浙江11市2012年中考数学试题分类解析汇编专题5：数量和位置变化Word文档下载推荐.doc

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4.（2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°

，M是AB的中点，动点P从点A出发，

沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【】

A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减小

【答案】C。

【分析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，

∴S△ACM=S△BCM=S△ABC，

开始时，S△MPQ=S△ACM=S△ABC；

由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ=S△ABC；

结束时，S△MPQ=S△BCM=S△ABC。

△MPQ的面积大小变化情况是：

先减小后增大。

故选C。

二、填空题

1.（2012浙江丽水、金华4分）甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中

l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶　▲　千米．

【答案】。

【考点】函数的图象。

【分析】根据函数的图形可以得到甲用了30分钟行驶了12千米，乙用12分钟行驶了12千米，分别算出速度即可求得结果：

∵甲每分钟行驶12÷

30＝（千米），乙每分钟行驶12÷

12＝1（千米），

∴每分钟乙比甲多行驶1－（千米）。

2.（2012浙江衢州4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式　▲　．

【答案】

（答案不唯一）。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）。

3.（2012浙江绍兴5分）小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是▲（只需填序号）。

【答案】④②。

【分析】∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，

∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②；

∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，

∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④。

4.（2012浙江义乌4分）如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：

（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是　▲　；

（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是　▲　

【答案】，。

【考点】梯形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值，平行四边形的判定和性质。

【分析】

（1）如图1：

当AB为梯形的底时，PQ∥AB，

∴Q在CP上。

∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，

∴AC垂直平分PQ。

∵A（0，2），C（0，4），∴AC=2。

∴。

∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：

（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，∴Q在y轴上。

∴BP∥y轴。

∵CP∥x轴，∴四边形ABPC是平行四边形。

∴CP=AB=。

∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：

三、解答题

1.（2012浙江湖州12分）如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（-，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3）

①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？

若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由；

②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°

，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）

【答案】解：

（1）由题意得AB的中点坐标为（－3，0），CD的中点坐标为（0，3），

分别代入y=ax2+b，得，解得，。

∴这条抛物线的函数解析式为y=－x2＋3。

（2）①存在。

如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°

，BE=3，BC=，

∴。

∴∠C=60°

，∠CBE=30°

∴EC=BC=，DE=。

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°

∴∠ADC=180°

-60°

=120°

要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。

（I）若∠ADF=90°

，∠EDF=120°

－90°

=30°

在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2。

又∵E（t，3），F（t，－t2+3），∴EF=3－（－t2＋3）=t2。

∴t2=1。

∵t＞0，∴t=1。

此时，∴。

又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。

（II）若∠DFA=90°

，可证得△DEF∽△FBA，则。

设EF=m，则FB=3－m。

∴，即m2－3m＋6=0，此方程无实数根。

∴此时t不存在。

（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°

，∴∠DAF≠90°

，此时t不存在。

综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。

②。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定，解方程和不等式。

（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。

（2）①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：

时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。

（II）若∠ADF=90°

时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。

（III）∠DAF≠90°

②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：

如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N。

观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：

EE′≤BE且MN≥C′N。

∵F（t，3－t2），∴EF=3－（3－t2）=t2。

∴EE′=2EF=2t2。

由EE′≤BE，得2t2≤3，解得。

又∵C′E′=CE=，∴C′点的横坐标为t－。

∴MN=3－（t－）2，

又C′N=BE′=BE－EE′=3－2t2，

∴由MN≥C′N，得3－（t－）2≥3－2t2，即t2＋2t－3≥0。

求出t2＋2t－3=0，得，∴t2＋2t－3≥0即。

∵，∴，解得t≥。

∴t的取值范围为：

2.（2012浙江嘉兴、舟山12分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．

（1）如图①，对△ABC作变换[60°

，]得△AB′C′，则S△AB′C′：

S△ABC=　　；

直线BC与直线B′C′所夹的锐角为　　度；

（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°

，∠ACB=90°

，对△ABC作变换[θ，n]得△AB'

C'

，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'

为矩形，求θ和n的值；

（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°

，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'

为平行四边形，求θ和n的值．

（1）3；

60。

（2）∵四边形ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°

∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°

﹣30°

=60°

．

在Rt△ABB'

中，∠ABB'

=90°

，∠BAB′=60°

，∴∠AB′B=30°

∴AB′=2AB，即。

（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′。

又∵∠BAC=36°

，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°

∴∠C′AB′=∠BAC=36°

而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA。

∴AB：

BB′=CB：

AB。

∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′）。

而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1（1+AB），解得，。

∵AB＞0，∴。

【考点】新定义，旋转的性质，矩形的性质，含300角直角三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方，。

