人教版五年级数学下册知识点.docx

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人教版五年级数学下册知识点

人教版五年级数学下册知识点

第一单元图形的变换

1、轴对称图形：

把一个图形沿着一条直线折叠后，两边的图形可以完全重合，那么这样的图形叫做轴对称图形，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

对称轴：

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

如下图所示：

2.轴对称图形的性质：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点。

轴对称和轴对称图形的特性是相同的，①对应点到对称轴的距离相等；②对应点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。

对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。

平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。

3.轴对称的性质：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

这样我们就得到了以下性质：

（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（3）线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。

（4）对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

4.轴对称图形的作用：

（1）可以通过对称轴的一边从而画出另一边；

（2）可以通过画对称轴得出的两个图形全等。

5、旋转要明确绕点，角度和方向。

（物体旋转时应抓住三点：

①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。

）

6、图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。

（1）平移：

物体或图形平移后本身的形状、大小和方向都不会改变。

（2）旋转：

旋转只改变物体的位置（旋转中心位置不会变），不改变物体的形状、大小。

7、等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。

第二单元因数和倍数

1、像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数。

2、像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数是整数。

3、整数与自然数的关系：

整数包括自然数。

一、因数和倍数

所指的是整数，不包括0。

因为0和任何数相乘都等于0；0除以任何数都等于0。

1、如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。

2、因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。

二、因数

1、一个数的因数的个数是有限的。

一个数的最小因数是1，最大的因数是它本身。

2、一个数的因数的求法：

成对地按顺序找。

三、倍数

1、一个数的倍数的个数是无限的。

一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。

2、一个数的倍数的求法：

依次乘以自然

因数＜或=它本身、倍数＞或=它本身、最大的因数=最小的倍数=它本身

四、2、5、3的倍数的特征

1、2的倍数的特征：

个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。

2、偶数与奇数：

①自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。

最小的偶数是0。

②不是2的倍数的数叫做奇数，就是个位上是1、3、5、7、9的数。

最小的奇数是1。

自然数分成偶数和奇数。

3、5的倍数的特征：

个位上是0或5的数，都是5的倍数。

个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。

4、3的倍数的特征：

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

同时满足2.3.5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。

既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是120。

五、质数和合数

1、质数：

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），最小的质数是2。

2、合数：

一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数（至少3个因数），最小的合数是4。

3、1既不是质数，也不是合数。

4、质数只有两个因数；而合数至少有三个因数。

六、

1、按2的倍数来分：

自然数分为奇数和偶数两类；

按因数的个数来分：

分为质数、合数、1和0四类。

2、奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数

奇数-奇数=偶数偶数-偶数=偶数奇数-偶数=奇数

奇数X奇数=奇数质数X质数=合数

3、100以内的质数表：

（共25个）

2、3、5、7

11、13、17、19

23、29

31、37

41、43、47

53、59

61、67

71、73、79

83、89

97

100以内找质数、合数的技巧：

看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

第三单元长方体和正方体

一、长方体和正方体的认识

1、长方体和正方体都是立体图形。

正方体也叫立方体。

2、长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

（长、宽、高都各有4条，分别平行并且相等）

3、长方体的特征：

①面：

有6个面，都是长方形（特殊情况下最多有两个相对的面是正方形）。

在一个长方体中，相对的面完全相同。

②棱：

有12条棱。

相对的棱长度相等。

③顶点：

有8个顶点。

4、正方体的特征：

①面：

有6个面都是正方形，6个面完全相同。

②棱：

有12条棱。

12条棱的长度相等。

③顶点：

有8个顶点。

相同点

不同点

面

棱

长方体

都有6个面，

12条棱，

8个顶点。

6个面都是长方形

（有可能有两个相对的面是正方形）。

相对的棱的长度都相等

正方体

6个面都是正方形。

12条棱的长度都相等

5、正方体是特殊的长方体。

6、长方体的棱长总和：

（1）（长+宽+高）×4用字母表示：

L=abh×4

（2）长×4+宽×4+高×4

长=棱长总和÷4-宽-高用字母表示：

a=L÷4-b-h

