高考数学一轮总复习专题定积分练习理.doc
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专题3.3定积分
考点分析
定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
（2）了解微积分基本定理的含义．
知识链接
1、相关术语：
对于定积分
（1）称为积分上下限，其中
（2）：
称为被积函数
（3）：
称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：
中的被积函数为，而的被积函数为
2、定积分的几何意义：
表示函数与轴，围成的面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当图像在完全位于轴上方时，才表示面积。
可表示数与轴，围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解
3、定积分的求法：
高中阶段求定积分的方法通常有2种：
（1）微积分基本定理：
如果是区间上的连续函数，并且，那么
使用微积分基本定理，关键是能够找到以为导函数的原函数。
所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：
①寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：
，则判断属于幂函数类型，原函数应含，但，而，所以原函数为（为常数）
②如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如，则，但在使用微积分基本定理时，会发现计算时会消去，所以求定积分时，不需加上常数。
（2）利用定积分的几何含义：
若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。
但要注意曲边梯形若位于轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。
4、定积分的运算性质：
假设存在
（1）
作用：
求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度
（2）
作用：
可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如
（3），其中
作用：
当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。
5、若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算
（1）若为奇函数，则
（2）若为偶函数，则
6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：
（1）通过作图确定所求面积的区域
（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数
（3）若时，始终有，则该处面积为
7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。
需分段通常有两种情况
（1）构成曲面梯形的函数发生变化
（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。
所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。
融会贯通
题型一 定积分的计算
典例1
（1）（2017·九江模拟）若ʃ（2x＋λ）dx＝2（λ∈R），则λ等于（ ）
A．0B．1C．2D．－1
（2）定积分ʃ|x2－2x|dx等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】
（1）B
（2）D
【解题技巧与方法总结】
运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：
（1）对被积函数要先化简，再求积分；
（2）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；
（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．
【变式训练】
（1）若则实数a的值为（ ）
A．－1B．1C．－D.
（2）设f（x）＝则ʃf（x）dx等于（ ）
A.B.C.D.
【答案】
（1）A
（2）C
【解析】
＝0－a－（－1－0）＝1－a＝2，
∴a＝－1.
（2）ʃf（x）dx＝ʃx2dx＋ʃ（2－x）dx
＝x3|＋（2x－x2）|
＝＋（4－×4）－（2－）
＝.
题型二 定积分的几何意义
命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分
典例2
（1）计算：
ʃdx＝________.
（2）若ʃdx＝，则m＝________.
【答案】
（1）π
（2）－1
命题点2 求平面图形的面积
典例3 （2017·青岛月考）由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．
【答案】 4－ln3
【解析】 由xy＝1，y＝3可得交点坐标为（，3）．
由xy＝1，y＝x可得交点坐标为（1,1），
由y＝x，y＝3得交点坐标为（3,3），
由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为
＝（3－1－ln3）＋（9－－3＋）＝4－ln3.
【解题技巧与方法总结】
（1）根据定积分的几何意义可计算定积分；
（2）利用定积分求平面图形面积的四个步骤
①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
【变式训练】
（1）定积分ʃdx的值为（ ）
A．9π B．3π
C.π D.π
（2）由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．
【答案】
（1）C
（2）
题型三 定积分在物理中的应用
典例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7－3t＋（t的单位：
s，v的单位：
m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：
m）是（ ）
A．1＋25ln5 B．8＋25ln
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
【答案】 C
【解析】 令v（t）＝0，得t＝4或t＝－（舍去），
∴汽车行驶距离s＝ʃ（7－3t＋）dt
＝|
＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.
【解题技巧与方法总结】
定积分在物理中的两个应用
（1）变速直线运动的位移：
如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃv（t）dt.
（2）变力做功：
一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝ʃF（x）dx.
【变式训练】一物体在变力F（x）＝5－x2（力单位：
N，位移单位：
m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F（x）做的功为（ ）
A.JB.JC.JD．2J
【答案】 C
【知识链接】
1．定积分的概念
在ʃf（x）dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．
2．定积分的性质
（1）ʃkf（x）dx＝kʃf（x）dx（k为常数）；
（2）ʃdx＝ʃf1（x）dx±ʃf2（x）dx；
（3）ʃf（x）dx＝ʃf（x）dx＋ʃf（x）dx（其中a3．微积分基本定理
一般地，如果f（x）是区间上的连续函数，且F′（x）＝f（x），那么ʃf（x）dx＝F（b）－F（a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
为了方便，常把F（b）－F（a）记作F（x）|，即ʃf（x）dx＝F（x）|＝F（b）－F（a）．
练习检测
1．【河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题】已知，则二项式的展开式中的常数项为（）
A.B.C.D.
【答案】B
2．【辽宁省实验中学2017届高三下学期第六次模拟考试数学（理）试卷】如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线，所围成的阴影部分的面积为（）
A.1B.C.2D.
【答案】D
【解析】
，选D.
3．【江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考数学（理）试题】如图，在边长为的正方形中，是的中点，过三点的抛物线与围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）
A.B.C.D.
【答案】D
4．【重庆市巴蜀中学2017届高三三诊考试理科数学试卷】若，则二项式展开式中的常数项是（）
A.20B.-20C.-540D.540
【答案】C
【解析】由题意可知,二项式变为,,所以,系数为-540.所以选C.
5.（2017甘肃兰州第一中学冲刺模拟，8）.任取实数，则满足的概率为
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如图示：
，
，∴满足条件的概率为：
，
故选D.
6.（2017重庆巴蜀中学高三三诊，6）.若，则二项式展开式中的常数项是（）
A.20B.-20C.-540D.540
【答案】C
7.（2017河北石家庄高三冲刺模考，10）.在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，．
整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为．由几何概型知所求概率为．故本题答案选．
8.（2017太原市高三年级模拟试题（三），14）.=__________．
【答案】
【解析】由定积分的几何意义可知表示的是半径为1的半圆的面积，即：
，而函数是奇函数，则，
由微积分的运算法则可得=.
9.（2017厦门外国语学校高三适应性考试，14）.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为__________．
【答案】3
10.（2017河北省石家庄二中三模，13）.__________．
【答案】
【解析】试题分析：
其中表示半径为的圆的面积的,,,因此原式等于,故填.
考点：
定积分的计算.
11.（2017湖北襄阳四中5月适应性考试，14）.已知函数（）的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是__________．
【答案】
【解析】由定积分的定义结合题意可得这个封闭图形的面积是.
12.（2017福州一中高三最后一模，13）.__________．
【答案】
13.（2017甘肃西北师大附中四诊，13）.设，则二项式的展开式中含项的系数为__________．
【答案】12
【解析】因为，所以，由于通项公式，令，则，应填答案。
14．【湖北省襄阳第四中学2017届高三下学期5月适应性考试数学（理）试题】已知函数（）的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是__________．
【答案】
【解析】由定积分的定义结合题意可得这个封闭图形的面积是.
15．【吉林省实验中学2017届高三第九次模拟考试数学（理）试题】
边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为_______
【答案】
16．【河北省2017届衡水中学押题卷理数I】已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=__________．
【答案】
【解析】
17．【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题】如图所示，由直线，及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，若对，不等式恒成立，则实数等于__________．
【答案】2
【解析】因为，所以
即
18．【2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（理工类）试卷】函数在点（1，2）处的切线与函数围成的图形的面积等于__________．
【答案】
【解析】因为，所以，，则函数在点（1，2）处的切线为，即，作出草图（如图所示），则所求阴影部分的面积为.
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