（1）根据题意得：

△ABC∽△AB′C′，

∴S△AB′C′：

S△ABC=，∠B=∠B′。

∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°

（2）由四边形ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°

，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°

角的直角三角形的性质，即可求得n的值。

（3）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°

，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案。

3.（2012浙江丽水、金华10分）在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

（1）如图1，当点A的横坐标为　　　　时，矩形AOBC是正方形；

（2）如图2，当点A的横坐标为时，

①求点B的坐标；

②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？

如果可以，说出变换的过程；

如果不可以，请说明理由．

（1）－1。

（2）　①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

当x＝－时，y＝（－）2＝，

即OE＝，AE＝。

∵∠AOE＋∠BOF＝180°

＝90°

，21世

∠AOE＋∠EAO＝90°

，

∴∠EAO＝∠BOF。

又∵∠AEO＝∠BFO＝90°

，∴△AEO∽△OFB。

设OF＝t，则BF＝2t，∴t2＝2t，解得：

t1＝0（舍去），t2＝2。

∴点B（2，4）。

②过点C作CG⊥BF于点G，

∵∠AOE＋∠EAO＝90°

，∠FBO＋∠CBG＝90°

，∠EOA＝∠FBO，

∴∠EAO＝∠CBG。

在△AEO和△BGC中，∠AEO＝∠G=900，∠EAO＝∠CBG,AO=BC，

∴△AEO≌△BGC（AAS）。

∴CG＝OE＝，BG＝AE＝。

∴xc＝2－，yc＝4＋。

∴点C（）。

设过A（－，）、B（2，4）两点的抛物线解析式为y＝－x2＋bx＋c，由题意得，

，得。

∴经过A、B两点的抛物线解析式为y＝－x2＋3x＋2。

∵当x＝时，y＝－（）2＋3×

＋2＝，∴点C也在此抛物线上。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为y＝－x2＋3x＋2＝－（x－）2＋。

平移方案：

先将抛物线y＝－x2向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线

y＝－（x－）2＋。

【考点】二次函数综合题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，全等和相似三角形的判定和性质，平移的性质。

（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵矩形AOBC是正方形，∴∠AOC＝45°

∴∠AOD＝90°

－45°

＝45°

∴△AOD是等腰直角三角形。

设点A的坐标为（－a，a）（a≠0），

则（－a）2＝a，

解得a1＝－1，a2＝0（舍去），∴点A的坐标－a＝－1。

（2）　①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解。

②过点C作CG⊥BF于点G，可以证明△AEO和△BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG＝OE，BG＝AE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可。

4.（2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？

若存在，求出此时点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值；

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O，∴c=0。

又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、C，

∴，解得。

∴抛物线解析式为。

（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=。

∴P（t，）。

∵点M在抛物线上，∴M（t，）。

如图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，

AG=yA﹣yM=2﹣，

BH=PN=。

当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，

∴，化简得3t2﹣8t+4=0。

解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，

∴点P的坐标为（）。

∴存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。

（3）如图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R。

由A、C的坐标可求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3

设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），

易知△OQT∽△OCD，可得QT=。

∴点Q的坐标为（a，）。

设AB与OC相交于点J，

∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴。

∴KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a。

∴S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT

∵＜0，

∴在线段AC上存在点A′（），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为。

【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。

（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。

（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解。

结论：

存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。

（3）求出得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。

5.（2012浙江绍兴14分）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。

（1）求A点坐标及线段AB的长；

（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。

①当PQ⊥AC时，求t的值；

②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。

（1）由抛物线知：

当x=0时，y=﹣2，∴A（0，﹣2）。

∵四边形OABC是矩形，∴AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同。

当y=﹣2时，，解得。

∴B（4，﹣2）。

∴AB=4。

（2）①由题意知：

A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t－1）=7t－7。

当Q点在OA上时，即，时，

如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC。

∴，即，解得。

∵，∴此时t值不合题意。

当Q点在OC上时，即，时，

如图2，过Q点作QD⊥AB。

∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。

∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。

若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，

∵，∴符合题意。

当Q点在BC上时，即，时，

如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，

则QG⊥PG，即∠GQP=90°

∴∠QPB＞90°

，这与△QPB的内角和为180°

矛盾，

此时PQ不与AC垂直。

综上所述，当时，有PQ⊥AC。

②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，∴，

∴，解得t=2。

即当t=2时，PQ∥AC。

此时AP=2，BQ=CQ=1。

∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。

抛物线对称轴的解析式为x=2，

当H1为对称轴与OP的交点时，有∠H1OQ=∠POQ，

∴当yH＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。

作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，

在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。

∴OQ=，

∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=OQ×

PM，

∴PM=。

∴PP′=2PM=。

∵NPP′=∠COQ。

∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′。

∴，即，解得，。

∴P′（）。

∴直线OP′的解析式为。

∴OP′与NP的交点H2（2，）。

∴当时，∠HOP＞∠POQ。

综上所述，当或时，∠HOQ＞∠POQ。

【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。

（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；

由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求。

（2）①Q点的位置可分：

在OA上、在OC上、在CB上三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。

②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有∠H1OQ=∠POQ。

若作P点关于OQ的对称点P′，OP′与NP的交点H2，亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而题目要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。

6.（2012浙江台州14分）定义：

P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.

已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四点.

（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____,

当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为______

（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.

（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.

①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;

②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；

若不存在，请说明理由.

（3）①如图，由

（2）知，当点B在⊙O的左半圆时，d=2，此时，点M是圆弧M1M2，长2π；

当点B从B1到B3时，d=2，此时，点M是线段M1M3，长为8；

同理，当点B在⊙O的左半圆时，圆弧M3M4长2π；

点B从B2到B4时，线段M1M3=8。

∴点M随线段BC运动所围成的封