宽=棱长总和÷4-长-高用字母表示：

b=L÷4-a-h

高=棱长总和÷4-长-宽用字母表示：

h=L÷4-a-b

7、正方体的棱长总和=棱长×12用字母表示：

L=a×12

正方体的棱长=棱长总和÷12用字母表示：

a=L÷12

8、至少要8个小正方体才能拼成一个稍大的正方体。

二、长方体和正方体的表面积

1、表面积：

长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积

2、长方体的表面积：

①长方体有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6个面。

②长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2

用字母表示：

S=（ab＋ah＋bh）×2

③特殊长方体的表面积（有两个面是正方形）正方形的两个面完全相同，其余四个面完全相同。

无底或无盖长方体表面积=长×宽+（长×高+宽×高）×2

用字母表示：

S=2（ab+ah+bh）-abS=2（ah+bh）+ab

无底又无盖长方体表面积=（长×高+宽×高）×2用字母表示S=2（ah+bh）

3、正方体的表面积

正方体的表面积=棱长×棱长×6用字母表示：

S=6XaXa

4、表面积的常用单位有：

平方米、平方分米、平方厘米

相邻两个面积单位之间的进率是100。

5、生活实际

油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。

6、长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表面积。

7、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。

三、长方体和正方体的体积

1、体积：

物体所占空间的大小叫做物体的体积。

（就是看物体含有多少个体积单位）

2、常用的体积单位有：

立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3）

①棱长是1cm的正方体，体积是1cm3

②棱长是1dm的正方体，体积是1dm3

③棱长是1m的正方体，体积是1m3相邻两个体积单位之间的进率是1000

1dm³=1000cm³1m³=1000dm³

3、长方体的体积

长方体的体积=长×宽×高用字母表示：

V=abh

长=体积÷宽÷高用字母表示：

a=V÷b÷h

宽=体积÷长÷高用字母表示：

b=V÷a÷h

高=体积÷长÷宽用字母表示：

h=V÷a÷b

4、正方体的体积

正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示：

V=a³（读作：

a的立方，表示3个a相乘）

5、底面积：

长方体或正方体底面的面积叫做底面积

6、长方体和正方体的体积统一公式：

长方体或正方体的体积=底面积×高用字母表示：

V=Sh（横截面积相当于底面积，长相当于高）。

7、容积：

箱子、油桶、仓库等容器所能容纳物体的体积，叫做它的容积。

8、容积单位有：

固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升（L）、毫升（ml）1L=1000ml

9、容积单位和体积单位的关系：

1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米

1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升

1立方厘米=1毫升

1平方米=100平方分米=10000平方厘米

1平方千米=100公顷=1000000平方米

10、容积的计算：

长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。

（对于同一个物体，体积大于容积）。

11、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。

12、形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。

被浸没物体的体积等于上升那部分水的体积

排水法的公式：

V物体=V现在－V原来（放入物体后的体积—原来水的体积）

V物体=S×（h现在-h原来）

V物体=S×h升高（容器的底面积×上升那部分水的高度。

）

13、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

第四单元分数的意义和性质

一个物体、一个计量单位或者一些物体都可以看作一个整体，也就是单位“1”。

一、分数的意义

1、分数的意义：

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

2、分数单位：

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。

3、分数与除法的关系：

除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。

被除数÷除数==分子÷分母（除数不能为0，分母也不能够为0））

4、分数未带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一个具体的数量

二、真分数和假分数

1、真分数和假分数：

①分子比分母小的分数叫做真分数，真分数<1。

②分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数≥1。

③由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。

带分数＞1。

真分数＜1≤假分数真分数＜1＜带分数

2、假分数与带分数的互化：

①把假分数化成带分数，用分子除以分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母是原来的分母。

如：

=14÷3=4……2，分子除以分母商是4作带分数的整数部分，余数是2作分数部分的分子，分母是原来的分母3，所以

=14÷3=

。

所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。

②把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。

③当分子一定是分母的倍数时，假分数可以化成整数：

用分子除以分母。

如：

的分子是14，分母是7，14是7的倍数，所以

=14÷7=2。

三、分数的基本性质

1、分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质

四、约分

1、最大公因数：

几个数共有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。

2、两个数的公因数和它们最大公因数之间的关系：

所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。

3、互质数：

公因数只有1的两个数叫做互质数。

两个质数的互质数5和7

两个合数的互质数8和9

一质一合的互质数7和8

4、两个数互质的特殊判断方法：

①1和任何大于1的自然数互质。

②2和任何奇数都是互质数。

