高考数学复习教学案专题概率与统计学生版.docx

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高中数学专题十二：

概率与统计

专题十二概率与统计

（一）知识梳理

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

3．两个原理的区别

分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：

分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

4．排列与排列数公式

（1）排列与排列数

（2）排列数公式

A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝.

（3）排列数的性质

①A＝n！

；②0！

＝1.

5．组合与组合数公式

（1）组合与组合数

（2）组合数公式

C＝＝＝.

（3）组合数的性质

①C＝1；②C＝；③C＋C＝C.

6．排列与组合问题的识别方法

识别方法

排列

若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关

组合

若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关

7．二项式定理

（1）定理：

（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn（n∈N*）．

（2）通项：

第k＋1项为：

Tk＋1＝Can－kbk.

（3）二项式系数：

二项展开式中各项的二项式系数为：

C（k＝0,1,2，…，n）．

8．二项式系数的性质

9．概率与频率

（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝为事件A出现的频率．

（2）对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P（A）．

10．事件的关系与运算

定义

符号表示

包含

关系

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）

B⊇A

（或A⊆B）

相等

关系

若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等

A＝B

并事件

（和事件）

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）

A∪B

（或A＋B）

交事件

（积事件）

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）

A∩B

（或AB）

互斥

事件

若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥

A∩B＝∅

对立

事件

若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件

A∩B＝∅；

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1

11．理解事件中常见词语的含义：

（1）A，B中至少有一个发生的事件为；

（2）A，B都发生的事件为AB；

（3）A，B都不发生的事件为；

（4）A，B恰有一个发生的事件为A∪B；

（5）A，B至多一个发生的事件为A∪B∪.

12．概率的几个基本性质

（1）概率的取值范围：

0≤P（A）≤1.

（2）必然事件的概率：

P（E）＝1.

（3）不可能事件的概率：

P（F）＝0.

（4）概率的加法公式：

如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

（5）对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）．

13．互斥事件与对立事件的区别与联系

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

14．基本事件的特点

（1）任意两个基本事件是互斥的．

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．

15．古典概型

（1）定义：

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．

②每个基本事件出现的可能性相等．

（2）古典概型的概率公式：

P（A）＝.

16．几何概型

（1）定义：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

（2）几何概型的概率公式：

P（A）＝.

17．条件概率及其性质

（1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示，其公式为P（B|A）＝＝．

（2）条件概率具有的性质：

①0≤P（B|A）≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．

18．相互独立事件

（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．

（2）若A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），P（AB）＝P（B|A）P（A）＝P（A）P（B）．

（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．

（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立．

19．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

20．离散型随机变量的分布列及其性质

（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi（i＝1,2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi，则表

…

称为离散型随机变量X的概率分布列．

（2）离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0（i＝1,2，…，n）；②pi＝1.

21．常见离散型随机变量的分布列

（1）两点分布：

若随机变量X服从两点分布，则其分布列为

1－p

其中p＝P（X＝1）称为成功概率．

（2）超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P（X＝k）＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.

…

（3）二项分布

①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

②在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B（n，p），并称p为成功概率．

22．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

…

<1>均值：

称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

<2>方差：

称D（X）＝（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．

<3>均值与方差的性质

（a，b为常数）．

<4>两点分布与二项分布的均值、方差

X服从两点分布

X～B（n，p）

E（X）

p（p为成功概率）

D（X）

p（1－p）

np（1－p）

23.正态分布：

若随机变量的概率密度函数可以表示为，则称服从正态分布，记为，其中.

24.正态曲线的特点

（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

（3）曲线在x＝μ处达到峰值；

（4）曲线与x轴之间的面积为1；

（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

（7）正态分布的三个常用数据（不需记忆）

①P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.6826；

②P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝0.9544；

③P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）＝0.9974.

25．简单随机抽样

（1）定义：

一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．

（2）常用方法：

抽签法和随机数表法．

26．系统抽样

（1）步骤：

①先将总体的N个个体编号；

②根据样本容量n，当是整数时，取分段间隔k＝；

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；

④按照一定的规则抽取样本．

（2）适用范围：

适用于总体中的个体数较多时．

27．分层抽样

（1）定义：

在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

（2）适用范围：

适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．

28．三种抽样方法的比较

类别

各自特点

相互联系

适用范围

共同点

简单随机抽样

从总体中

逐个抽取

最基本的抽样方法

总体中的个体数较少

抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等

系统

抽样

将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取

在起始部分抽样时，采用简单随机抽样

总体中的个体数较多

分层

抽样

将总体分成几层，按各层个体

数之比抽取

各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

总体由差异明显的几部分组成

29．作频率分布直方图的步骤

（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）．

（2）决定组距与组数．

（3）将数据分组．

（4）列频率分布表．

（5）画频率分布直方图．

30．频率分布折线图和总体密度曲线

（1）频率分布折线图：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

（2）总体密度曲线：

随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

31．茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

32．样本的数字特征

（1）众数：

一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．

（2）中位数：

把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．

（3）平均数：

把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．

（4）标准差与方差：

设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据

标准差为s＝

方差为s2＝（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]

