2015年浙江高考理科数学试题及解析.doc
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
选择题部分（共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分
1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（ ）
A．
[0，1）
B．
（0，2]
C．
（1，2）
D．
[1，2]
2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的体积是（ ）
A．
8cm3
B．
12cm3
C．
D．
3．（5分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（ ）
A．
a1d＞0，dS4＞0
B．
a1d＜0，dS4＜0
C．
a1d＞0，dS4＜0
D．
a1d＜0，dS4＞0
4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．
∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n
B．
∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．
∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D．
∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：
d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（ ）
命题①：
对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：
对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．
命题①和命题②都成立
B．
命题①和命题②都不成立
C．
命题①成立，命题②不成立
D．
命题①不成立，命题②成立
7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A．
f（sin2x）=sinx
B．
f（sin2x）=x2+x
C．
f（x2+1）=|x+1|
D．
f（x2+2x）=|x+1|
8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（ ）
A．
∠A′DB≤α
B．
∠A′DB≥α
C．
∠A′CB≤α
D．
∠A′CB≥α
非选择题部分（共110分）
二、填空题：
本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．
10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是 ．
11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．
12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a= ．
13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 ．
14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 ．
15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0= ，y0= ，|= ．
三、解答题：
本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（1）证明：
A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．
18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．
（1）证明：
当|a|≥2时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．
19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
20．（15分）（2015•浙江）已知数列{an}满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）
（1）证明：
1≤≤2（n∈N*）；
（2）设数列{an2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
选择题部分（共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）
1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（ ）
A．
[0，1）
B．
（0，2]
C．
（1，2）
D．
[1，2]
考点：
交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
专题：
集合．
分析：
求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．
解答：
解：
由P中不等式变形得：
x（x﹣2）≥0，
解得：
x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），
∴∁RP=（0，2），
∵Q=（1，2]，
∴（∁RP）∩Q=（1，2），
故选：
C．
点评：
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的体积是（ ）
A．
8cm3
B．
12cm3
C．
D．
考点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
解答：
解：
由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，
所求几何体的体积为：
23+×2×2×2=．
故选：
C．
点评：
本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．
3．（5分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（ ）
A．
a1d＞0，dS4＞0
B．
a1d＜0，dS4＜0
C．
a1d＞0，dS4＜0
D．
a1d＜0，dS4＞0
考点：
等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．
解答：
解：
设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，
由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：
．
∵d≠0，∴，
∴，
=＜0．
故选：
B．
点评：
本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．
∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n
B．
∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．
∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D．
∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
考点：
命题的否定．菁优网版权所有
专题：
简易逻辑．
分析：
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
解答：
解：
命题为全称命题，
则命题的否定为：
∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，
故选：
D．
点评：
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．
解答：
解：
如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，
过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，
由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，
则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，
|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，
则===，
故选：
A
点评：
本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．
6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：
d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（ ）
命题①：
对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：
对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．
命题①和命题②都成立
B．
命题①和命题②都不成立
C．
命题①成立，命题②不成立
D．
命题①不成立，命题②成立
考点：
复合命题的真假．菁优网版权所有
专题：
集合；简易逻辑．
分析：
命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，
③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．
解答：
解：
命题①：
对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，
若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，
命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），
∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]
≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，
故选：
A
点评：
本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．
7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A．
f（sin2x）=sinx
B．
f（sin2x）=x2+x
C．
f（x2+1）=|x+1|
D．
f（x2+2x）=|x+1|
考点：
函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．
解答：
解：
A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；
取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；
∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；
B．取x=0，则f（0）=0；
取x=π，则f（0）=π2+π；
∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
C．取x=1，则f
（2）=2，取x=﹣1，则f
（2）=0；
这样f
（2）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；
令t2﹣1=x，则t=；
∴；
即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；
∴该选项正确．
故选：
D．
点评：
本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．
8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（ ）
A．
∠A′DB≤α
B．
∠A′DB≥α
C．
∠A′CB≤α
D．
∠A′CB≥α
考点：
二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
专题：
创新题型；空间角．
分析：
解：
画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．
解答：
解：
①当AC=BC时，∠A′DB=α；
②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，
α=∠A′OE，连结AA′，
易得∠ADA′＜∠AOA′，
∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α
综上所述，∠A′DB≥α，
故选：
B．
点评：
本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．
非选择题部分（共110分）
二、填空题：
本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是 2 ，渐近线方程是 y=±x ．
考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．
解答：
解：
双曲线=1中，a=，b=1，c=，
∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．
故答案为：
2；y=±x．
点评：
本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= 0 ，f（x）的最小值是 ．
考点：
函数的值．菁优网版权所有
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解
解答：
解：
∵f（x）=，
∴f（﹣3）=lg10=1，
则f（f（﹣3））=f
（1）=0，
当x≥1时，f（x）=，即最小值，
当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，
故f（x）的最小值是．
故答案为：
0；．
点评：
本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．
11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [kπ+，kπ+]（k∈Z） ．
考点：
两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．
解答：
解：
化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1
=（1﹣cos2x）+sin2x+1
=sin（2x﹣）+，
∴原函数的最小正周期为T==π，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，
∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）
故答案为：
π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）
点评：
本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．
12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a= ．
考点：
对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．
解答：
解：
∵a=log43，可知4a=3，
即2a=，
所以2a+2﹣a=+=．
故答案为：
．
点评：
本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 ．
考点：
异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
专题：
空间角．
分析：
连结ND，取ND的中点为：
E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．
解答：
解：
连结ND，取ND的中点为：
E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，
∵AN=2，
∴ME==EN，MC=2，
又∵EN⊥NC，∴EC==，
∴cos∠EMC===．
故答案为：
．
点评：
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 3 ．
考点：
函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
专题：
不等式的解法及应用；直线与圆．
分析：
根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．
解答：
解：
由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，
如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，
在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，
利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；
在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，
即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，
利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．
综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．
故答案为：
3．
点评：
本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．
15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0= 1 ，y0= 2 ，|= 2 ．
考点：
空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
专题：
创新题型；空间向量及应用．
分析：
由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．
解答：
解：
∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，
∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），
则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），
∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），
∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2
=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，
由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，
此时t2=1，故|==2
故答案为：
1；2；2
点评：
本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．
三、解答题：
本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
考点：
余弦定理．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
（1）由余弦定理可得：
，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．
（2）由=×=3，可得c，即可得出b．
解答：
解：
（1）∵A=，∴由余弦定理可得：
，∴b2﹣a2=bc﹣c2，
又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，
∴a2=b2﹣=，即a=．
∴cosC===．
∵C∈（0，π），
∴sinC==．
∴tanC==2．
（2）∵=×=3，
解得c=2．
∴=3．
点评：
本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（1）证明：
A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．
考点：
二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离；空间角．
分析：
（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；
（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．
解答：
（1）证明：
如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．
则BC=AC=2，A1O==，
易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），
A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），
=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），
=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），
∵•=0，∴A1D⊥OA1，
又∵•=0，∴A1D⊥BC，
又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；
（2）解：
设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取z=1，得=（，0，1），
设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取z=1，得=（0，，1），
∴cos＜，＞===，
又∵该二面角为钝角，
∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．
点评：
本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．
（1）证明：
当|a|≥2时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b满足M（a，b）≤2
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