北京市高考数学试卷文科解析.doc

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2015年北京市高考数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分,共40分）

1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（　　）

A．

{x|﹣3＜x＜2}

B．

{x|﹣5＜x＜2}

C．

{x|﹣3＜x＜3}

D．

{x|﹣5＜x＜3}

2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）

A．

（x﹣1）2+（y﹣1）2=1

B．

B（x+1）2+（y+1）2=1

C．

（x+1）2+（y+1）2=2

D．

（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（　　）

A．

y=x2sinx

B．

y=x2cosx

C．

y=|lnx|

D．

y=2﹣x

4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（　　）

类别

人数

老年教师

900

中年教师

1800

青年教师

1600

合计

4300

A．

B．

100

C．

180

D．

300

5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（　　）

A．

充分而不必要条件

B．

必要而不充分条件

C．

充分必要条件

D．

既不充分也不必要条件

7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

加油时间

加油量（升）

加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日

35000

2015年5月15日

35600

注：

“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（　　）

A．

6升

B．

8升

C．

10升

D．

12升

二、填空题

9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为　　　　　　．

10．（5分）（2015•北京）2﹣3，3，log25三个数中最大数的是　　　　　　．

11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=　　　　　　．

12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=　　　　　　．

13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为　　　　　　．

14．（5分）（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　　　　　　；

②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　　　　　　．

三、解答题（共80分）

15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．

16．（13分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2

（1）求{an}的通项公式；

（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：

b6与数列{an}的第几项相等？

17．（13分）（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．

甲

乙

丙

丁

100

√

217

√

200

√

300

√

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB

（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．

（1）求f（x）的单调区间和极值；

（2）证明：

若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．

20．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：

x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．

2015年北京市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分,共40分）

1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（　　）

A．

{x|﹣3＜x＜2}

B．

{x|﹣5＜x＜2}

C．

{x|﹣3＜x＜3}

D．

{x|﹣5＜x＜3}

考点：

专题：

集合．

分析：

直接利用集合的交集的运算法则求解即可．

解答：

解：

集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，

则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．

故选：

A．

点评：

本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．

2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）

A．

（x﹣1）2+（y﹣1）2=1

B．

B（x+1）2+（y+1）2=1

C．

（x+1）2+（y+1）2=2

D．

（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

考点：

专题：

计算题；直线与圆．

分析：

利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．

解答：

解：

由题意知圆半径r=，

∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．

故选：

D．

点评：

本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．

3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（　　）

A．

y=x2sinx

B．

y=x2cosx

C．

y=|lnx|

D．

y=2﹣x

考点：

专题：

函数的性质及应用．

分析：

首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．

解答：

解：

对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；

对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；

对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；

对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；

故选B

点评：

本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（﹣x）与f（x）关系，相等是偶函数，相反是奇函数．

类别

人数

老年教师

900

中年教师

1800

青年教师

1600

合计

4300

A．

B．

100

C．

180

D．

300

考点：

专题：

计算题；概率与统计．

分析：

由题意，老年和青年教师的人数比为900：

1600=9：

16，即可得出结论．

解答：

解：

由题意，老年和青年教师的人数比为900：

1600=9：

16，

因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，

故选：

C．

点评：

本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．

5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

图表型；算法和程序框图．

分析：

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．

解答：

解：

模拟执行程序框图，可得

k=0，a=3，q=

a=，k=1

不满足条件a＜，a=，k=2

不满足条件a＜，a=，k=3

不满足条件a＜，a=，k=4

满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．

故选：

B．

点评：

本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．

6．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（　　）

A．

充分而不必要条件

B．

必要而不充分条件

C．

充分必要条件

D．

既不充分也不必要条件

考点：

专题：

平面向量及应用；简易逻辑．

分析：

由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．

解答：

解：

（1）；

∴时，cos=1；

∴；

∴∥；

∴“”是“∥”的充分条件；

（2）∥时，的夹角为0或π；

∴，或﹣；

即∥得不到；

∴“”不是“∥”的必要条件；

∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．

故选A．

点评：

考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．

7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案

解答：

解：

由三视图知：

几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，

底面为正方形如图：

其中PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形

∴PA=1，AB=1，AD=1，

∴PB=，PC==．

PD=

该几何体最长棱的棱长为：

故选：

C．

点评：

本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键

8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

加油时间

加油量（升）

加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日

35000

2015年5月15日

35600

注：

“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（　　）

A．

6升

B．

8升

C．

10升

D．

12升

考点：

专题：

函数的性质及应用．

分析：

由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．

解答：

解：

由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；

故选：

B．

