【答案】B。
【考点】三角形三边关系。
【分析】根据三角形的三边关系：
第三边＞两边之差4，＜两边之和10，根据a＜b＜c即可得c的取值范围：
答：
根据三角形三边关系可得4＜c＜10，
∵a＜b＜c，∴7＜c＜10。
故选B。
3.如图，直线l1//l2，AF：
FB=2：
3，BC：
CD=2：
1，则AE：
EC是【度002____________________________________________________________________________________________________________________________】
A、5：
2B、4：
1
C、2：
1D、3：
2
【答案】C。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】如图所示，∵AF：
FB=2：
3，BC：
CD=2：
1，
∴设AF=2x，BF=3x，BC=2y，CD=y。
由l1//l2，得△AGF∽△BDF，∴
，即
。
∴AG=2y。
由l1//l2，得△AGE∽△CDE，∴
。
故选C。
4.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到Ｃ处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走2米到达Ｅ处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于【度002____________________________________________________________________________________________________________________________】
Ａ．4.5米 Ｂ．6米
Ｃ．7.2米 Ｄ．8米
【答案】B。
【考点】相似三角形的应用，解二元一次方程组。
【分析】如图，设AB=x米，BC=y米，则BC=y＋1米，BF=y＋5米。
由△ABD∽△GCD和△ABF∽△HEF得
，即
，解得
。
∴路灯A的高度AB等于6米。
故选B。
5.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若S△ADE=1，则S△ABC=▲。
【答案】4。
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】根据三角形中位线定理和相似三角形的相似比求解：
∵E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是中位线。
∴DE
BC。
∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：
2。
∵S△ADE=1，∴S△ABC=4。
6.计算：
3tan30º＋cot45º－2tan45º＋2cos60º=▲.
【答案】
。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】运用特殊角的三角函数值求解：
3tan30°＋cot45°－2tan45°＋2cos60°=
。
7.如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使
△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是▲。
【答案】AB=DC或∠ACB=∠DBC。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】要使△ABC≌△DCB，已知有两对边对应相等，AC=BD，BC=BC，则可根据全等三角形的判定方法添加合适的条件即可：
可添加AB=DC利用SSS判定△ABC≌△DCB；可添加∠ACB=∠DBC利用SAS判定△ABC≌△DCB。
8.在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为▲．
【答案】7。
【考点】三角形的中线定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理。
【分析】根据条件先确定△ABC为直角三角形，再求得△ABC的面积：
如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，
∵CD=3，AB=6，∴AD=DB=3，∴CD=AD=DB。
∴∠1=∠2，∠3=∠4。
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°。
∴△ABC是直角三角形。
∴AC2＋BC2=AB2=36。
又∵AC＋BC=8，∴AC2＋2AC•BC＋BC2=64。
∴2AC•BC=64－（AC2＋BC2）=64－36=28。
∴AC•BC=14。
S△ABC=
AC•BC=
×14=7。
9.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测
到灯塔M在北偏东60º方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东
30º方向上，那么该船继续航行▲分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置
【答案】15。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），垂直线段的性质，平行的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。
【分析】过点M作MC⊥AB于点C，由垂直线段的性质，知渔船到达离灯塔距离最近的位置即为点C。
由两直线平行，内错角相等的性质，得∠ADB=60º，从而由∠DBM=30º和三角形外角定理，得∠DMB=∠DBM=30º。
因此根据等腰三角形等角对等边的判定，得AB=MB。
设渔船航行的速度为v单位/分钟，则由已知MB=AB=30v单位。
在Rt△BCM中，∠MCB=90º，∠MBC=30º，则BC=
MB=15v单位。
则渔船从B处航行到C处所用时间为
=15分钟。
即该船继续航行15分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
10.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔
海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东300方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为▲海里（结果保留根号）．
【答案】40+
。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），平行的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】由平行的性质和等腰直角三角形的判定，知△APC为等腰直角三角形，由AP=
，根据勾股定理，得AC=PC=40；
由平行的性质，得∠B=300，由锐角三角函数定义，得CB=
。
因此，AB=AC+CB=40+
（海里）。
11.如图，已知△ABC，∠ACB=90º，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45º，
（1）求证：
△ACF∽△BEC（8分）
（2）设△ABC的面积为S，求证：
AF·BE=2S（4分）
（3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明．
【答案】解：
（1）证明：
