学年北京市清华附中高一新生分.docx
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2021-2021学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（每题5分，共40分）
1．化简（）
A．B．C．D．
2．分式的值为0，则的值为（）
A．B．2C．D．
3．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。
若EF＝2，BC＝5，CD＝3，
则tanC等于（）
A．B．C．D．
4．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P=40°，则∠BAC=（）
（4题图）
（3题图）
（6题图）
A．B．C．D．
5．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（）
A．B．C．D．
6．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）
A.6B.4C.5D.3
7．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）
8.若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P、Q都在函数y的图象上②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）。
已知函数,则函数y的“友好点对”有（）个
A．0B.1C.2D.3
注意：
请将选择题的答案填入表格中。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
评卷人
答案
二、填空题（每题5分，共50分）
9．已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式
的值等于
11题图
B
C
E
D
A
F
10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为m，3的对面的数字为n，则方程的解满足，为整数，则
5
2
3
3
2
1
2
6
1
甲
乙
丙
10题图
11．如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8，则AB的长为
12．记函数在处的值为（如函数也可记为，当时的函数
值可记为）。
已知，若且，，则
的所有可能值为
13．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是
14．如图，三棱柱中，底面，三个侧面都是矩形，
为线段上的一动点，则当最小时，=
15.如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F，N在半圆上。
若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是
16.如图，CD为直角ΔABC斜边AB上的高，BC长度为1，DE⊥AC。
设ΔADE，ΔCDB，ΔABC的周长分别是。
当取最大值时，AB=
17.如图放置的等腰直角ABC薄片（）沿x轴滚动，点A的运动
轨迹曲线与x轴有交点，则在两个相邻交点间点A的轨迹曲线与x轴围成图形面积为___
18.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为（用具体数字作答）
1234567…
35791113…
812162024…
20283644…
486480…
得分
评卷人
注意：
请将填空题的答案填在下面的横线上。
9.10.__
11.12.
13._14.___15._
16._17.18.
三、解答题（共60分）
19.（本小题满分12分）如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N。
设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
20.（本小题满分12分）函数，若自变量取值范围内存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图像上的不动点。
（的定义见第12题）
（1）若函数有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
（2）在
（1）的条件下，若a=2，直线与y轴、x轴分别相交于A、B两点，在的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形ABQP的面积等于2，求P点的坐标
21.（本小题满分12分）已知圆O圆心为坐标原点，半径为，直线：
交轴负半轴于点，交轴正半轴于点
（1）求
（2）设圆O与轴的两交点是，若从发出的光线经上的点M反射后过点，求光线从射出经反射到经过的路程
（3）点P是轴负半轴上一点，从点P发出的光线经反射后与圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标
22.（本小题满分12分）
在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有根.现将它们堆放在一起.
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多根）,且不少于七层，
23.（本小题满分12分）
试求出所有正整数使得关于的二次方程至少有一个整数根.
数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
A
C
D
A
B
C
三、填空题（每题5分，共50分）
9．10．011．612．1或-113．6
14．115．2516．217．18．12288
三、解答题（共60分）
19．解：
（1）易知A（0,1），B（3,2.5），可得直线AB的解析式为y=……………3分
（2）
………………6分
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有
，解得，
所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.………………8分
①当t=1时，，，故,又在Rt△MPC中，，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形…………10分
②当t=2时，，，故,又在Rt△MPC中，，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形.…………12分
20.解：
（1）由题得有两个互为相反数的根，
即有两个互为相反数的根，……1分
根带入得，两式相减得，……3分
方程变为…………4分
（2）由
（1）得，所以，即A（0,2）B（2,0）……5分
设上任意一点，所以……6分
又因为，所以……8分
……………………9分
（3）正确
①在令得所以
所以为函数的不动点……………………10分
②设为函数图像上的不动点，则
所以，
所以也为函数图像上的不动点……………………12分
21．解：
（1）由题|OA|=4，|OB|=，所以，所以2分
（2）如图
（1）由对称性可知，点关于的对称点在过点且倾斜角为的直线上在中，，，
所以为直角三角形，。
所以光线从射出经反射到经过的路程为…………………………6分
（2）如图
（2）由对称性可知，点关于的对称点在过点且倾斜角为的直线上
，所以路程最短即为上点到切点的切线长最短。
连接，在中，只要最短，
由几何知识可知，应为过原点且与垂直的直线与的交点，这一点又与点关于对称，∴，故点的坐标为……………12分
22．解：
（1）设纵断面层数为，则
即，，经带入满足不等式，不满足
当时，剩余的圆钢最少………………………2分
此时剩余的圆钢为；………………………4分
（2）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放层,第一层圆钢根数为，则由题意得：
，化简得，
即，……………………6分
因与的奇偶性不同，所以与的奇偶性也不同，且，从而由上述等式得：
或或或，所以共有4种方案可供选择。
-----------------------------8分
（3）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由
（2）可知：
若，则，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为cm，
而，所以符合条件；………………10分
若，则，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为cm，
显然大于4m，不合条件，舍去；
综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地………………12分
23.解：
原方程可化为，易知，此时……2分
因为是正整数，即为正整数。
又，则
即，解得。
因为且是整数，故只能取-4，-3，-1，0,1,2，…………………………6分
依次带入的表达式得
从而满足题意的正整数的值有4个，分别为1,3,6,10…………………………12分
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