初三-几何问题之角平分线题型Word格式文档下载.doc

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——几何问题之角平分线题型

一.知识要点详解：

1.角平分线的性质定理：

（1）角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）定理的数学表示：

如图1，已知是的平分线，是上一点，若

于点，于点，则。

（3）定理的作用：

①证明两条线段相等；

②用于几何作图问题；

（4）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

2.角平分线性质定理的逆定理：

（1）角平分线性质定理的逆定理：

在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

（2）定理的数学表示：

如图2，已知点在的内部，且于，于，若，则点在的平分线上。

（3）定理的作用：

用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。

（4）注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。

3.关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

定理的数学表示：

如图3，如果、、分别是的内角、、的平分线，那么：

①、、相交于一点；

②若、、分别垂直于、、于点、、，则。

定理的作用：

①用于证明三角形内的线段相等；

②用于实际中的几何作图问题。

（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。

4.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

（1）会作已知线段的垂直平分线；

（2）会作已知角的角平分线；

（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法：

（如下图示）

1.已知角平分线，构造全等三角形；

2.已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段；

3.已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段。

三.角平分线性质定理之联想：

1.由角平分线的性质联想两线段相等；

2.由角平分线的轴对称性构造全等三角形；

3.过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形。

模块一.角平分线的对称性：

基本图形

例题1

例1.如图，是的角平分线，，，垂足分别是。

连接，交于点。

说出与之间有什么关系？

证明你的结论。

【分析】：

两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。

角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。

【解答】：

，且

证明：

平分

，，垂足分别是

∴

在和中：

∴，

∴，且。

►点评：

通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。

这样我们又多了一种证明线段相等的办法。

在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。

例题2

如图，，于，于，和交于点。

求证：

平分。

要证平分，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。

而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。

【证明】：

于，于

在和中

∴

又于，于

∴平分。

判定角的平分线时若题目中只给出一个条件或，，那么得出平分这一结论是错误的。

例题3

例3.如图，在中，，平分，于，在上，。

。

由已知条件很容易得到；

要证明，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。

平分，，

在与中

∴。

掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。

1.如图，，于，于，下列结论中错误的是（ 

）

2.如图，中，，，且，，

　　求的度数。

3.已知：

，，求证：

【提示】过点作、，利用角平分线性质可得。

4.如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。

【证明】

CD是的平分线，于，于

∴

5.如图，在中，为的中点，交的平分线于，

于，交延长线于。

\

【证明】连接、，由，，

∴，平分，，，

∴，∴

6.如图，//，，是的中点，平分。

过点E作于F

又

又，

——角平分线性质定理的逆定理

例题4

如图，已知在中，，。

有两种方法证明平分：

一是直接利用定义证明；

二是利用角平分线的判定，证明点D到角的两边距离相等。

仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。

后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。

过点D作于E，于F

∴

在与中：

又于E，于F

1.当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；

当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线；

2.用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。

例题5

如图，已知在四边形中，，平分，，为垂足。

延长AB，过C作，H为垂足

平分，且，

又，，

在与中，

例题6

如图1，中，，，垂足为。

平分，交于点，交于点。

（1）求证：

（2）将图2中的沿向右平移到的位置，使点落在边上，其它条件不变，如图2所示。

试猜想：

与有怎样的数量关系？

请证明你的结论。

【解析】

（1）证明:

平分.

（2）解：

.

证明：

如图2，过点作于点.

又平分，，.

由平移的性质可知：

，.

，.

于

由

（1）可知，

例题7

（1）如图1所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由。

（2）如图2所示，是的内角平分线，其它条件不变，试比较与的大小，并说明理由。

（1），理由如下：

在的延长线上截取，连接，如图1

是的外角平分线，

在和中，，，.

，

在中，，

（2），理由如下：

在上取一点，使，连接，如图2

平分，

，，

在中，，即，

7.如图，是上两点，是上两点，且，，试问点是否在的平分线上？

过点P作于D，于E

而

又∴

∴在的平分线上。

8.如图，在中，，的平分线交于点，过点作，垂足为，求证：

如下图，延长交延长线于，取中点，连接.

平分，，，

是中点，.

是中点，

∥.

，.

，∥，是中点.

【横向拓展】

9.求证：

三角形的三条角平分线相交于一点。

如图，设角平分线与相交于点。

点到三边、、的距离分别是、、

　　∵在平分线上，∴

　　∵在平分线上，∴，∴

　　∵、是点到两边的距离，

　　∴点在的平分线上

　　∴、、交于一点。

（**分钟）

1.本次课学习了角平分线的性质和判定

2.要会综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题

3.垂直平分线、等腰三角形、四边形知识要熟练应用

（临下课前的结束语建议：

教师：

你有哪些收获和感悟？

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