高考文科数学重庆卷解析版.docx

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2014年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学文科试题答案及解析

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标。

2.在等差数列中，,则

A.5B.8C.10D.14

【答案】B

【解析】将条件全部化成:

解得,于是.考察关于等差数列的基本运算，属于简单题.

3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本。

已知从高中生中抽取70人，则为（）

A.100B.150C.200D.250

【答案】A

【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：

。

考察分层抽样的简单计算.

4.下列函数为偶函数的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】利用奇偶性的判断法则：

。

即可得到答案为D。

考察最简单的奇偶性判断.

5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）

A.10B.17C.19D.36

【答案】C

【解析】按照程序框图问题的计算方法，按照程序所给步骤进行计算：

【点评】：

本题考查了对程序框图循环结构的理解。

何时开始运算，运算几次能够达到条件是求出的关键。

属于容易题。

6.已知命题

对任意的，总有；

是方程的根.

则下列命题为真命题的是（）

A.B.C.D.

【答案】A.

【解析】易知命题P是真命题，q是假命题。

为假命题，为真命题。

所以为真命题。

此题考查复合命题的真假性判断。

【点评】：

本题主要考查了四种命题复合之后的关系，在对符号进行区分的时候容易出错。

属于容易题。

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.12B.18C.24D.30

【答案】：

C

【解析】：

根据三视图，我们可以得到原图如图PDACBB1所示，可以看作是底面为直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥B1-A1C1PD的组合体,因此V=V柱+V锥=AC×AB×12×AA1+13×PD×DA1×A1B1=3×4×12×2+13×3×3×4=24,

【点评】：

此题考查几何体三视图，关键是会根据三视图还原原图，难度中等。

8.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）

A.B.C.4D.

【答案】D

【解析】由题意，同除以得。

【点评】本题考查双曲线的定义、离心率问题，首先由题意建立关于的齐次方程，解出再代入离心率公式即可，属于中档难度。

9.若，则的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】，条件足以说明。

经过化简得：

，即，于是

【点评】本题考查了对数的定义及运算，均值不等式的应用。

10.已知函数fx=1x+1-3,xϵ-1,0,x,xϵ0,1,，且gx=fx-mx-m在-1,1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）

A.（-94,-2]∪（0,12];B.（-114,-2]∪（0,12];

C.（-94,-2]∪（0,23];D.（-114,-2]∪（0,23]

【答案】A

【解析】函数的图像为下图所示的黑色图像部分.

gx=fx-mx-m在-1,1内的零点可看成函数与直线的交点，又知道该直线过定点.要有两个交点，直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间。

计算出这些直线的斜率，可以得到满足条件的直线的斜率的范围是（-94,-2]∪（0,12]

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。

11.已知集合A=｛3，4，5，12，13｝，B=｛2，3，5，8，13｝，则A∩B=.

【答案】｛3，5，13｝

【解析】根据集合的运算，两个集合的交集就是两个集合中都有的元素，根据题意3，5，13在A集合与B集合中都出现了，所以A∩B=｛3，5，13｝

【点评】本题考查集合的运算，难度较低，但考生在审题的时候容易错把交集看成补集，需要注意。

12.已知向量a与b的夹角为60°，且a=（-2,-6），b=10则a.b=.

【答案】10

【解析】根据向量的数量积公式与向量模长公式：

a.b=abcosa,b,a=x2+y2

得a=（-2）2+（-6）2=40，

向量积：

a.b=abcosa,b=a.b=4010cos60°=10。

【点评】此题考查向量运算，难度较低，主要是公式的运用。

13．将函数fx=sin⁡（ωx+φ）（ω>0,-π2≤φ<π2）图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图像，则fπ6=.

【答案】22

【解析】根据函数的伸缩变换规则：

函数fx=sin⁡（ωx+φ）图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成函数fx=sin⁡（2ωx+φ）的图像，再根据平移变换规则：

向右平移π6个单位长度得到函数fx=sin2ωx-π6+φ=fx=sin⁡（2ωx-πω3+φ）的函数图像，因此fx=sin2ωx-πω3+φ=sinx，得到ω=12，-πω3+φ=-π6+φ=2kπ,因为-π2≤φ<π2，所以φ=π6，因此得到fx的解析式为fx=sinωx+φ=fx=sin12x+π6，所以fπ6=sinπ4=22

【点评】此题考查三角函数的平移变换和伸缩变换，难度中等，关键是要记住三角函数图像变换规则，三角函数横坐标缩短为原来的一半是在x前面乘以2，而不是除以2，这点学生容易记错。

14.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆

x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为。

【答案】a=0或a=6

【解析】将圆的方程转换成标准方程得（x+1）2+（y-2）2=9,圆C的圆心为（-1,2）,半径为3，如图所示，因为直线x-y+a=0与圆C的交点A,B满足AC⊥BC，所以∆ABC为等腰直角三角形，则弦AB的长度为32，且C到AB的距离为322，而由点到直线的距离公式得C到AB的距离为d=|-1-2+a|12+12=|-3+a|2,所以得|-3+a|2=322，|-3+a|=3，所以a=0或a=6,

【点评】此题考查直线与圆，关键在于运用点到直线的距离公式，而有的学生会想不到用距离公式来计算，难度中等。

15.某校早上8：

00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上

7：

30~7：

50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为。

（用数字作答）

【答案】932

【解析】这是一个几何概型的题目，由题意可知有两个变量，因此是与面积有关的几何概型，如图建立平面直角坐标系，分别设小张到达学校的时间是x，小王到达学校的时间为y，则x,y满足0≤x≤20,0≤y≤20,那么小张和小王到达学校的情况可以用如图中的正方形表示，而小张比小王至少早到5分钟可以用不等式x-y≥5表示，即图中的阴影部分，则小张比小王至少早5分钟到校的概率P=S阴影S正方形=15×15×1220×20=932。

【点评】此题考查几何概型，关键是会区分几何概型的类型，此题为与面积有关的几何概型，关键是找到变量以及变量之间的关系，建立坐标系，难度中等。

三、解答题：

本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分13分.（Ι）小问5分，（ΙΙ）小问8分）

已知是以首项为1，公差为2的等差数列，是的前项和.

