数学史题目及一些资料.docx
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数学史题目及一些资料
一、单项选择题（每小题2分，共26分）
1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是（）B.祖冲之
2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是（）C.朱世杰
4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是（）D.《周髀算经》
5．发现著名公式eiθ=cosθ+isinθ的是（）D.欧拉
6．中国古典数学发展的顶峰时期是（）D.宋元时期
7．最早使用“函数”（function）这一术语的数学家是（）。
A.莱布尼茨
9．古埃及的数学知识常常记载在（）。
A.纸草书上
10．大数学家欧拉出生于（）A.瑞士
11．首先获得四次方程一般解法的数学家是（）D.费拉利
12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（）D.开方术
13．最早采用位值制记数的国家或民族是（）。
A.美索不达米亚
二、填空题（每空1分，共28分）
14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：
相容性、_____、_____。
15．在现存的中国古代数学著作中，_____是最早的一部。
卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了_____的一般形式。
16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为_____三角，而数学史学者常常称它为_____三角。
17．欧几里得《几何原本》全书共分13卷，包括有_____条公理、_____条公设。
18．两千年来有关_____的争议，导致了非欧几何的诞生。
19．阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了_____方程的一般解法，并用_____方法对这一解法给出了证明。
20．在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽，如开普勒的旋转体体积计算、巴罗的_____以及瓦里士的_____等。
21．创造并最先使用εδ语言的数学家是_____。
22．数学家们为研究古希腊三大尺规作图难题花费了两千年的时间，1882年德国数学家林德曼证明了数的超越性。
23．罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点，_____直线与已知直线平行，而且在该几何体系中，三角形内角和_____两直角。
24．被称为“现代分析之父”的数学家是_____，被称为“数学之王”的数学家是_____。
25．第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家_____于1642年发明的。
26．1900年，德国数学家_____在巴黎国际数学家大会上提出了_____个尚未解决的数学问题，在整个二十世纪，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。
27．首先将三次方程一般解法公开的是意大利数学家_____，首先获得四次方程一般解法的数学家是_____。
28．欧氏几何、罗巴契夫斯基几何都是三维空间中黎曼几何的特例，其中_____对应的情形是曲率恒等于零，_____对应的情形是曲率为负常数。
29．中国历史上最早叙述勾股定理的著作是_____，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的_____。
三、简答题（29-31题每题6分，32-35题每题7分,共46分）
30．简述莱布尼茨生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。
31．写出数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点。
32．简述刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。
33．在牛顿和莱布尼茨之前有许多数学家曾对微积分的创立作出过重要贡献，请列举其中的两位，并指出他们的主要贡献。
34．《周髀算经》（作者，成书年代，主要成就）
35．罗巴切夫斯基的非欧几何。
36．简述控制论的建立和发展过程。
参考答案:
一、单项选择题1.B2.C3.A4.D5.D6.D7.A8.B9.A10.A11.D12.D13.A
二．填空题14.完备性，独立性15.周髀算经，勾股定理16.杨辉，贾宪，518.欧几里得几何原本第五公设19.一次和二次，几何20.微分三角形方法，曲线弧长的计算21.维尔斯特拉斯22.23.至少有两条，小于24.柯西，高斯25.帕斯卡26.希尔伯特，2327.卡当，费拉利28.欧氏几何，罗巴契夫斯基几何29.九章算术，赵爽
三、简答题30．莱布尼茨于1646年出生在德国的莱比锡，其主要数学成就有：
从数列的阶差入手发明了微积分；论述了积分与微分的互逆关系；引入积分符号；首次引进“函数”一词；发明了二进位制，开始构造符号语言，在历史上最早提出了数理逻辑的思想。
31．一，逻辑主义学派，代表人物是罗素和怀特黑德，主要观点是：
数学仅仅是逻辑的一部分，全部数学可以由逻辑推导出来。
二，形式主义学派，代表人物是希尔伯特，主要观点是：
将数学看成是形式系统的科学，它处理的对象不必赋予具体意义的符号。
三，直觉主义学派，代表人物是布劳维尔，主要观点是：
数学不同于数学语言，数学是一种思维中的非语言的活动，在这种活动中更重要的是内省式构造，而不是公理和命题。
32．刘徽生活在三国时代；代表著作有《九章算术注》；主要成就：
算术上给出了系统的分数算法、各种比例算法、求最大公约数的方法，代数上有方程术、正负数加减法则的建立和开平方或开立方方法；在几何上有割圆术及徽率。
33．花拉子米是九世纪阿拉伯数学家，代表著作有：
《代数学》和《印度的计算术》；主要贡献有：
提出“还原”与“对消”的解方程的基本变形法则；给出了一次和二次方程的一般解法，用几何方法给出证明；给出了四则运算的定义和法则。
34．该书出版于东汉末年和三国时代，但从史上考证应成书于公元前240年至公元前156年之间，可能是北汉平侯张苍修订和补写而成；书中记载的数学知识主要有：
分数运算、等差数列公式及一次内插公式和勾股定理在中国早期发展的情况。
35．罗巴切夫斯基于1825年完成专著《平行线理论和几何原理概论及证明》标志着非欧几何的诞生，该理论是对几何原理中第五公设的研究提出命题“过直线外一点与已知直线平行的直线至少有两条”，并进行严格逻辑推理，得出的几何理论。
36．控制论是解决通信中的“滤波问题”和战争中“预报问题”而发展起来的应用数学。
二战中美国数学家维纳受命设计高射炮控制系统，他发现滤波和预报这两类问题可以用统计的观点给出统一处理，并与生理学家、电工学家、逻辑学家探讨，逐步形成了系统的控制理论。
1948年，他发表了《控制论》宣告了经典控制论的诞生。
20世纪60年代以后，逐渐形成了研究系统调节与控制的现代控制论。
一、单项选择题（每小题2分，共26分）
1．世界上讲述方程最早的著作是（）A.中国的《九章算术》
3．美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族，他们主要用的是（）。
A.六十进制
4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著（）。
B.《墨经》
5．下列数学著作中不属于“算经十书”的是（）。
A.《数书九章》
