高中数学第二章参数方程第节直线和圆锥曲线的参数方程第课时直线的参数方程检测北师大版.doc

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第二讲　第二节　第一课时直线的参数方程

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．已知直线（t为参数），下列命题中错误的是（　　）

A．直线经过点（7，－1）

B．直线的斜率为

C．直线不过第二象限

D．|t|是定点M0（3，－4）到该直线上对应点M的距离

解析：

　直线的普通方程为3x－4y－25＝0.由普通方程可知，A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，故|t|不具有上述几何意义，故选D．

答案：

　D

2．以t为参数的方程表示（　　）

A．过点（1，－2）且倾斜角为的直线

B．过点（－1,2）且倾斜角为的直线

C．过点（1，－2）且倾斜角为的直线

D．过点（－1,2）且倾斜角为的直线

解析：

　化参数方程

为普通方程得y＋2＝－（x－1），

故直线过定点（1，－2），

斜率为－，倾斜角为.

答案：

　C

3．双曲线－＝1中，被点P（2,1）平分的弦所在的直线的方程是（　　）

A．8x－9y＝7　　　　　　 B．8x＋9y＝25

C．4x－9y＝6 D．不存在

解析：

　设直线的参数方程为（t为参数），

代入双曲线方程，得

4（2＋tcosα）2－9（1＋tsinα）2＝36，

整理得（4cos2α－9sin2α）t2－（16cosα－18sinα）t－29＝0.

设方程的两个实根分别为t1，t2，

则t1＋t2＝.

因为点P平分弦，

所以t1＋t2＝0，

即18sinα－16cosα＝0，tanα＝，

即k＝.

因此弦所在直线方程为y－1＝（x－2），

即8x－9y＝7.

答案：

　A

4．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是（　　）

A．（t为参数） B．（t为参数）

C．（t为参数） D．（t为参数）

解析：

　题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0.

答案：

　C

二、填空题（每小题5分，共10分）

5．过点P且倾斜角为30°的直线和曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB长为__________________.

解析：

　直线的参数方程为（s为参数），

曲线（t为参数）

可以化为x2－y2＝4.

将直线的参数方程代入上式，

得s2－6s＋10＝0，

设A，B对应的参数分别为s1，s2，

∴s1＋s2＝6，s1s2＝10，

|AB|＝|s1－s2|＝＝2.

答案：

　2

6．已知直线l经过点P（1,1），倾斜角α＝，设l与曲线（θ为参数）交于两点A，B，则点P到A，B两点的距离之积为__________________.

解析：

　直线的参数方程为

则

曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝4，

把直线代入x2＋y2＝4

得2＋2＝4，

t2＋（＋1）t－2＝0，t1t2＝－2，

则点P到A，B两点的距离之积为2.

答案：

　2

三、解答题（每小题10分，共20分）

7．设直线l过点P（－3,3），且倾斜角为.

（1）写出直线l的参数方程；

（2）设此直线与曲线C：

（θ为参数）交于A，B两点，求|PA|·|PB|；

（3）设AB中点为M，求|PM|.

解析：

（1）直线l的参数方程是

（t为参数）．

（2）把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得42＋2－16＝0.

即13t2＋4（3＋12）t＋116＝0.

由t的几何意义，知

|PA|·|PB|＝|t1·t2|，

故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.

（3）由t的几何意义，知

中点M的参数为，

故|PM|＝|t1＋t2|＝.

8．已知直线l过点P（3,2），且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点．求|PA|·|PB|的值为最小时直线l的方程．

解析：

　设直线的倾斜角为α，

则它的方程为（t为参数）

由A、B是坐标轴上的点知yA＝0，xB＝0，

∴0＝2＋tsinα，

即|PA|＝|t|＝，

0＝3＋tcosα，

即|PB|＝|t|＝－.

故|PA|·|PB|＝.

＝－.

∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°，

即α＝135°时，

|PA|·|PB|有最小值．

∴直线方程为（t为参数），

化为普通方程即x＋y－5＝0.

☆☆☆

9．（10分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南θ（θ＝arccos）方向300km的海面P处，并以200km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

解析：

　方法一：

如图建立坐标系，以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻t（h）台风中心（，）的坐标为

此时台风侵袭的区域是（x－）2＋（y－）2≤[r（t）]2，

其中r（t）＝10t＋60，

若在t时刻城市O受到台风的侵袭，

则有（0－）2＋（0－）2≤（10t＋60）2，

即2＋2≤（10t＋60）2，即t2－36t＋288≤0，

解得12≤t≤24.

即12小时后该城市开始受到台风的侵袭

方法二：

如图，设在时刻t（h）台风中心为Q，

此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60（km）．

若在时刻t城市O受到台风的侵袭，

则OQ≤10t＋60.

由余弦定理知OQ2＝PQ2＋OP2－2·PQ·POcos∠OPQ.

又由于OP＝300，PQ＝20t，

所以cos∠OPQ＝cos（θ－45°）

＝cosθcos45°＋sinθsin45°

＝×＋×＝，

故OQ2＝（20t）2＋3002－2×20t×300×

＝202t2－9600t＋3002.

因此202t2－9600t＋3002≤（10t＋60）2，

即t2－36t＋288≤0，

解得12≤t≤24.

即12小时后该城市开始受到台风的侵袭．

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