全国初中数学竞赛试题及答案Word文档下载推荐.doc

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A．0　　　　　B．1　　　　C．－1　　　　D．2

2、对于任意实数，定义有序实数对与之间的运算“△”为：

。

如果对于任意实数，都有，那么为（　B　）。

A．　　　B．　　　C．　　　D．

3、已知是两个锐角，且满足，，则实数所有可能值的和为（　C　）

A．　　　　　B．　　　　C．1　　　　D．

A

B

C

E

D

F

4、如图，点分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设，，，，则与的大小关系为（　C　）

A．＜

B．＝

C．＞

D．不能确定

5、设，则4S的整数部分等于（　A　）

A．4　　　　B．5　　　　　C．6　　　　D．7

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

　6、两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。

　7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；

另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。

同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。

y

x

O

　8、如图，双曲线与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F且AF＝BF，连接EF，则△OEF的面积为＿＿＿＿＿；

9、⊙的三个不同的内接正三角形将⊙分成的区域的个数为＿＿＿＿＿。

28

10、设四位数满足，则这样的四位数的个数为＿＿＿。

5

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值。

解：

设方程的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α≤β

则方程的两个整数根为α＋1、β＋1，

由根与系数关系得：

α＋β＝－a，（α＋1）（β＋1）＝a

两式相加得：

αβ＋2α＋2β＋1＝0即（α＋2）（β＋2）＝3

∴或解得：

或

又∵a＝－（α＋β），b＝αβ，c＝－[（α＋1）＋（β＋1）]

∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6

故＝－3或＝29

H

P

Q

12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙和△BCH的外接圆⊙相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：

点P为CH的中点。

证明：

如图，延长AP交⊙于点Q

连结AH，BD，QC，QH

∵AB为直径∴∠ADB＝∠BDQ＝900

∴BQ为⊙的直径

于是CQ⊥BC，BH⊥HQ

∵点H为△ABC的垂心∴AH⊥BC，BH⊥AC

∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形

则点P为CH的中点。

13、若从1，2，3，…，中任取5个两两互素的不同的整数，，，，，其中总有一个整数是素数，求的最大值。

解：

若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，∴n≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数，，，，，

若，，，，都不是素数，则，，，，中至少有四个数是合数，不妨假设，，，为合数，

设，，，的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4

由于，，，两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同

设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7

因为，，，为合数，所以，，，中一定存在一个

aj≥p2≥72＝49，与n≥49矛盾，于是，，，，中一定有一个是素数

综上所述，正整数n的最大值为48。

14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°

，AB＝2AC。

点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积。

如图，作△ABQ，使得：

∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，

M

则△ABQ∽△ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2

于是，AQ＝2AP＝2，BQ＝2CP＝4

∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°

由AQ：

AP＝2：

1知，∠APQ＝900

于是，PQ＝AP＝3

∴BP2＝25＝BQ2＋PQ2从而∠BQP＝900

作AM⊥BQ于M，由∠BQA＝1200，知

∠AQM＝600，QM＝，AM＝3，于是，

∴AB2＝BM2＋AM2＝（4＋）2＋32＝28＋8

故S△ABC＝AB•ACsin600＝AB2＝

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