函数极限的证明精选多篇.docx
《函数极限的证明精选多篇.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数极限的证明精选多篇.docx(11页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
函数极限的证明精选多篇
函数极限的证明(精选多篇)
第一篇:
函数极限的证明
函数极限的证明
(一)时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的:
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:
函数极限的性质及其计算。
教学难点:
函数极限性质证明及其应用。
教学方法:
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极max{a1,...am},x趋于正无穷。
把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;
那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a,那么存在n2,当x>n2时,0<=f2(x)同理,存在ni,当x>ni时,0<=fi(x)取n=max{n1,n2...nm};
那么当x>n,有
(a/m)
<=f1(x)
<=f1(x)
+相等,但二重极限仍可能不存在
2
函数f(x)当x→x0时极限存在,不妨设:
limf(x)=a(x→x0)
根据定义:
对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε
而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)
又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:
|f(x)-a|<ε=1,即:
a-1
再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:
存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|
证毕
3首先,我的方法不正规,其次,正确不正确有待考察。
1,y以y=x_-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x_=limitedsinx_/x_=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2,3可以用类似的方法,貌似同济书上是这么说的,二元函数在该点极限存在,是p(x,y)以任何方式趋向于该点。
4
f(x,y)={(x_+y_)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)
显然有y->0,f->(x_/|x|)*sin(1/x)存在
当x->0,f->(y_/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在
而当x->0,y->0时
由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x_+y_)/(|x|+|y|)
而x_+y_<=x_+y_+2*|x||y|=(|x|+|y|)_
所以|f|<=|x|+|y|
所以显然当x->0,y->0时,f的极限就为0
这个就是你说的,唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的
正无穷或负无穷或无穷,我想这个就可以了
就我这个我就线了好久了
5
(一)时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的:
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:
函数极限的性质及其计算。
教学难点:
函数极限性质证明及其应用。
教学方法:
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第四篇:
函数极限的性质证明
函数极限的性质证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在,并求该极限
求极限我会
|xn+1-a|<|xn-a|/a
以此类推,改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;
|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;
……
|x2-a|<|x1-a|/a;
向上迭代,可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a
)
2
只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法:
①证明{x(n)}单调增加。
x
(2)=√=√5>x
(1);
设x(k+1)>x(k),则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x
(1)=1<4,
设x(k)<4,则
x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。
3
当0
当0
构造函数f(x)=x*a(0
令t=1/a,则:
t>1、a=1/t
且,f(x)=x*(1/t)=x/t(t>1)
则:
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以,对于数列n*a
,其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明:
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题,帮个忙。
。
。
lim就省略不打了。
。
。
n/(n_+1)=0
√(n_+4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题,只不过题目把答案告诉你了,你把过程写出来就好了
第一题,分子分母都除以n,把n等于无穷带进去就行
第二题,利用海涅定理,把n换成x,原题由数列极限变成函数极限,用罗比达法则(不知楼主学了没,没学的话以后会学的)
第三题,n趋于无穷时1/n=0,sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n_+1)=lim(1/n)/(1+1/n_)=lim(1/n)/(1+lim(1+n_)=0/1=0
lim√(n_+4)/n=lim√(1+4/n_)=√1+lim(4/n_)=√1+4lim(1/n_)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第五篇:
函数极限的定义证明
习题1?
3
1.根据函数极限的定义证明:
(1)lim(3x?
1)?
8;x?
3
(2)lim(5x?
2)?
12;x?
2
x2?
4?
?
4;(3)limx?
?
2x?
2
1?
4x3
(4)lim?
2.
x?
?
2x?
12
1证明
(1)分析|(3x?
1)?
8|?
|3x?
9|?
3|x?
3|,要使|(3x?
1)?
8|?
?
只须|x?
3|?
?
.3
1证明因为?
?
?
0,?
?
?
?
当0?
|x?
3|?
?
时,有|(3x?
1)?
8|?
?
所以lim(3x?
1)?
8.x?
33
1
(2)分析|(5x?
2)?
12|?
|5x?
10|?
5|x?
2|,要使|(5x?
2)?
12|?
?
只须|x?
2|?
?
.5
1证明因为?
?
?
0,?
?
?
?
当0?
|x?
2|?
?
时,有|(5x?
2)?
12|?
?
所以lim(5x?
2)?
12.x?
25
(3)分析
|x?
(?
2)|?
?
.x2?
4x2?
4x?
4x2?
4?
(?
4)?
?
|x?
2|?
|x?
(?
2)|,要使?
(?
4)?
?
只须x?
2x?
2x?
2
x2?
4x2?
4?
(?
4)?
?
所以lim?
?
4.证明因为?
?
?
0,?
?
?
?
当0?
|x?
(?
2)|?
?
时,有x?
?
2x?
2x?
2
(4)分析1?
4x3111?
4x31?
2?
?
只须|x?
(?
)|?
?
.?
2?
|1?
2x?