6．微积分诞生于（）。
C.17世纪
7．以“万物皆数”
8．最早记载勾股定理的我国古代名著是（A）。
A.《九章算术》
9．首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是（）。
A.中国
10．在《几何原本》所建立的几何体系中，“整体大于部分”是（）。
D.公理
11．刘徽首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算得的“徽率”是（）。
B.3.14
13．祖冲之的代表作是（）C.《缀术》
二、填空题（每空1分，共26分）
14．《九章算术》内容丰富，全书共有_____章，大约有_____个问题。
15．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是_____。
16．亚力山大晚期一位重要的数学家_____，他唯一的传世之作《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作。
17．古希腊亚历山大时期的数学家在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，其著作_____代表了希腊演绎几何的最高成就。
18．发现不可公度量的是古希腊学派，该发现导致了数学史上的第_____次数学危机。
19．我国的数学教育有悠久的历史，_____代开始在国子寺里设立“算学”，代则在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”。
20．《几何基础》的作者是_____，该书所提出的公理系统包括_____组公理。
21．用“分割法”建立实数理论的数学家是_____，该理论建立于_____世纪。
22．费马大定理证明的最后一步是英国数学家_____于1994年完成的，他因此于1996年获得了_____奖。
23．“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家_____首先明确提出的，这一原理在西方文献中被称作_____原理。
24．创造并首先使用“阿拉伯数码”的国家或民族是_____，而首先使用十进位值制记数的国家或民族则是_____。
25．哥德巴赫猜想是_____国数学家哥德巴赫于18世纪在给数学家_____的一封信中首次提出的。
26．阿基米德通常用_____法发现求积公式，然后用_____法进行严格的证明。
27．古希腊的三大著名几何问题是_____、_____和三等分角。
三、简答题（28题6分，29-34各7分，共48分）
28．简述阿基米德的生活时代、代表著作以及在数学上的主要成就。
29．朱世杰（什么朝代、什么地方的人、代表著作和数学创造）。
30．简述《九章算术》的主要内容及在中国数学史上的意义。
31．简述笛卡儿的生活年代、所在国家、代表著作以及在数学上的主要成就。
32．简述运筹学的建立和发展过程。
33．花拉子米（什么时代、什么地方的数学家、代表著作和重要贡献）。
34．简述费马大定理的内容、发现过程以及证明的状况。
参考答案:
3.C
二．填空题14.九，24615.祖冲之16.帕波斯17.阿波罗尼兹，圆锥曲线18.毕德哥拉斯，一19.隋唐，唐至五代20.希尔伯特，五21.戴德金，1922.怀尔斯，沃尔夫23.刘徽，卡瓦列利24.印度，中国25.德，欧拉26.平衡，穷竭27.化圆为方，倍立方
三、简答题
28．答：
阿基米德生活在古希腊亚历山大前期，代表著作有：
《论球与圆柱》，《圆的度量》，《劈锥曲面与回转椭圆体》，《论螺线》，《平面图形》，《数沙器》，《抛物线图形求积法》等，阿基米德的主要成就有：
用力学方法求出球体积，抛物或弓形的面积，托球体、抛物或旋转体截体和球缺体积；用穷竭法求出圆面积和一系列曲边形面积与体积；得到的近似值为22/7。
29．答：
朱世杰是13世纪至14世纪元代数学家，燕山人。
代表著作是《四元玉鉴》，其主要数学成就是求解方程的四元术、高阶等差数列研究及其在内插法上的应用。
30．答：
《九章算术》是我国古代的一本传世数学名著，一直作为我国传统数学的代表作。
《九章算术》是以应用问题集的形式表述的，一共收入246个问题，分为九章，分别为方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。
标志着中国传统数学的知识体系已初步形成，对中国数学的发展的历史作用如同《几何原本》对西方数学影响一样。
31．答：
笛卡尔（1596-1650）出生于法国的拉哈耶。
主要著作有《方法论》其中包括：
《折光学》、《大气现象》和《几何学》。
主要成就有：
开创性地用代数方法研究几何问题，把代数方程和曲线、曲面联系起来；引出了变量和函数的概念32．答：
运筹学是运用数学方法解决生产、国防、商业和其他领域中的安排、筹划、控制、管理等有关问题的音乐数学的分支。
最早产生于二战中的英国，用以解决空防雷达信息系统与战斗机系统的协同配合问题。
不久美军也开始了类似的研究，并在战争中建有奇功。
目前运筹学已包括有数学规划论、博弈论、排队论、决策分析、图论等
33．答：
花拉子米是九世纪阿拉伯数学家，代表著作有：
《代数学》和《印度的计算术》；主要贡献有：
提出“还原”与“对消”的解方程的基本变形法则；给出了一次和二次方程的一般解法，用几何方法给出证明；给出了四则运算的定义和法则。
34．答：
费马的大定理：
该定理是费马于1637年在读古希腊数学家丢番图的《算术》一书时，给出的猜想。
1995年5月，英国数学家怀尔斯综合运用了数论、代数与几何方面近年来德重要成果和方法，在《数学年刊》发表论文“模曲线和费马最后定理”标志着该定理证明的最后完成。
1.刘徽的数学成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。
这方面集中体现在《九章算术注》中。
它实已形成为一个比较完整的理论体系：
①在数系理论方面
用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
②在筹式演算理论方面
先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
③在勾股理论方面
逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
④在面积与体积理论方面
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。
这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。
这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
①割圆术与圆周率
他在《九章算术?
圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。
他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。
②刘徽原理
在《九章算术?
阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
③“牟合方盖”说
在《九章算术?
开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16（D为球直径）的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。
“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
④方程新术
在《九章算术?
方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。
⑤重差术
在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。
