湖南省高考数学试卷文科答案与解析.doc

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2011年湖南省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2011•湖南）设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁UN=﹛2，4﹜，则N=（　　）

A．{1，2，3} B．{1，3，5} C．{1，4，5} D．{2，3，4}

【分析】利用集合间的关系，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N．

【解答】解：

∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜，

∴集合M，N对应的韦恩图为

所以N={1，3，5}

故选B

【点评】本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具．考查数形结合的数学思想方法．

2．（5分）（2011•湖南）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（　　）

A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1

【专题】计算题．

【分析】根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值．

【解答】解：

∵（a+i）i=b+i，

∴ai﹣1=b+i，

∴a=1，b=﹣1，

故选C．

【点评】本题考查复数的乘法运算，考查复数相等的条件，是一个基础题，这种题目一般出现在试卷的前几个题目中．

3．（5分）（2011•湖南）“x＞1”是“|x|＞1”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【专题】简易逻辑．

【分析】解绝对值不等式，进而判断“x＞1”⇒“|x|＞1”与“|x|＞1”⇒“x＞1”的真假，再根据充要条件的定义即可得到答案．

【解答】解：

当“x＞1”时，“|x|＞1”成立，

即“x＞1”⇒“|x|＞1”为真命题，

而当“|x|＞1”时，x＜﹣1或x＞1，即“x＞1”不一定成立，

即“|x|＞1”⇒“x＞1”为假命题，

∴“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件．

故选A．

【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“x＞1”⇒“|x|＞1”与“|x|＞1”⇒“x＞1”的真假，是解答本题的关键．

4．（5分）（2011•湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．9π+42 B．36π+18 C． D．

【专题】计算题．

【分析】由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．

【解答】解：

由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，

下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，

上面是一个球，球的直径是3，

该几何体的体积是两个体积之和，

四棱柱的体积3×3×2=18，

球的体积是，

∴几何体的体积是18+，

故选D．

【点评】本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题．

5．（5分）（2011•湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计

爱好

不爱好

总计

110

由算得，

附表：

p（k2≥k）

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

参照附表，得到的正确结论是（　　）

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【专题】计算题．

【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．

【解答】解：

由题意知本题所给的观测值，

∵7.8＞6.635，

∴这个结论有0.01=1%的机会说错，

即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

故选A．

【点评】本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题．

6．（5分）（2011•湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【专题】计算题．

【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值．

【解答】解：

的渐近线为y=，

∵y=与3x±2y=0重合，

∴a=2．

故选C．

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．

7．（5分）（2011•湖南）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（　　）

A． B． C． D．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率．

【解答】解：

∵

∴y'=

y'|x==|x==

故选B．

【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题．

8．（5分）（2011•湖南）已知函数f（x）=ex﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（　　）

A． B．（2﹣，2+） C．[1，3] D．（1，3）

【专题】计算题；压轴题．

【分析】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．

【解答】解：

∵f（a）=g（b），

∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3

∴﹣b2+4b﹣2=ea＞0

即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+

故选B

【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．

二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）

9．（5分）（2011•湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为　2　．

【专题】计算题．

【分析】先根据同角三角函数的关系消去参数α可求出曲线C1的普通方程，然后利用极坐标公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ进行化简即可求出曲线C2普通方程，最后利用直角坐标方程判断C1与C2的交点个数即可．

【解答】解：

由曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，∴x﹣y+1=0．即y=x+1；

将曲线C1的参数方程化为普通方程为．

∴消去y整理得：

7x2+8x﹣8=0．

△＞0，∴此方程有两个不同的实根，

故C1与C2的交点个数为2．

故答案为2．

【点评】本题主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程，求直线与椭圆的交点个数，考查运算求解能力及转化的思想，属于基础题．

10．（2011•湖南）【选做】已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是　40或60（只写出其中一个也正确）　．