33．变量间的相关关系

（1）常见的两变量之间的关系有两类：

一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．

（2）从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．

34．两个变量的线性相关

（1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．

（2）回归直线方程为，其中

（3）通过求Q＝（yi－bxi－a）2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．

（4）相关系数：

当r>0时，表明两个变量正相关；

当r<0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

35．独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：

总计

a＋b

c＋d

总计

a＋c

b＋d

a＋b＋c＋d

K2＝（其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量）．

（二）考点剖析

考点一：

二项式的多项展开问题

例1:

（1）两项展开之积]（1＋2x）3（1－x）4展开式中x项的系数为.

（2）三项展开问题]（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为.

考点释疑：

（1）（a＋b）m（c＋d）n的多项展开问题分别用通项公式之积进行化简，对应指数后，讨论r1，r2的取值．

（2）（a＋b＋c）n的展开型，转化为（a＋b）＋c]n二项展开求解，但注意a，b，c的结合或用展开的方式借助组合知识求解．　

考点二：

二项式的展开式系数和问题

例2：

（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

考点释疑：

（1）“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax＋b）n、（ax2＋bx＋c）m（a、b∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

（2）若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f

（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　　　

考点三：

条件概率

例3：

（1）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

（2）如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，

则①P（A）＝________；②P（B|A）＝________.

考点释疑：

条件概率的求法：

①利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）＝.这是通用的求条件概率的方法．

②借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n（AB），得P（B|A）＝.　　　　

考点四：

相互独立事件同时发生的概率

例4：

甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：

（1）两人都击中目标的概率；

（2）其中恰有一人击中目标的概率；

（3）至少有一人击中目标的概率．

考点释疑：

（1）正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．

（2）注意根据问题情境正确判断事件的独立性．（3）在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．

考点五：

离散型随机变量分布列的性质及应用

例5：

（1）随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1,2,3,4），其中a是常数，则P（

（2）设离散型随机变量X的分布列为

0.2

0.1

0.3

求①2X＋1的分布列；

②|X－1|的分布列．

考点释疑：

离散型随机变量分布列性质的应用：

①利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；

②若ξ为随机变量，则2ξ＋1，|ξ－1|等仍然为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．　

考点六：

离散型随机变量的均值与方差

例6：

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．

（1）求X的分布列、期望和方差；

（2）若Y＝aX＋b，E（Y）＝1，D（Y）＝11，试求a，b的值．

考点释疑：

求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算．

考点七：

超几何分布

例7：

盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分，现从盒内任取3个球．设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．

考点释疑：

超几何分布的特点：

（1）从形式上看超几何分布模型中的物品是由明显的两部分构成；

（2）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．　　

考点八：

二项分布

例8：

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列．

考点释疑：

利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式Pn（k）＝Cpk（1－p）n－k的三个条件：

（1）在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；

（2）n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；（3）该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．

考点九：

正态分布

例9：

在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（100,102），已知满分为150分．

（1）试求考试成绩ξ位于区间80,120]内的概率；

（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数．

考点释疑：

解决正态分布问题有三个关键点：

①对称轴x＝μ；②标准差σ；

③分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.　

（三）历年高考真题训练

1、（2011年高考全国卷Ⅰ）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组

90,94）

94,98）

98,102）

102,106）

106,110]

频数

B配方的频数分布表

指标值分组

90,94）

94,98）

98,102）

102,106）

106,110]

频数

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：

元）与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：

元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

2、（2012年高考全国卷Ⅰ）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位：

元）关于当天需求量（单位：

枝，）的函数解析式;

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：

枝），整理得下表：

日需求量

频数

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：

元），求的分布列、数学期望及方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由.

3、（2013年高考全国卷Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：

先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．

（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：

元），求X的分布列及数学期望．

4、（2014年高考全国卷Ⅰ）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.

附：

≈12.2.

若～，则=0.6826，=0.9544.

5、（2015年高考全国卷Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：

千元）对年销售量y（单位：

t）和年利润z（单位：

千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？

（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

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