中考数学专题复习第讲等腰三角形与直角三角形含详细参考答案Word文档格式.doc

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逆定理：

若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形

1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合

2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，

3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】

2、直角三角形的性质：

除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：

⑴直角三角形两锐角

⑵直角三角形斜边的中线等于

⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半

3、直角三角形的判定：

除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：

定义法：

⑴有一个角是的三角形是直角三角形

⑵有两个角是的三角形是直角三角形

⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形

直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】

【重点考点例析】

考点一：

等腰三角形性质的运用

例1（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°

，AB=8，则AB边上的高CD的长是或4

．

分析：

此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．

解：

（1）当AB=AC时，

∵∠A=30°

，

∴CD=AC=×

8=4；

（2）当AB=BC时，

则∠A=∠ACB=30°

∴∠ACD=60°

∴∠BCD=30°

∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°

×

（3）当AC=BC时，

则AD=4，

∴CD=tan∠A•AD=tan30°

•4=；

故答案为：

或或4。

点评：

本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质和解直角三角形，关键是根据题意画出所有图形，要熟练掌握好边角之间的关系．

对应训练

1．（2012•广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（　　）

A．45°

B．75°

C．45°

或75°

D．60°

1．C

首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．

解答：

如图1：

AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD=BC，∠ADB=90°

∵AD=BC，

∴AD=BD，

∴∠B=45°

即此时△ABC底角的度数为45°

；

如图2，AC=BC，

∴∠ADC=90°

∴AD=AC，

∴∠C=30°

∴∠CAB=∠B==75°

即此时△ABC底角的度数为75°

综上，△ABC底角的度数为45°

故选C．

此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．

考点二：

线段垂直平分线

例2（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°

，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）

A．B．2 C． D．4

思路分析：

求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．

，∠B=90°

∴∠ACB=180°

-30°

-90°

=60°

∵DE垂直平分斜边AC，

∴AD=CD，

∴∠A=∠ACD=30°

∴∠DCB=60°

=30°

∵BD=1，

∴CD=2=AD，

∴AB=1+2=3，

在△BCD中，由勾股定理得：

CB=，

在△ABC中，由勾股定理得：

AC==2，

故选A．

本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．

2．（2012•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°

，DE=1，则EF的长是（　　）

A．3 B．2 C． D．1

2．B

连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°

，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°

，推出AE=EF，代入求出即可．

连接AF，

∵DF是AB的垂直平分线，

∴AF=BF，

∵FD⊥AB，

∴∠AFD=∠BFD=30°

，∠B=∠FAB=90°

∵∠ACB=90°

∴∠BAC=30°

，∠FAC=60°

∵DE=1，

∴AE=2DE=2，

∵∠FAE=∠AFD=30°

∴EF=AE=2，

故选B．

本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线，角平分线的性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强

