全国初中数学联赛初二卷文档格式.docx
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5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.
A.B.C.D.
6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°
，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°
，则DE的值为（）.
A.56B.58C.60D.62
二、填空题：
（本题满分28分，每小题7分）
7.使得等式成立的实数a的值为________.
8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°
.用θ表示100°
-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.
9.设a,b是两个互质的正整数，且为质数.则p的值为________.
10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.
第二试
一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.
二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：
EF=2PD.
三、（本题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案
答案：
B
对应讲次：
所属知识点：
方程
思路：
因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.
解析：
已知等式可变形为2（a+2b）+3（3b+c）=90，3（a+2b）+（3b+c）=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以.
C
可以想到换元法.
设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，，
∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=（x+y+z）2-2（xy+xz+yz）=100.
则（a+1）2+（b+3）2+（c+5）2=100.
3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2（a+b+c），则称（a,b,c）为好数组.那么好数组的个数为（）.
数论
先通过a≤b≤c且abc=2（a+b+c）的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.
若（a,b,c）为好数组，则abc=2（a+b+c）≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.
若a=1，则bc=2（1+b+c），即（b-2）（c-2）=6，可得（a,b,c）=（1,3,8）或（1,4,5），共2个好数组.
若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；
b=3,c=，不是整数舍去，共1个好数组.
共3个好数组（a,b,c）=（1,3,8）（1,4,5）（2,2,4）.
4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.
由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.
联立方程可得（a-9）2+3（b-1）2=75，则3（b-1）2≤75，即1≤b≤6.
当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；
当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.
因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.
5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.
A
平面几何
通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.
作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，
则△ABE是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得.
所以梯形ABCD的面积为.
6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°
补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt△EAD中去，利用勾股定理求解.
作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，将△CDF绕点C逆时针旋转90°
至△CGB，则ABCF为正方形，可得△ECG≌△ECD，∴EG=ED.
设DE=x，则DF=BG=x-28，AD=98-x.
在Rt△EAD中，有422+（98-x）2=x2，解得x=58.
8
通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.
易得.
令，则x≥0，代入整理可得x（x-3）（x+1）2=0，解得x1=0,x2=3,x3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.
8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°
20°
代数
一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.
∵θ≤100°
-C，θ≤C-B，θ≤B-A∴θ≤［3（100°
-C）+2（C-B）+（B-A）］=20°
又当A=40°
B=60°
C=80°
时，θ=20°
可以取到.
则θ的最大值为20°
.
9.设a,b是两个互质的正整数，且为质数.则p的值为________.
7
因为p是质数，只能拆成1和p，另一方面通过a+b、a、b两两互质来拆分的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.
因为a,b互质，所以a+b、a、b两两互质，因为质数，所以可得a=b=1，p=4，不是质数舍；
可得a=7，b=1，p=7，符合题意.
则p=7.
34
考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.
设该正整数列为，考虑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.
由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.
65
对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数设为10a+b，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.
设A=10a+b（1≤a,b≤9,a,b∈N），则B=10b+a，由A,B不同得a≠b，A2-B2=（10a+b）2-（10b+a）2=9×
11×
（a+b）（a-b）. ………5分
由A2-B2是完全平方数，则a＞b，，可得a+b=11， ………10分
a-b也是完全平方数，所以a-b=1或4. ………15分
若a-b=1，则a=6，b=5；
若a-b=4，则没有正整数解.
因此a=6，b=5，A=65. ………20分
因为EF、PD都在△DEF中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°
，此时若能得出EF=PD，则自然可以得到结论.
由DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，可得∠EDF=90°
. ………5分
由BE⊥DE得BE∥DF，则∠EBD=∠FDC. ………10分
又BD=DC，∠BED=∠DFC=90°
，则△BED≌△DFC，BE=DF. ………15分
得四边形BDFE是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP，EP=PD. ………20分
又△EDF是直角三角形，∴EF=2PD. ………25分
3
通过a,b,c是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.
，由是有理数，可得b2=ac.…10分
. ………15分
不妨设a＜c，若a=1，c=b2，因为a≠b，则a+c-b=1+b（b-1）≥3，取等号当且仅当b=2时.………20分
若a≥2，因为c≠b≠1，则a+c-b=a+b（b-1）≥a+2≥4＞3.
所以的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时. ………25分
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