∵AC=BC，∠ECF=45°∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，∠AFC=45°+∠BCF，∠ECB=45°+∠BCF。
∴∠AFC=∠ECB。
∴△ACF∽△BEC。
（2）∵△ACF∽△BEC，∴
，即AF•BE=AC•BC。
又∵S△ABC=
AC•BC，∴AF•BE=2S。
（3）直角三角形。
证明如下：
由
（2）可知AF•BE=AC•BC=AC2=
AB2。
设AE=a，BF=b，EF=c．
则（a+c）（b+c）=
（a+b+c）2，化简即得a2+b2=c2。
所以以线段AE、EF、FB为边的三角形是以线段EF为斜边的直角三角形。
【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。
【分析】
（1）对应角相等，两三角形相似。
（2）根据相似三角形的性质证明AF•BE=AC•BC=2S；
（3）由
（2）的结论，求出AE、EF、FB的数量关系，应用勾股定理的逆定理即可证明。
本题还有以下证明方法：
方法1：
将△ACE绕O顺时针旋转90°到△CBG，边角边证明三角形全等，得出FG=EF，再证明△FBG为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。
方法2：
将△ACE和△BCF分别以CE、CF所在直线为轴折叠，则AC、BC的对应边正好重合与一条线段CG，连接GE、GF，则△FEG是直角三角形。
12.大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得踏顶B处的仰角为60º，爬
到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30º，求塔BC的高度。
【答案】解：
作BE⊥AD的延长线于点E，
设ED=x，
在Rt△BDE中，BE=
DE=
，
在Rt△ABE中，AE=
BE=3x，
由AE－ED=AD得：
3x－x=10，解之得：
x=5。
所以BC=5+10=15。
答：
塔BC的高度为15米。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。
【分析】过点B作BE⊥AD交AD延长线于点E，构造两个直角三角形。
设DE=x，分别求解可得AD与DE的值，再利用BC=AD+DE，即可求出答案。
13.如图，某货船以
海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东
的方向上．该货船航行
分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东
的方向上，已知在C岛周围
海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？
试说明理由．
【答案】解：
如图，在Rt△ABP中，
AB=24×0.5=12，∠BAP=900－600=300，
AP=
，BP=
。
易求，∠PCB=∠PBC=300，∴PC=BP=
，AC=
。
过点C作CQ⊥AM于点Q，则CQ=
。
∵
，∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，等腰三角形的判定。
【分析】应用锐角三角函数求出点C到直线AM的距离，与
海里比较即可。
14.如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:
，AC＝10米．坡
顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆
BC的高度．
【答案】解：
延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．
在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比为1︰
可知：
∠CAE＝30°，
∴CE＝AC·sin30°＝10×
＝5，
AE＝AC·cos30°＝10×
＝
。
在Rt△ABE中，BE＝
＝
＝11。
∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）。
答：
旗杆的高度为6米。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求旗杆BC的高度，只要求出BE和CE的高度即可。
解Rt△AEC和Rt△AB即可得出结果。
15.阅读下列材料：
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．数学老师给小明出了一道题目：
在图一1正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使AB＝AC＝
，BC＝
；
小明同学的做法是：
由勾股定理，得AB＝AC＝
，BC
，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC．
（1）请你参考小明同学的做法，在图一2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△A'B'C'（A'点位置如图所示），使A'B'＝A'C'＝5，B'C'＝
（直接画出图形，不写过程）；
（2）观察△ABC与△A'B'C'的形状，猜想∠BAC与∠B'A'C'有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】解：
（1）格点△A'B'C'如图（一个即可）：
（2）猜想：
∠BAC=∠B'A'C'。
证明如下：
∵
，
。
∴
。
∴△ABC∽△A'B'C'。
∴∠BAC=∠B'A'C'。
【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】
（1）由勾股定理可作图形。
（2）由三边对应成比例的判定可得△ABC∽△A'B'C'，从而根据相似三角形对应角相等的性质即可得到∠BAC=∠B'A'C'。
16.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连结
DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则
的值是_____.
【答案】
。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】根据题意易证△OBE∽△DBC和△EPF∽△ED，利用相
似三角形的相似比求解：
∵OB=BD，OE⊥BC，CD⊥BC，∴△OBE∽△DBC。
∴
。
∵OE∥CD，∴△OEP∽△CDP。
∴
。
∵PF∥DC，∴△EPF∽△EDC。
∴
。
∵CE=
BC，∴
。
17.13．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为▲．
【答案】
。
【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】作GH⊥AE于点H，则有AE=EF=HG=4，AH=2，
由勾股定理，得AG=
。
∵∠BAE+∠AEB=90°=∠FEC+∠AEB，∴∠BAE=∠FEC。
又∵∠B=∠C=90°，AE=EF，∴△ABE≌△ECF（AAS）。
∴AB=CE。
设AB=CE=
，BE=
，
∵∠BAE+∠AEB=90°=∠BAE+∠GAH，∴∠AEB=∠GAH。
又∵∠B=∠AHG=90°，∴△ABE∽△GHA。
∴
，即
。
解得，
，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（
＋
＋
）=
。
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