【分析】由题知试验范围为[10，90]，区间长度为80，故可把该区间等分成8段，利用分数法选取试点进行计算．

【解答】解：

由已知试验范围为[10，90]，可得区间长度为80，将其等分8段，

利用分数法选取试点：

x1=10+×（90﹣10）=60，x2=10+90﹣60=40，

由对称性可知，第二次试点可以是40或60．

故答案为：

40或60．

【点评】本题考查的是分数法的简单应用．一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：

（1）可能的试点总数正好是某一个（Fn﹣1）．

（2）所有可能的试点总数大于某一（Fn﹣1），而小于（Fn+1﹣1）．

11．（5分）（2011•湖南）若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=4，x4=8则输出的数等于　　．

【专题】算法和程序框图．

【分析】先根据流程图分析出该算法的功能，然后求出所求即可．

【解答】解：

该算法的功能是求出四个数的平均数

故输出的数==

故答案为：

【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：

分析流程图（从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型），根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．

12．（5分）（2011•湖南）已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f

（2）=　6　．

【专题】计算题．

【分析】将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g（﹣2）=3，求出f

（2）的值．

【解答】解：

∵g（﹣2）=f（﹣2）+9

∵f（x）为奇函数

∴f（﹣2）=﹣f

（2）

∴g（﹣2）=﹣f

（2）+9

∵g（﹣2）=3

所以f

（2）=6

故答案为6

【点评】本题考查奇函数的定义：

对于定义域中的任意x都有f（﹣x）=﹣f（x）

13．（5分）（2011•湖南）设向量，满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为　（﹣4，﹣2）　．

【专题】计算题．

【分析】要求向量的坐标，我们可以高设出向量的坐标，然后根据与的方向相反，及||=2，我们构造方程，解方程得到向量的坐标．

【解答】解：

设=（x，y），

∵与的方向相反，

故=λ=（2λ，λ）（λ＜0）

又∵||=2，

∴5λ2=20

解得λ=﹣2

则=（﹣4，﹣2）．

故答案为（﹣4，﹣2）．

【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量模的计算，其中根据与的方向相反，给出向量的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键．

14．（5分）（2011•湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为　3　．

【专题】计算题；压轴题；数形结合．

【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m的取值范围．

【解答】解：

满足约束条件的平面区域如下图所示：

目标函数z=x+5y可看做斜率为﹣的动直线，其纵截距越大z越大，

由可得A点（，）

当x=，y=时，

目标函数z=x+5y取最大值为4，即；

解得m=3．

故答案为：

3．

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数z=x+my在点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键．

15．（5分）（2011•湖南）已知圆C：

x2+y2=12，直线l：

4x+3y=25．

（1）圆C的圆心到直线l的距离为　5　；

（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为　　．

【专题】直线与圆．

【分析】

（1）根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据做出点到直线的距离．

（2）本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．

【解答】解：

（1）由题意知圆x2+y2=12的圆心是（0，0），

圆心到直线的距离是d==5，

（2）圆心C到直线l的距离是5，到直线l′的距离是3，

则劣弧AB所对应的弧上的点到直线l的距离都小于2，优弧AB所对应的弧上的点到直线l的距离都大于2，

∵AC=2，CD=3，

∴AD==，AB=2，

∴∠ACB=60°，

根据几何概型的概率公式得到P==

故答案为：

5；．

【点评】本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大．

16．（5分）（2011•湖南）给定k∈N*，设函数f：

N*→N*满足：

对于任意大于k的正整数n：

f（n）=n﹣k

（1）设k=1，则其中一个函数f（x）在n=1处的函数值为　a（a为正整数）　；

（2）设k=4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为　16　．

【专题】计算题；压轴题；探究型．

【分析】题中隐含了对于小于或等于K的正整数n，其函数值也应该是一个正整数，但是对应法则由题意而定

（1）n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f

（1）的值是一个常数（正整数）；

（2）k=4，且n≤4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f（n）的值在2、3中任选其一，再由乘法原理可得不同函数的个数．

【解答】解：

（1）∵函数f：

N*→N*满足：

对于任意大于k的正整数n：

f（n）=n﹣k，

∴对应法则f是正整数到正整数的映射，

∵k=1，∴从2开始都是一一对应的，

而且可以和任何一个正整数对应，

∴其中一个函数f（x）在n=1处的函数值为a（a为正整数），

∴f

（1）=a（a为正整数）

即f（x）在n=1处的函数值为a（a为正整数）

（2）∵n≤4，k=4，f（n）为正整数且2≤f（n）≤3

∴f

（1）=2或3且f

（2）=2或3且f（3）=2或3且f（4）=2或3

根据分步计数原理，可得共24=16个不同的函数

故答案为：

a（a为正整数）；16．

【点评】本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件，是解决本题的关键，掌握映射与函数的概念是本题的难点．

