高考文科数学真题及答案全国卷.docx

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2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2013课标全国Ⅰ，文1）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝（　　）．

A．{1,4}B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}

【答案】A

【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，

∴A∩B＝{1,4}．

2．（2013课标全国Ⅰ，文2）＝（　　）．

A.-1-12iB．C．1+12iD．1-12i

【答案】B

【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】＝.

3．（2013课标全国Ⅰ，文3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）．

A．B．C．D．

【答案】B

【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），满足条件的事件数是2，所以所求的概率为.

4．（2013课标全国Ⅰ，文4）已知双曲线C：

（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）．

A．y=±14xB．y=±13xC．D．y=±x

【答案】C

【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵，∴，即.

∵c2＝a2＋b2，∴.∴.

∵双曲线的渐近线方程为，

∴渐近线方程为.故选C.

5．（2013课标全国Ⅰ，文5）已知命题p：

∀x∈R,2x＜3x；命题q：

∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是（　　）．

A．p∧qB．p∧qC．p∧qD．p∧q

【答案】B

【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

【解析】由20＝30知，p为假命题．令h（x）＝x3－1＋x2，

∵h（0）＝－1＜0，h

（1）＝1＞0，

∴x3－1＋x2＝0在（0,1）内有解．

∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.

6．（2013课标全国Ⅰ，文6）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（　　）．

A．Sn=2an-1B．Sn=3an-2C．Sn=4-3anD．Sn=3-2an

【答案】D

【考点】本题主要考查等比数列前n项和公式。

【解析】＝3－2an，故选D.

7．（2013课标全国Ⅰ，文7）执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，

则输出的s属于（　　）．

A．[－3,4]B．[－5,2]

C．[－4,3]D．[－2,5]

【答案】A

【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。

【解析】当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3）．

当1≤t≤3时，s＝4t－t2.

∵该函数的对称轴为t＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．

∴smax＝4，smin＝3.

∴s∈[3,4]．

综上知s∈[－3,4]．故选A.

8．（2013课标全国Ⅰ，文8）O为坐标原点，F为抛物线C：

y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为（　　）．

A．2B．C．D．4

【答案】C

【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。

【解析】利用|PF|＝，可得xP＝.

∴yP＝.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝.

故选C.

9．（2013课标全国Ⅰ，文9）函数f（x）＝（1－cosx）sinx在[－π，π]的图像大致为（　　）．

【答案】C

【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。

【解析】由f（x）＝（1－cosx）sinx知其为奇函数．可排除B．当x∈时，f（x）＞0，排除A.

当x∈（0，π）时，f′（x）＝sin2x＋cosx（1－cosx）＝－2cos2x＋cosx＋1.令f′（x）＝0，得.

故极值点为，可排除D，故选C.

10．（2013课标全国Ⅰ，文10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（　　）．

A．10B．9C．8D．5

【答案】D

【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。

【解析】由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝.∵A∈，∴cosA＝.

∵cosA＝，∴b＝5或（舍）．

故选D.

11．（2013课标全国Ⅰ，文11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）．

A．16＋8πB．8＋8π

C．16＋16πD．8＋16π

【答案】A

【考点】本题主要考查三视图。

简单组合体的体积。

【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V半圆柱＝π×22×4＝8π，

V长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A.

12．（2013课标全国Ⅰ，文12）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）．

A．（－∞，0]B．（－∞，1]

C．[－2,1]D．[－2,0]

【答案】D

【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。

【解析】可画出|f（x）|的图象如图所示．

当a＞0时，y＝ax与y＝|f（x）|恒有公共点，所以排除B，C；

当a≤0时，若x＞0，则|f（x）|≥ax恒成立．

若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，

由得x2－（a＋2）x＝0.

∵Δ＝（a＋2）2＝0，∴a＝－2.

∴a∈[－2,0]．故选D.

第Ⅱ卷（选择题共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．（2013课标全国Ⅰ，文13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）b.若b·c＝0，则t＝______.

【答案】2

【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。

【解析】∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝.

∴b·c＝[ta＋（1－t）b]·b＝0，

即ta·b＋（1－t）b2＝0.