点评：

本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．

二、填空题

9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为　﹣1　．

考点：

专题：

数系的扩充和复数．

分析：

直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．

解答：

解：

复数i（1+i）=﹣1+i，

所求复数的实部为：

﹣1．

故答案为：

﹣1．

点评：

本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．

10．（5分）（2015•北京）2﹣3，3，log25三个数中最大数的是　log25　．

考点：

专题：

函数的性质及应用．

分析：

运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣3＜1，1＜3＜2，log25＞log24=2，即可得到最大数．

解答：

解：

由于0＜2﹣3＜1，1＜3＜2，

log25＞log24=2，

则三个数中最大的数为log25．

故答案为：

log25．

点评：

本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题．

11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=　　．

考点：

专题：

解三角形．

分析：

由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．

解答：

解：

由正弦定理可得，

=，

即有sinB===，

由b＜a，则B＜A，

可得B=．

故答案为：

．

点评：

本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题．

12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=　　．

考点：

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

求得双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．

解答：

解：

双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），

由题意可得=2，

解得b=．

故答案为：

．

点评：

本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题．

13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为　7　．

考点：

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

解答：

解：

由z=2x+3y，得y=，

平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．

即A（2，1）．

此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，

故答案为：

7．

点评：

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　乙　；

②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　数学　．

考点：

专题：

概率与统计．

分析：

根据散点图分析三位同学总成绩名次，语文、数学名次．

解答：

解：

由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；

故答案为：

乙；数学．

点评：

本题考查了对散点图的认识；属于基础题．

三、解答题（共80分）

15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．

考点：

专题：

三角函数的图像与性质．

分析：

（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；

（2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．

解答：

解：

（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2

=sinx﹣2×

=sinx+cosx﹣

=2sin（x+）﹣

∴f（x）的最小正周期T==2π；

（2）∵x∈[0，]，

∴x+∈[，π]，

∴sin（x+）∈[0，1]，即有：

f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，

∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：

﹣．

点评：

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．

16．（13分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2

（1）求{an}的通项公式；

（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：

b6与数列{an}的第几项相等？

考点：

专题：

计算题；等差数列与等比数列．

分析：

（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求

（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求

解答：

解：

（I）设等差数列{an}的公差为d．

∵a4﹣a3=2，所以d=2

∵a1+a2=10，所以2a1+d=10

∴a1=4，

∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）

（II）设等比数列{bn}的公比为q，

∵b2=a3=8，b3=a7=16，

∴

∴q=2，b1=4

∴=128，而128=2n+2

∴n=63

∴b6与数列{an}中的第63项相等

点评：

本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．

甲

乙

丙

丁

100

√

217

√

200

√

300

√

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

考点：

专题：

概率与统计．

分析：

（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．

（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．

（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．

解答：

解：

（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，

故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．

（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），

故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．

（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，

同时购买甲和丙的概率为=0.6，

同时购买甲和丁的概率为=0.1，

故同时购买甲和丙的概率最大．

点评：

本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．

18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB

（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

考点：

专题：

综合题；空间位置关系与距离．

分析：

（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；

（2）证明：

OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB

（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．

解答：

（1）证明：

∵O，M分别为AB，VA的中点，

∴OM∥VB，

∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，

∴VB∥平面MOC；

（2）∵AC=BC，O为AB的中点，

∴OC⊥AB，

∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC⊂平面MOC，

∴平面MOC⊥平面VAB

（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，

∴S△VAB=，

∵OC⊥平面VAB，

∴VC﹣VAB=•S△VAB=，

∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．

点评：

本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．

19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．

（1）求f（x）的单调区间和极值；

（2）证明：

若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．

考点：

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；

（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．

解答：

解：

（1）由f（x）=

f'（x）=x﹣

由f'（x）=0解得x=

f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：

（o，）

（）

f'（x）

﹣

f（x）

↓

↑

所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；

f（x）在x=处的极小值为f（）=．

（2）证明：

由

（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．

因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e

当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0

所以x=是f（x）在区间（1，]上唯一零点．

当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，

所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．

综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．

点评：

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