三、解答题（共6小题，满分75分）

17．（12分）（2011•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．

（1）求角C的大小；

（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】

（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．

（2）B=﹣A，化简sinA﹣cos（B+）=2sin（A+）．因为0＜A＜，推出

求出2sin（A+）取得最大值2．得到A=，B=

【解答】解：

（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，

因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，

又cosC≠0，所以tanC=1，C=．

（2）有

（1）知，B=﹣A，于是

=sinA+cosA

=2sin（A+）．

因为0＜A＜，所以

从而当A+，即A=时

2sin（A+）取得最大值2．

综上所述，cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=

【点评】本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．

18．（12分）（2011•湖南）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：

万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：

毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：

140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．

（Ⅰ）完成如下的频率分布表

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量

110

140

160

200

220

频率

（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

【专题】应用题；综合题．

【分析】（Ⅰ）从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数，求出频率，完成频率分布图．

（Ⅱ）将发电量转化为降雨量，利用频率分布表，求出发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

【解答】解：

（Ⅰ）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，

故近20年六月份降雨量频率分布表为：

降雨量

110

140

160

200

220

频率

（Ⅱ）根据题意，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；

则Y=460+×5=X+425，

解可得，X＜130或X＞210；

故P=P（Y＜490或Y＞530）=P（X＜130或X＞210）=P（X=70）+P（X=110）+P（X=220）=．

故今年六月份该水利发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为：

．

【点评】本题考查频率公式：

频率=；考查将问题等价转化的能力．

19．（12分）（2011•湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙OD的直径AB=2，点C在上，且∠CAB=30°，D为AC的中点．

（Ⅰ）证明：

AC⊥平面POD；

（Ⅱ）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．

【专题】计算题；证明题．

【分析】（I）由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，根据直线与平面垂直的判定定理可证

（II）由（I）可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可

【解答】解（I）因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD

又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O

所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线

所以AC⊥平面POD

（II）由（I）知，AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC

所以平面POD⊥平面PAC

在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC

连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角

在Rt△ODA中，OD=DA．sin30°=

在Rt△POD中，OH=

在Rt△OHC中，

故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力

20．（13分）（2011•湖南）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．

（Ⅰ）求第n年初M的价值an的表达式；

（Ⅱ）设，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：

须在第9年初对M更新．

【专题】综合题．

【分析】（I）通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值an的表达式；

（II）利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出An，判断出其两段的单调性，求出两段的最小值，与80比较，判断出须在第9年初对M更新．

【解答】解：

（I）当n＜6时，数列{an}是首项为120，公差为﹣10的等差数列

an=120﹣10（n﹣1）=130﹣10n

当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6=70

所以

因此，第n年初，M的价值an的表达式为

（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得

当1≤n≤6时，Sn=120n﹣5n（n﹣1），An=120﹣5（n﹣1）=125﹣5n

当n≥7时，由于S6=570故

Sn=S6+（a7+a8+…+an）==

因为{an}是递减数列，

所以{An}是递减数列，

又

所以须在第9年初对M更新．

【点评】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究．

21．（13分）（2011•湖南）已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．

【专题】计算题；综合题；压轴题；分类讨论；函数思想；方程思想．

【分析】（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设出直线l1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标，代入利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．

【解答】解：

（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由题意得，

化简得y2=2x+2|x|．

当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0，

所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）和y=0（x＜0）．

（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为y=k（x﹣1）．

由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．

设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=2+，x1x2=1．

∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为﹣．

设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．

故==

==（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）

=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+1

1+2++1+1+2+4k2+1=8+4（k2+）≥8+4×2=16，

当且仅当k2=，即k=±1时，的最小值为16．

【点评】此题是个难题．考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

22．（13分）（2011•湖南）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．

（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：

是否存在a，使得k=2﹣a？

若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

【考点】利用导数研究

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