他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。
而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。
刘徽是我国古代杰出的数学家，他生活在三国时代的魏国。
2.花拉子米的重要贡献
在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：
《代数学》和《印度的计算术》。
在《代数学》中，花拉子米用十分简单的例题讲述了解一次和二次方程的一般方法．他的作法实质上已经把代数学作为一门关于解方程的科学来研究，只是其研究形式与现代的不同。
3.数学史上的三次数学危机
无理数的发现 ── 第 一 次 数 学 危 机
大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：
宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！
无穷小是零吗 ？
── 第 二 次 数 学 危 机
18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出：
"牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。
"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。
无穷小量究竟是不是零？
无穷小及其分析是否合理？
由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。
导致了数学史上的第二次数学危机。
18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。
其中特别是：
没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。
从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
悖论的产生 --- 第 三 次 数 学 危 机
数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的。
到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。
这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。
两年后，康托发现了很相似的悖论。
1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化。
其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：
他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。
当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：
"理发师是否自己给自己刮脸？
"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道：
"一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。
于是终结了近12年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。
尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。
现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。
所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
4.阿基米德的数学贡献
阿基米德的数学成就在于他既继承和发扬了古希腊研究抽象数学的科学方法，又使数学的研究和实际应用联系起来。
1、阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。
在推演这些公式的过程中，他创立了“穷竭法”，类似于现代微积分中所说的逐步近似求极限的方法。
2、他是科学的研究圆周率的第一人。
他提出用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法求圆周率。
他求出了圆周率大小范围为：
223/71<π<22/7。
3、面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题。
4、提出了著名的阿基米德公理。
用现代数学语言表述，阿基米德原理指在长短不同的两条线段中，无论较长的线段怎样长，较短的线段怎样短，总可以在较长的线段上连续截取较短的线段，并且截到某一次以后，必出现下面两种情况：
1：
没有剩余；2：
得到一条短于较短线段的剩余线段。
这就是“阿基米德公理”
如：
在一条直线上截取任意两条线段A,B。
都符合A+A+A+···+A=A·N>B
作为数学家，他写出了《论球和圆柱》、《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论锥体和球体》、《沙的计算》等数学著作；作为力学家，他着有《论图形的平衡》、《论浮体》、《论杠杆》、《原理》等力学著作。
古希腊在数学史中占有不可分割的地位。
古希腊人十分重视数学和逻辑。
希腊数学的发展历史可以分为三个时期。
第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。
一、雅典时期（600B.C.-300B.C.）
这一时期始于泰勒斯（Thales）为首的伊奥尼亚学派（Ionians），其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。
稍后有毕达哥拉斯（Pythagoras）领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。
公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。
埃利亚学派的芝诺（Zeno）提出四个著名的悖论（二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题），迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。
智人学派提出几何作图的三大问题：
化圆为方、倍立方体、三等分任意角。
希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。
正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中，作出新的发现：
圆锥曲线就是最典型的例子；「化圆为方」问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。
哲学家柏拉图（Plato）在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。
欧多克斯（Eudoxus）是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比例理论。
柏拉图的学生亚里士多德（Aristotle）是形式主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。
二、亚历山大时期（300B.C.-641A.D.）
前期
这一阶段以公元前30年罗马帝国吞并
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