2|?
2|x?
(?
)|,要使2x?
12x?
1222
1?
4x3111?
4x3
?
2?
?
所以lim证明因为?
?
?
0,?
?
?
?
当0?
|x?
(?
)|?
?
时,有?
2.12x?
12x?
122x?
?
2.根据函数极限的定义证明:
(1)lim1?
x3
2x3
sinxx?
?
?
1;2
(2)limx?
?
?
x?
0.
证明
(1)分析
|x|?
1
1?
x32x311?
x3?
x3?
?
22x3?
12|x|3,要使1?
x32x3?
11?
?
只须?
?
即322|x|2?
.
证明因为?
?
?
0,?
x?
(2)分析
sinxx?
0?
12?
当|x|?
x时,有1x
1?
x32x311?
x31?
?
?
所以lim?
.
x?
?
2x322
1x
?
?
即x?
sinxx
|sinx|x
?
要使
sinx
证明因为?
?
?
0,?
x?
?
2
当x?
x时,有
xsinxx
?
0?
?
只须
?
.
?
0?
?
所以lim
x?
?
?
?
0.
3.当x?
2时,y?
x2?
4.问?
等于多少,使当|x?
2|<?
时,|y?
4|<0.001?
解由于x?
2,|x?
2|?
0,不妨设|x?
2|?
1,即1?
x?
3.要使|x2?
4|?
|x?
2||x?
2|?
5|x?
2|?
0.001,只要
|x?
2|?
0.001
?
0.0002,取?
?
0.0002,则当0?
|x?
2|?
?
时,就有|x2?
4|?
0.001.5
x2?
1x?
3
4.当x?
?
时,y?
x2?
1x2?
3
?
1,问x等于多少,使当|x|>x时,|y?
1|<0.01?
解要使?
1?
4x2?
3
?
0.01,只|x|?
?
3?
397,x?
.0.01
5.证明函数f(x)?
|x|当x?
0时极限为零.
x|x|
6.求f(x)?
?
(x)?
当x?
0时的左﹑右极限,并说明它们在x?
0时的极限是否存在.
xx
证明因为
x
limf(x)?
lim?
lim1?
1,
x?
0?
x?
0?
xx?
0?
x
limf(x)?
lim?
lim1?
1,
x?
0?
x?
0?
xx?
0?
limf(x)?
limf(x),?
?
x?
0
x?
0
所以极限limf(x)存在.
x?
0
因为
lim?
(x)?
lim?
?
x?
0
x?
0
|x|?
x
?
lim?
?
1,?
x?
0xx|x|x?
lim?
1,xx?
0?
x
lim?
(x)?
lim?
?
x?
0
x?
0
lim?
(x)?
lim?
(x),?
?
x?
0
x?
0
所以极限lim?
(x)不存在.
x?
0
7.证明:
若x?
?
?
及x?
?
?
时,函数f(x)的极限都存在且都等于a,则limf(x)?
a.
x?
?
证明因为limf(x)?
a,limf(x)?
a,所以?
?
>0,
x?
?
?
x?
?
?
?
x1?
0,使当x?
?
x1时,有|f(x)?
a|?
?
;?
x2?
0,使当x?
x2时,有|f(x)?
a|?
?
.
取x?
max{x1,x2},则当|x|?
x时,有|f(x)?
a|?
?
即limf(x)?
a.
x?
?
8.根据极限的定义证明:
函数f(x)当x?
x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明先证明必要性.设f(x)?
a(x?
x0),则?
?
>0,?
?
?
0,使当0<|x?
x0|<?
时,有
|f(x)?
a|<?
.
因此当x0?
?
<x<x0和x0<x<x0?
?
时都有
|f(x)?
a|<?
.
这说明f(x)当x?
x0时左右极限都存在并且都等于a.再证明充分性.设f(x0?
0)?
f(x0?
0)?
a,则?
?
>0,?
?
1>0,使当x0?
?
1<x<x0时,有|f(x)?
a<?
;?
?
2>0,使当x0<x<x0+?
2时,有|f(x)?
a|<?
.
取?
?
min{?
1,?
2},则当0<|x?
x0|<?
时,有x0?
?
1<x<x0及x0<x<x0+?
2,从而有
|f(x)?
a|<?
即f(x)?
a(x?
x0).
9.试给出x?
?
时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.
解x?
?
时函数极限的局部有界性的定理?
如果f(x)当x?
?
时的极限存在?
则存在x?
0及m?
0?
使当|x|?
x时?
|f(x)|?
m?
证明设f(x)?
a(x?
?
)?
则对于?
?
1?
?
x?
0?
当|x|?
x时?
有|f(x)?
a|?
?
?
1?
所以|f(x)|?
|f(x)?
a?
a|?
|f(x)?
a|?
|a|?
1?
|a|?
这就是说存在x?
0及m?
0?
使当|x|?
x时?
|f(x)|?
m?
其中m?
1?
|a|?