（Ι）求和

（ΙΙ）设是以2为首项的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和。

【答案】（Ι）；（ΙΙ）

【解析】（Ι）此题是对等差数列通项和前项和公式的直接考察，直接带入即可。

（ΙΙ）由

（1）知，，故，

【点评】整道题都是属于简单基础题，纯粹是公式的套用.学生感到犯难的，是没有解方程的意识，以及看到那一大串式子所带来的恐惧感.

17.本小题满分13分（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分；（III）小问5分。

20名学生某次学生考试成绩（单位：

分）的频率分布直方图如下：

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）分别求出成绩落在与中的学生人数；

（3）从成绩在的学生中任选2人，求此2人的成绩都在的概率。

【答案】（Ⅰ）（ΙΙ）2，3（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知组距为10，频率总和为1可列如下等式

【点评】此题主要考查的频率分布直方图，较为简单注意审题.

18.（本小题满分13分.（Ι）小问5分，（ΙΙ）小问8分）

在∆ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a+b+c=8

（Ι）若a=2,b=52，求cosC的值；

（ΙΙ）若sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC，且∆ABC的面积S=92sinC，求a和b的值.

【答案】（Ι）-15（ΙΙ）a=3,b=3

【解析】（Ι）由题意可知：

c=8-a+b=27.

由余弦定理得：

cosC=a2+b2-c22ab=22+（52）2-（72）22∙2∙52=-15.

（ΙΙ）由sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC可得：

sinA1+cosB2+sinB1+cosA2=2sinC

化简得：

sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC

因为sinAcosB+cosAsinB=sinA+B=sinC，所以sinA+sinB=3sinC.

由正弦定理可知：

a+b=3c.又因a+b+c=8，故a+b=6.

由于S=12absinC=92sinC，所以ab=9，从而a2-6a+9=0，解得a=3,b=3.

19.本小题满分12分（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分。

已知函数fx=x4+ax-lnx-32,其中a∈R,且曲线y=fx在点（1,f1）处的切线垂直于直线y=12x

（Ι）求a的值；

（ΙΙ）求函数fx的单调区间和极值。

【答案】（Ι）a=54（ΙΙ）fx的单调递增区间为（5,+∞）；单调递减区间为（0,5）.

并在x=5处取得极小值-ln5

【解析】（Ι）对f（x）求导得f‘x=14-ax2-1x,

因为曲线y=fx在点（1,f1）处的切线垂直于直线y=12x

所以f‘1=14-a1-11=-2

解得：

a=54

（ΙΙ）fx=x4+54x-lnx-32,其定义域为（0,+∞）

f‘x=14-54x2-1x=x2-4x-54x2=（x-5）（x+1）4x2

令f‘x≥0解得x≤-1或x≥5

所以fx的单调递增区间为（5,+∞）；单调递减区间为（0,5）.

并在x=5处取得极小值f5=54+520-ln5-32=-ln5,

20.本小题满分12分（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分。

如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，,,为上一点，且

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若，求四棱锥的体积

【答案】（Ⅰ）略，在解析中呈现（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）因为底面，底面，故。

因为是以为中心的菱形，，所以。

又因为，所以，

（Ⅱ）由

（1）可知，，,在中，利用余弦定理可以求得.

设，可得,

又因为，解得，即.

所以四棱锥的体积为

【点评】总体来说难度不大，但是计算量稍高。

特别是对平面几何的计算有很高的要求。

而对于立体几何中的内容涉及不多。

21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

如题（21）图，设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，|F1F2||DF1|=22，△DF1F2的面积为22

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使得圆在x轴的上方与椭圆由两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？

若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由。

【解析】：

（Ⅰ）设F1-c,0,F2c,0,其中a2-b2=c2

由|F1F2||DF1|=22得|DF1|=|F1F2|22=22c

从而S△DF1F2=12DF1|F1F2|=22c2=22，故c=1

从而|DF1|=22，由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=92，因此|DF2|=322

所以2a=DF1+DF2=22，故a=2，b2=a2-c2=1，

因此所求椭圆的标准方程为

（Ⅱ）如题（21）图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1（x1,y1）,P2（x2,y2）是两个交点，y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知，x2=-x1，y2=y1

由（Ⅰ）知F1-1,0,F21,0，所以F1P1=（x1+1,y1）,F2P2=（-x1-1,y1），再由F1P1⊥F2P2得-x1+12+y12=0，由椭圆方程得1-x122=x1+12,即3x12+4x1=0.解得x1=-43或x1=0

当x1=0时P1、P2重合，题设要求的圆不存在

当x1=-43时，过P1、P2分别与F1P1、F2P2垂直的直线交点即为圆心C，设C（0，y0）由CP1⊥F1P1,得y1-y0x1y1x1+1=-1,而y1=x1+1=13，故y0=53

圆C的半径|CP1|=-432+13-532=423

综上，存在满足题设条件的圆，其方程为

x2+y-532=329

【点评】：

第一问运用椭圆的几何性质求标准方程，比较简单；第二问把椭圆和圆结合起来，查考了椭圆的对称性，圆的切线与半径垂直等性质，计算出圆心坐标，计算要仔细，难度与去年相比比较平稳。