培训学校北师大版秋季九年级数学教案Word下载.doc
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⑶关于的一元二次方程式的项与各项的系数．
为二次项，其系数为；
为一次项，其系数为；
为常数项．
一元二次方程根的判别式的定义：
运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当时，才能直接开平方得：
．
也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．
判别式与根的关系：
在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．
判别式：
则
①方程有两个不相等的实数根．
②方程有两个相等的实数根．
③方程没有实数根．
若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；
说明:
（1）用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:
上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，;
有两个相等的实数根时，;
没有实数根时，．
（2）在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点．
一元二次方程的根的判别式的应用：
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：
（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；
（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；
（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．
如果一元二次方程（）的两根为那么，就有
比较等式两边对应项的系数，得
①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．
因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．
利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性．
在的条件下，我们有如下结论：
当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；
若，则此方程的正根小于负根的绝对值．
当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；
若，则此方程的两根均为负根．
⑴韦达定理：
如果的两根是，，则，．（隐含的条件：
）
⑵若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：
①，
②且，
③且，
特殊地：
当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．
⑶以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
⑷其他：
①若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．
②若，则方程必有实数根．
③若，方程不一定有实数根．
④若，则必有一根．
⑤若，则必有一根．
⑸韦达定理主要应用于以下几个方面：
①已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；
②已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；
③已知方程的两根，求作方程；
④结合根的判别式，讨论根的符号特征；
⑤逆用构造一元二次方程辅助解题：
当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
二.典型例题讲解及思维拓展
一、知识结构：
一元二次方程
二、考点精析
考点一、概念
（1）定义：
①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
（2）一般表达式：
⑶难点：
如何理解“未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
AB
C D
变式：
当k时，关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。
针对练习：
★1、方程的一次项系数是，常数项是。
★2、若方程是关于x的一元一次方程，
⑴求m的值；
⑵写出关于x的一元一次方程。
★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）
A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：
使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：
利用根的概念求代数式的值；
例1、已知的值为2，则的值为。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程
必有一根为。
例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，
则m的值为。
★1、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。
★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。
⑴求k的值；
⑵方程的另一个解。
★3、已知m是方程的一个根，则代数式。
★★4、已知是的根，则。
★★5、方程的一个根为（）
AB1CD
★★★6、若。
考点三、解法
⑴方法：
①直接开方法；
②因式分解法；
③配方法；
④公式法
⑵关键点：
降次
类型一、直接开方法：
※※对于，等形式均适用直接开方法
例1、解方程：
=0;
例2、若，则x的值为。
下列方程无解的是（）
A.B.C.D.
类型二、因式分解法:
※方程特点：
左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”。
※方程形式：
如，，
例1、的根为（）
ABCD
例2、若，则4x+y的值为。
变式1：
。
变式2：
若，则x+y的值为。
变式3：
若，，则x+y的值为。
例3、方程的解为（）
A.B.C.D.
例4、解方程：
例5、已知,则的值为。
已知,且,则的值为。
★1、下列说法中：
①方程的二根为，，则
②.
③
④
⑤方程可变形为
正确的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
★2、以与为根的一元二次方程是（）
A．B．
C． D．
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（）
A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2
5、方程：
的解是。
★★★6、已知，且，，求的值。
★★★7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为。
类型三、配方法
※在解方程中，多不用配方法；
但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
例1、试用配方法说明的值恒大于0。
例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。
例3、已知为实数，求的值。
例4、分解因式：
★★1、试用配方法说明的值恒小于0。
★★2、已知，则.
★★★3、若，则t的最大值为，最小值为。
★★★4、如果,那么的值为。
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴⑵⑶
⑷⑸
例2、在实数范围内分解因式：
（1）；
（2）.⑶
说明：
①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，
一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成
=.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.
类型五、“降次思想”的应用
⑴求代数式的值；
⑵解二元二次方程组。
例1、已知，求代数式的值。
例2、如果，那么代数式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。
例4、用两种不同的方法解方程组
解二元二次方程组的具体思维方法有两种：
①先消元，再降次；
②先降次，再
消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已
知的问题.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。
例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（）
A.B.C.D.
例3、已知关于x的方程
（1）求证：
无论k取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.
