渐近线
*28.设区域为D：
，计算
解：
积分区域如图所示（阴影部分）
【试题答案】
一.
1.令
，反函数为，选B
2.应选C。
例：
在处取得极小值，但该函数在处不可导，而不存在
3.直线显然过（0，0，0）点，方向向量为，轴的正向方向向量为，，故直线与x轴垂直，故应选A。
4.在点处收敛，推得对，绝对收敛，特别对有绝对收敛，故应选A。
5.特征根为，由此可见（）是特征根，于是可设，应选C。
二.
6.
7.
8.解：
9.解
10.
（）
11.平面的法向量为
平面的方程为即
12.解：
通解为
13.解：
令，
由解得，，于是收敛区间是
14.，
15.解：
积分区域如图所示：
D：
，于是
三.
16.解：
17.解：
18.解：
当时，，函数单调增加；当或时，，函数单调减少，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为
19.解：
方程两边对求导（注意是的函数）：
解得
20.解：
设，则，两边求定积分得
解得：
，于是
21.解：
（1）先判别级数的收敛性
令
发散
发散
（2）由于所给级数是交错级数且
<1>
<2>
由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。
22.解：
23.先求方程的通解：
特征方程为，特征根为，，于是齐次方程通解为
……
（1）
方程中的，其中不是特征根，可令
则，
代入原方程并整理得
，
……
（2）
所求通解为
24.解：
（）
即
25.解：
因由得
，从而
26.解：
把条件极值问题转化为一元函数的最值
当时，函数取到最大值
当时，函数取到最小值0
27.解：
（1）
曲线没有水平渐近线
（2），曲线有铅直渐近线
（3）
所以曲线有斜渐近线
28.解：
积分区域如图所示（阴影部分）
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