∴＋1－t＝0.

∴t＝2.

14．（2013课标全国Ⅰ，文14）设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为______．

【答案】3

【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。

【解析】画出可行域如图所示．

画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A（3,3）时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.

15．（2013课标全国Ⅰ，文15）已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．

【答案】

【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。

【解析】如图，

设球O的半径为R，

则AH＝，

OH＝.

又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.

∵在Rt△OEH中，R2＝，∴R2＝.

∴S球＝4πR2＝.

16．（2013课标全国Ⅰ，文16）设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝______.

【答案】

【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。

【解析】∵f（x）＝sinx－2cosx＝sin（x－φ），

其中sinφ＝，cosφ＝.

当x－φ＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）取最大值．

即θ－φ＝2kπ＋（k∈Z），θ＝2kπ＋＋φ（k∈Z）．

∴cosθ＝＝－sinφ＝.

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（2013课标全国Ⅰ，文17）（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。

【解析】

（1）设{an}的公差为d，则Sn＝.

由已知可得3a1+3d=05a1+10d=-5

解得a1＝1，d＝－1.

故{an}的通项公式为an＝2－n.

（2）由

（1）知＝，

从而数列的前n项和为

＝.

18．（2013课标全国Ⅰ，文18）（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：

h）．试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

【考点】本题主要考查统计的基本知识。

茎叶图等。

【解析】

（1）设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.

由观测结果可得

＝（0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5）

＝2.3，

＝（0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2）

＝1.6.

由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．

（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．

19．（2013课标全国Ⅰ，文19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

（1）证明：

AB⊥A1C；

（2）若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。

【解析】

（1）取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.

因为CA＝CB，所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.

（2）由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC＝OA1＝.

又A1C＝，则A1C2＝OC2＋，故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.

20．（2013课标全国Ⅰ，文20）（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。

【解析】

（1）f′（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4.

由已知得f（0）＝4，f′（0）＝4.

故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.

（2）由

（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，

f′（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）·.

令f′（x）＝0得，x＝－ln2或x＝－2.

从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln2，＋∞）时，f′（x）＞0；

当x∈（－2，－ln2）时，f′（x）＜0.

故f（x）在（－∞，－2），（－ln2，＋∞）上单调递增，在（－2，－ln2）上单调递减．

当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（－2）＝4（1－e－2）．

21．（2013课标全国Ⅰ，文21）（本小题满分12分）已知圆M：

（x＋1）2＋y2＝1，圆N：

（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。

【解析】由已知得圆M的圆心为M（－1,0），半径r1＝1；圆N的圆心为N（1,0），半径r2＝3.设圆P的圆心为P（x，y），半径为R.

（1）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为（x≠－2）．

（2）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为（2,0）时，R＝2.

所以当圆P的半径最长时，其方程为（x－2）2＋y2＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.

若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得

Q（－4,0），所以可设l：

y＝k（x＋4）．

由l与圆M相切得＝1，解得k＝.

当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，

所以|AB|＝|x2－x1|＝.

当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝.

综上，|AB|＝或|AB|＝.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答．注意：

只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（2013课标全国Ⅰ，文22）（本小题满分10分）选修4—1：

几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

（Ⅰ）证明：

DB=DC;

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。

【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。

【解析】

（1）连结DE，交BC于点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.

而∠ABE＝∠CBE，

故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°，

由勾股定理可得DB＝DC.

（2）由

（1）知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，

故DG是BC的中垂线，

所以BG＝.

设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.

从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于.

23．（2013课标全国Ⅰ，文23）（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）．

【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。

【解析】

（1）将消去参数t，化为普通方程（x－4）2＋（y－5）2＝25，

即C1：

x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为

ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

（2）C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由

解得或

所以C1与C2交点的极坐标分别为，.

24．（2013课标全国Ⅰ，文24）（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）设a＞－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。

【解析】

（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈（0,2）时，y＜0.

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

（2）当x∈时，f（x）＝1＋a.

不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3.

所以x≥a－2对x∈都成立．

故≥a－2，即a≤.

从而a的取值范围是.

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