例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？
有两个相同的实数解？
★1、当k时，关于x的二次三项式是完全平方式。
★2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？
这个完全平方式是什么？
★3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是.
★★4、为何值时，方程组
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.
★★★5、当取何值时，方程的根与均为有理数？
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
例1、关于x的方程
⑴有两个实数根，则m为,
⑵只有一个根，则m为。
例2、不解方程，判断关于x的方程根的情况。
例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？
若有，请求出这相同的根及k的值；
若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；
⑵“复利率”问题；
⑶“几何”问题；
⑷“最值”型问题；
⑸“图表”类问题
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？
（结果精确到0.1，）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，
销售单价应定为多少？
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？
若能，求出两段铁丝的长度；
若不
能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
⑴前提：
对于而言，当满足①、②时，
才能用韦达定理。
⑵主要内容：
⑶应用：
整体代入求值。
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三
角形的斜边是（）
A.B.3C.6D.
例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？
若存在，求出k的值；
存在，请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道
原来的方程是什么吗？
其正确解应该是多少？
例4、已知，，，求
若，，则的值为。
例5、已知是方程的两个根，那么.
1、解方程组
2．已知，，求的值。
3、已知是方程的两实数根，求的值。
数学思维训练二次函数考点热点全攻略
一.考点，难点，热点；
一、函数定义与表达式
1.一般式：
（，，为常数，）；
2.顶点式：
3.交点式：
（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化
二、函数图像的性质——抛物线
（1）开口方向——二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．越大开口就越小,|a|越小开口就越大.
（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线
一般式：
对称轴顶点式：
x=h
两根式：
x=
一般式：
顶点式：
（h、k）
顶点坐标
（3）对称轴位置
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）
a与b同号（即ab＞0）对称轴在y轴左侧
a与b异号（即ab＜0）对称轴在y轴右侧
（4）增减性，最大或最小值
当a>
0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；
在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增大；
当a<
0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而增大；
在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而减少；
0时，函数有最小值，并且当x=，；
0时，函数有最大值，并且当x=，；
（5）常数项c
常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）。
（6）a\b\c符号判别
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的符号判别：
（1）a的符号判别由开口方向确定：
当开口向上时，a＞0；
当开口向下时，a＜0；
（2）c的符号判别由与Y轴的交点来确定：
若交点在X轴的上方，则c＞0；
若交点在X轴的下方，则C＜0；
（3）b的符号由对称轴来确定：
对称轴在Y轴的左侧，则a、b同号；
若对称轴在Y轴的右侧，则a、b异号；
（7）抛物线与x轴交点个数
Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
这两点间的距离
Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
顶点在x轴上。
Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
（当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．）
（8）特殊的
①二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则
Δ=b2-4ac=0；
②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则b=0；
③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；
三、平移、平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵左右平移变h,左加右减；
上下平移变k，上加下减。
四、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
五、二次函数解析式中各参数对图象的影响
a──开口方向与开口大小（即决定抛物线的形状）
h──顶点横坐标即对称轴的位置（沿x轴左右平移:
“左加/右减”）
k──顶点纵坐标即最值的大小（沿y轴上下平移:
“上加/下减”）
b──与a一起影响对称轴相对于y轴的位置（“左同/右异”）
c──与y轴交点（0,c）的位置（c>
0时在x轴上方；
c<
0时在x轴下方；
c=0时必过原点）
特殊点纵坐标的位置:
如（1，a+b+c）、（-1，a-b+c）等
六、二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系（a≠0）
一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即；
一元二次不等式ax2+bx+c>
0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围，即；
一元二次不等式ax2+bx+c<
0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点对应的横坐标的范围，即：
.
七、二次函数的最值——看定义域
定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最值；
定义域不包含顶点时，观察图象确定边界点，进而确定最值
八、抛物线对称变换前后的解析式
关于y轴对称
x互为相反数
y=ax2+bx+cy=ax2-bx+c
y互为相反数
关于x轴对称
关于原点对称
x、y互为相反数
y=-ax2-bx-cy=-ax2+bx-c
九.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
二.典型例题讲解及思维拓展
例1.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；
一抛物线的解析式为.
（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.
例2.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为,0,时,相应的输出值分别为5,,．
（1）求此二次函数的解析式；
y
O
x
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围.
故所求的解析式为:
.
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