③相邻的两个自然数是互质数。

④相邻的两个奇数互质。

⑤不相同的两个质数互质。

⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数

5、求最大公因数的方法：

①倍数关系：

最大公因数就是较小数。

②互质关系：

最大公因数就是1

③一般关系：

从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。

6、最简分数：

分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。

7、约分：

①把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

（并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止。

）

②约分可以一次性约分（用最大公因数分别去除分子、分母）。

也可以逐步约分（用公因数分别去除分子、分母）。

五、通分

1、最小公倍数：

几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。

2、两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间的关系：

几个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数。

3、通分：

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

（通分时，公分母一般为几个数的最小公倍数）。

4、求最小公倍数的方法：

①倍数关系：

一个数是另一个数的倍数，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。

如：

32是8的倍数，它们的最大公因数是8，最小公倍数是32。

②互质关系：

两个连续的自然数只有公因数1，它们的最大公因数是1，最小公倍数就是它们的乘积。

如：

3和4是两个连续的自然数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是3×4=12。

两个不同的质数只有公因数1，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个质数的积。

如：

5和7是两个不同的质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是35。

③一般关系：

大数翻倍（从小到大看较大数的倍数是否是较小数的倍数）

5、分数的大小比较：

①同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；

②同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。

③异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。

6、约分和通分的依据都是分数的基本性质。

六、分数和小数的互化：

1、小数化分数：

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……，去掉小数点作分子，能约分的必须约成最简分数；

2、分数化小数：

①利用分数的基本性质将分母化成整十整百…的分数

②利用分数与除法的关系，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。

一般保留两位小数。

3、判断分数是否能化成有限小数的方法：

①判断分数是否是最简分数；如果不是最简分数，先把它化成最简分数；

②把分数的分母分解质因数:

如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

4、

第五单分数的加法和减法

一、同分母分数加、减法

1、同分母分数加、减法：

同分母分数相加、减，分母不变，分子相加减。

2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。

二、异分母分数加、减法

1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。

2、异分母分数的加减法：

异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。

三、分数加减混合运算

1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。

在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。

2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。

3、、带分数加减法:

带分数相加减整数部分和分数部分分别相加减再把所得的结果合并起来。

第六单元统计

1、众数：

一组数据中出现次数最多的数，就是这组数据的众数。

众数能够反映一组数据的集中情况。

它一定是这组数据中的某一个数。

2、在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。

3、平均数、中位数和众数的联系与区别:

①平均数：

一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。

②中位数：

1、按大小排列

2、如果数据的个数是单数那么最中间的那个数就是中位数

3、如果数据的个数是双数那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。

它不受偏大或偏小数据的影响，表示一组数据的一般情况。

③众数：

在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

它不受极端数据的影响，表示一组数据的集中情况。

4、一组数据的一般水平

①当一组数据中没有偏大偏小的数也没有个别数据多次出现用平均数表示一般水平。

②当一组数据中有偏大或偏小的数时用中位数来表示一般水平。

③当一组数据中有个别数据多次出现就用众数来表示一般水平

5、统计图

条形统计图可以表示数量的多少。

折线统计图分为：

单式折线统计图和复式折线统计图。

不仅可以表示数量的多少，还可以表示数量增减变化的趋势，便于比较。

①画图时注意：

一“点”（描点）、二“连”（连线）三“标”（标数据）

②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。

5、打电话

已知人数依次×2

第七单元数学广角（找次品）

1、优化策略：

把物品平均分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。

2、数目与测试的次数的关系2～3个物体保证能找出次品需要测的次数是1次4～9个物体保证能找出次品需要测的次数是2次10～27个物体保证能找出次品需要测的次数是3次28～81个物体保证能找出次品需要测的次数是4次82～243个物体保证能找出次品需要测的次数是5次244～729个物体保证能找出次品需要测的次数是6次

3、找次品规律。

12345…

33×33×3×33×3×3×33×3×3×3×3…

392781243…