四川高考文科数学试题和答案详解.docx
《四川高考文科数学试题和答案详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川高考文科数学试题和答案详解.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
2015年四川高考数学文科卷详细解答
绝密★启封并使用完毕前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文史类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分l50
分。
考试时间l20分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：
本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合，集合，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【解析】∵，，，选A.
2.设向量与向量共线，则实数
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】由共线向量，的坐标运算可知，
即，选B.
3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
（A）抽签法（B）系统抽样法
（C）分层抽样法（D）随机数法
【答案】C
【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以选择分层抽样法。
4.设，为正实数，则“”是“”的
（A）充要条件（B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由已知当时，∴，“”是“”的充分条件。
反过来由，可得，∴“”是“”的必要条件，综上，“”是“”的充要条件，选A.
5.下列函数中，最小正周期为的奇函数是
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
A.,可知其满足题意;
B.,可知其最小正周期为，偶函数;
C.,最小正周期为，非奇非偶函数;
D.,可知其最小正周期为，非奇非偶函数.选A
6.执行如图所示的程序框图，输出S的值是
（A）（B）（C）-（D）
【答案】D
【解析】易得当k=1,2,3,4时执行的是否，当k=5时就执行是的步骤，
所以，选D.
7.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则
（A）（B）（C）6（D）
【答案】D
【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为，且右焦点，则直线与两条渐近线的交点分别为，，∴,选D.
8.某食品的保鲜时间（单位：
小时）与储藏温度（单位：
）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）。
若该食品在的保鲜时间是192小时，在23的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是
（A）16小时（B）20小时（C）24小时（D）21小时
【答案】C
【解析】
，，∴，
∴当时，，∴,选C.
9.设实数满足，则的最大值为
（A）（B）（C）12（D）14
【答案】A
【解析】由第一个条件得：
。
于是，，当且仅当时取到最大值。
经验证，在可行域内，选.
10.设直线与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线恰有4条，则的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】
设，，，则
两式相减，得：
，当直线的斜率不存在时，显然符合条件的直线有两条。
当直线的斜率存在时，可得：
，又∵
，∴，∴
由于M在抛物线的内部，∴，
∴，∴，
因此，，选D.
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。
作图可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试卷、草稿纸上无效。
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设是虚数单位，则复数_________.
【答案】
【解析】由题意可知：
12.的值是________.
【答案】
【解析】
13..已知，则的值是________.
【答案】-1
【解析】由已知得，，
∴
14.三棱柱中，，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是，，的中点，则三棱锥的体积是_______.
【答案】
【解析】采用等积法，
15.已知函数，（其中）。
对于不相等的实数，，设，，现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数，，都有；
（2）对于任意的及任意不相等的实数，，都有；
（3）对于任意的，存在不相等的实数，，使得；
（4）对于任意的，存在不相等的实数，，使得。
其中的真命题有_________________（写出所有真命题的序号）。
【答案】
（1）（4）
【解析】
（1）设，,∵函数是增函数，∴，，则=>0,所以正确；
（2）设，则，∴
不妨我们设，则，矛盾，所以
（2）错。
（3）∵，由
（1）
（2）可得：
，化简得到，
，也即，令，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，。
则，显然当时，恒成立，即单调递增，最多与x轴有一个交点，不满足题意，所以错误。
（4）同理可得，设，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，，从而不是恒为单调函数。
，恒成立，∴单调递增，又∵时，，时，。
所以为先减后增的函数，满足要求，所以正确。
三、简答题：
本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
设数列的前项和，且，，成等差数列。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和，求。
【解答】：
（Ⅰ）当时有，
则，（），∴数列是以为首项，2为公比的等比数列。
又由题意得，，∴，∴
（Ⅱ）由题意得，∴
17.（本小题满分12分）
一个小客车有5个座位，其座位号为，乘客的座位号为，他们按照座位号顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：
如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。
如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（I）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。
下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）
乘客
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
（II）若乘客坐到了2号座位，其，他乘客按规则就坐，求乘客坐到5号座位的概率。
【解答】
（Ⅰ）当乘客坐在3号位置上，此时的位置没有被占，只能坐在2位置，位置被占，可选剩下的任何，即可选1、4、5:
①当选1位置，位置没被占，只能选4位置，选剩下的，只有一种情况；②当选4位置，可选5位置也可选1位置，选剩下的，有两种情况；③当选5位置，只可选4位置选剩下的，有一种情况；
乘客
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
（Ⅱ）这个问情况比较复杂，需要列表解答，当坐2位置时，位置被占，可选剩下的座位，下表列出了所有可能
乘客
座位号
2
1
3
4
5
2
3
4
5
1
2
3
4
1
5
2
3
1
4
5
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
综上，共有8种情况，坐在5位置上的情况有4种，所求概率为
18.（本小题满分分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（II）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；
（III）证明：
平面
。
【解答】
（I）如答图1所示
答图1答图2答图3
（II）如答图2所示，连接，易得四边形和四边形为，所以，，又∵平面，且平面，∴平面，平面，又∵平面，且，所以平面平面
（III）如答图3所示，易得，∴平面,
得∵平面，∴，同理可得，，又，
∴平面。
19.（本小题满分12分）
已知为的内角，是关于的方程的两实根.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求的值.
【解答】
（Ⅰ）是关于的方程的两个根可得：
，，所以，则，由三角形内角和为可知，.
（Ⅱ）在中，由正弦定理可得，求得，则.又，由三角形内角和为及诱导公式可知，解得，将代入，解得.
20.（本小题满分13分）
如图，椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。
（Ⅰ）球椭圆的方程；
x
y
O
B
A
P
（Ⅱ）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。
是否存在常数，使得为定值？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
【解答】
（Ⅰ）由知，，解得，
又∵由离心率是得到；
∴椭圆E的方程为：
。
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设AB的解析式为，，
联立：
，显然，由韦达定理可知，，，
∴，
这里，与的取值无关，∴，即。
此时，
当直线AB的斜率不存在时，AB就是CD，
那么
∴
综上，存在常数，使得为定值。
21.已知函数，其中，设是的导函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：
存在，使得恒成立，且在区间（1，）内有唯一解。
【解答】：
（Ⅰ）∵，∴求导可得，
，即
∴恒成立，∴在其定义域上单调递增。
（Ⅱ）∵，∴由（Ⅰ）可知在（1，）内单调递增。
又时，，
当时，显然。
而在（1，）是单调递增的，因此在
（1，）内必定存在唯一的使得……………..①。
∴当时，，当时，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴。
由已知条件在区间内有唯一解，∴必有。
即…………………….②，
由①式得到带入②式化简得：
，即，
令，，恒成立，∴为减函数，
∵，∴在内有零点，即时，有解，此时为增函数，且，
即。
∴存在，使得恒成立，且在区间（1，）内有唯一解。
By：
KingsleeQMJY杰少
第13页
升级会员 