考点三：

等边三角形的判定与性质

例3（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°

时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？

如果不变，求出线段ED的长；

如果变化请说明理由．

（1））由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°

，再由∠BQD=30°

可知∠QPC=90°

，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°

，PC=QC，即6-x=（6+x），求出x的值即可；

（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，

再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴∠ACB=60°

∵∠BQD=30°

∴∠QPC=90°

设AP=x，则PC=6-x，QB=x，

∴QC=QB+BC=6+x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°

∴PC=QC，即6-x=（6+x），解得x=2；

（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：

如图，作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ=∠AEP=90°

∵点P、Q做匀速运动且速度相同，

∴AP=BQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°

∴在△APE和△BQF中，

∵∠A=∠FBQ=∠AEP=∠BFQ=90°

∴∠APE=∠BQF，

∴,

∴△APE≌△BQF，

∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴DE=EF，

∵EB+AE=BE+BF=AB，

∴DE=AB，

又∵等边△ABC的边长为6，

∴DE=3，

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．

3．（2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长．

3．分析：

（1）由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°

可知AC∥DE，故可得出结论；

（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．

（1）AC⊥BD∵△DCE由△ABC平移而成，

∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°

∴DE=BE，

∵BD⊥DE，

∵∠E=∠ACB=60°

∴AC∥DE，

∴BD⊥AC；

（2）在Rt△BED中，

∵BE=6，DE=3，

∴BD===．

本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．

考点四：

角的平分线

例4（2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°

，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=2

作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°

，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°

，利用30°

角所对的直角边是斜边的一半解题．

如图，作EG⊥OA于F，

∵EF∥OB，

∴∠OEF=∠COE=15°

∵∠AOE=15°

∴∠EFG=15°

+15°

∵EG=CE=1，

∴EF=2×

1=2．

故答案为2．

本题考查了角平分线的性质和含30°

角的直角三角形，综合性较强，是一道好题．

4．（2012•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是2

4．2

过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．

过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．

∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°

，DE⊥AB，

∴DC=DE=2（角平分线性质），

2．

本题考查了对角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中．

考点五：

勾股定理

例5（2012•黔西南州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．

先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．

，DE⊥BC，

∴AC∥DE．

又∵CE∥AD，

∴四边形ACED是平行四边形．

∴DE=AC=2．

在Rt△CDE中，由勾股定理得CD==2，

∵D是BC的中点，

∴BC=2CD=4，在△ABC中，∠ACB=90°

，由勾股定理得AB==2，

∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴EB=EC=4．

∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2，

10+2．

本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．

5．（2012•新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=π，S2=2π，则S3是．

在直角三角形中，利用勾股定理得到a2+b2=c2，在等式两边同时乘以，变形后得到S2+S3=S1，将已知的S1与S2代入，即可求出S3的值．

在直角三角形中，利用勾股定理得：

a2+b2=c2，

∴a2+b2=c2，即（）2π+（）2π=（）2π，

∴S2+S3=S1，

又S1=，S2=2π，

则S3=S1-S2=-2π=．

。

此题考查了勾股定理，以及圆的面积求法，利用了转化的思想，灵活运用勾股定理是解本题的关键．

【聚焦山东中考】

1．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）

A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8

专题：

计算题．

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．

∵EO是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

设CE=x，则ED=AD-AE=4-x，

在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，

即x2=22+（4-x）2，

解得x=2.5，

即CE的长为2.5．

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．

2．（2012•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（　　）

A．-4和-3之间 B．3和4之间 C．-5和-4之间 D．4和5之间

2．A

先根据勾股定理求出OP的长，由于OP=OA，故估算出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．

∵点P坐标为（-2，3），

∴OP==，

∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，

∴OA=OP=，

∵9＜13＜16，

∴3＜＜4．

∵点A在x轴的负半轴上，

∴点A的横坐标介于-4和-3之间．

本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A．16 B．18 C．20 D．16或20

由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．

①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；

②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．

故此三角形的周长=8+8+4=20．

本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

2．（2012•攀枝花）已知实数x，y满足|x-4|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）

A．20或16 B．20

C．16 D．以上答案均不对

根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．

根据题意得，解得，

（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：

4、4、8，

不能组成三角形；

（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：

4、8、8，

能组成三角形，周长为4+8+8=20．

本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；

解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．

3．（2012•江西）等腰三角形的顶角为80°

，则它的底角是（　　）

A．20°

B．50°

C．60°

D．80°

3．B

根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．

∵等腰三角形的一个顶角为80°

∴底角=（180°

-80°

）÷

2=50°

考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．

4．（2012•三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．C

分为三种情况：

①OA=OP，②AP=OP，③OA=OA，分别画出即可．

以O为圆心，以OA为比较画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个；

以A为圆心，以OA为比较画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；

作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，此时三角形是等腰三角形，即1个；

2+1+1=4，

本题考查了等腰三角形的判定和坐标于图形性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解啊．

5．（2012•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°

，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13

5．分析：

首先连接AE，由在直角△ABC中，∠BAC=90°

，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的长，又由DE是AB边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，继而可得△ACE的周长为：

BC+AC．

连接AE，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=8，AC=6，

∴BC==10，

∵DE是AB边的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴△ACE的周长为：

AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16．

此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用．

6．（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（　　）

A．2 B． C． D．3

6．C

先根据△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线可知∠EBP=∠QBF=30°

，再根据BF=2，FQ⊥BP可得出BQ的长，再由BP=2BQ可求出BP的长，在Rt△BEF中，根据∠EBP=30°

即可求出PE的长．

∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，

∴∠EBP=∠QBF=30°

∵BF=2，FQ⊥BP，

∴BQ=BF•cos30°

=2×

=，

∵FQ是BP的垂直平分线，

∴BP=2BQ=2，

在Rt△BEF中，

∵∠EBP=30°

∴PE=BP=．

本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都是60°

是解答此题的关键．

7．（2012•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　）

A．（2，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）

7．C

在RT△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M的坐标．

由题意得，AC==，

故可得AM=，BM=AM-AB=-3，

又∵点B的坐标为（2，0），

∴点M的坐标为（-1，0）．

此题考查了勾股定理及坐标轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般．

1．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9

考点：

等腰三角形的判定与性质；

平行线的性质。

810360

由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．

∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，

∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，

∵MN∥BC，

∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，

∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，

∴BM=ME，EN=CN，

∴MN=ME+EN，

即MN=BM+CN．

∵BM+CN=9

∴MN=9，

故选D．

此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO△CNO是等腰三角形．

2．（2012•佳木斯）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

20

12

14

13

直角三角形斜边上的中线；

等腰三角形的性质。

根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根