江苏高考解析几何含解析.docx
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2018年-2008年江苏高考解析几何题（共20题）
说明：
解析几何题填空题选自最后4题，解答题考在17题或18题，是解答题的第三、四两题之一，是中档题，是学生取得优分必须要突破的题型，必须重视。
做错的认真订正，并在可能的情况下多练。
1．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交
于另一点D．若，则点A的横坐标为．
2．如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
3.在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取
值范围是.
4.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.
5.如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：
存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
6.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
8．如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接。
（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆离心率的值。
9．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为．
10．如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
x
y
A
l
O
11.在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：
是定值．
13、设集合,,
若则实数m的取值范围是______________
14、如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：
PA⊥PB
15、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_____
16、在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。
设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：
直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
17．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为.
18.在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
19.在平面直角坐标系中，椭圆1（0）的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=．
20．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；
（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？
请证明你的结论．
解析如下：
1．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为．
【答案】3
【解析】设，则由圆心为中点得，
易得，与联立解得点的横坐标，所以．所以，，
由得，
，或，因为，所以．
2．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，
求直线l的方程．
18．【答案】
（1）椭圆的方程为；圆的方程为；
（2）①点的坐标为；②直线的方程为．
【解析】
（1）因为椭圆的焦点为，，
可设椭圆的方程为．又点在椭圆上，
所以，解得，因此，椭圆的方程为．
因为圆的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线与圆相切于，则，
所以直线的方程为，即．
由，消去，得．（*）
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以．
因为，，所以，．
因此，点的坐标为．
②因为三角形的面积为，所以，从而．
设，，由（*）得，
所以．
因为，
所以，即，
解得（舍去），则，因此的坐标为．
综上，直线的方程为．
4.在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范
是.
【答案】
【考点】直线与圆，线性规划
4.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.
F1
O
F2
x
y
（第17题）
【答案】
（1）
（2）
【解析】解：
（1）设椭圆的半焦距为c.
从而直线的方程：
，①
直线的方程：
.②
由①②，解得，所以.
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.
因此点P的坐标为.
5.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：
存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
【答案】
（1）
（2）（3）
（2）因为直线l||OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
6.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为
【答案】
【解析】
试题分析：
设，因为直线平行于渐近线，所以c的最大值为直线与渐近线之间距离，为
7.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
【答案】
（1）
（2）或．
（2）当轴时，，又，不合题意．
当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
将的方程代入椭圆方程，得，
则，的坐标为，且
．
若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．
从而，故直线的方程为，
则点的坐标为，从而．
因为，所以，解得．
此时直线方程为或．
8．（满分14分）如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接。
（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆离心率的值。
9．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为
，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为．
【答案】
【解析】如图，l：
x＝，＝－c＝，由等面积得：
＝。
若，则＝，整理得：
，两边同除以：
，得：
，解之得：
＝，所以，离心率为：
．
y
x
l
B
F
O
c
b
a
10．x
y
A
l
O
（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，点，直线．
设圆的半径为，圆心在上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，
求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐
标的取值范围．
解：
（1）联立：
，得圆心为：
C（3，2）．
设切线为：
，
d＝，得：
．
故所求切线为：
．
（2）设点M（x，y），由，知：
，
化简得：
，
即：
点M的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：
1≤|CD|≤3，其中．
解之得：
0≤a≤．
11.在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是▲．
【答案】
【解析】根据题意将此化成标准形式为：
，得到，该圆的圆心为半径为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心到直线的距离，即可，所以有，化简得解得，所以k的最大值是.
12.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
A
B
P
O
x
y
（第19题）
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：
是定值．
【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.
【解析】
（1）设题设知，，由点（1，）在椭圆上，
得=1，解得=1，于是，
又点（，）在椭圆上，∴=1，即，解得=2，
∴所求椭圆方程的方程是=1；
（2）由
（1）知（－1,0）,（1,0）,∵∥，
∴可设直线的方程为：
，直线的方程为：
，
设，，
由，得，解得，
故===，①
同理，=，②
（ⅰ）由①②得－=，解得=得=2，
∵，∴，∴直线的斜率为.
（ⅱ）∵∥，∴,∴,∴,
由B点在椭圆知,∴,同理,
∴==
由①②知，+=，×=，
∴==，∴是定值.
13、设集合,,
若则实数m的取值范围是______________
答案：
解析：
综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，难题。
当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有.又因为
N
M
P
A
x
y
B
C
14、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：
PA⊥PB
解析：
（1）
（2）两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、
解方程组，是容易题；（3）是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、
直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力，是难题。
（1）M（-2,0）,N（0,）,M、N的中点坐标为（-1,）,所以
（2）由得，，AC方程：
即：
所以点P到直线AB的距离
（3）法一：
由题意设，
A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，
，两式相减得：
法二：
设,
A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,
两式相减得：
15、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____[来源
[解析]考查圆与直线的位置关系。
圆半径为2，
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。
16、（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。
设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：
直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。
考查运算求解能力和探究问题的能力。
满分16分。
（1）设点P（x，y），则：
F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
（2）将分别代入椭圆方程，以及得：
M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：
，即，
直线NTB方程为：
，即。
联立方程组，解得：
，
所以点T的坐标为。
（3）点T的坐标为
直线MTA方程为：
，即，
直线NTB方程为：
，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：
、。
（方法一）当时，直线MN方程为：
令，解得：
。
此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：
，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若，则由及，得，
此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。
若，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。
17．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为▲.
【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。
以及直线的方程。
直线的方程为：
；
直线的方程为：
。
二者联立解得：
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则在椭圆上，
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解得：
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。
满分16分。
（1）设直线的方程为：
，即
由垂径定理，得：
圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
化简得：
求直线的方程为：
或，即或
（2）设点P坐标为，直线、的方程分别为：
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。
由垂径定理，得：
：
圆心到直线与直线的距离相等。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故有：
，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解之得：
点P坐标为或。
19.在平面直角坐标系中，椭圆1（0）的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=▲．
【答案】
【解析】设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故，解得．
20．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）求圆C的方程；
（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？
请证明你的结论．
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
解：
（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0得这与＝0是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C的方程为.
（Ⅲ）圆C必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：
将（0，1）代入圆C的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆C必过定点（0，1）．
同理可证圆C必过定点（－2，1）．
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