中考数学专题复习第二十五讲对称含详细参考答案Word格式文档下载.doc

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如图，

点A的坐标（-1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为：

（1，2）．

A．

【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

考点三：

最短路径问题

例3（2018•东营）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（-1，-1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB-MA的值最大，则点M的坐标为．

【思路分析】要使得MB-MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．

取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．

设直线AB′解析式为：

y=kx+b

把点A（-1，-1）B′（2，-7）代入

，

解得，

∴直线AB′为：

y=-2x-3，

当y=0时，x=-，

∴M坐标为（-，0）

故答案为：

（-，0）

【点评】本题考查轴对称-最短路线问题、坐标与图象变换，解答本题的关键是明确题意，利用三角形两边之差小于第三边和一次函数的性质解答．

考点四：

图形的折叠（翻折问题）

例4（2018•常州）如图，把△ABC沿BC翻折得△DBC．

（1）连接AD，则BC与AD的位置关系是．

（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形ABDC是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由．

【思路分析】

（1）先由折叠知，AB=BD，∠ACB=∠DBC，进而判断出△AOB≌△DOB，最后用平角的定义即可得出结论；

（2）由折叠得出∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB，再判断出∠ABC=∠ACB，进而得出∠ACB=∠DBC=∠ABC=∠DCB，最后用两边分别平行的四边形是平行四边形．

（1）如图，

连接AD交BC于O，

由折叠知，AB=BD，∠ACB=∠DBC，

∵BO=BO，

∴△ABO≌△DBO（SAS），

∴∠AOB=∠DOB，OA=OD

∵∠AOB+∠DOB=180°

，

∴∠AOB=∠DOB=90°

∴BC⊥AD，

BC垂直平分AD；

（2）添加的条件是AB=AC，

理由：

由折叠知，∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=∠DBC=∠ABC=∠DCB，

∴AC∥BD，AB∥CD，

∴四边形ABDC是平行四边形．

【点评】此题主要考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ABO≌△DBO（SAS）是解本题的关键．

备考真题过关

一、选择题

1．（2018•淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

2.（2018•河北）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　）

A．l1 B．l2

C．l3 D．l4

3.（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）

4.（2018•资阳）下列图形具有两条对称轴的是（　　）

A．等边三角形 B．平行四边形

C．矩形 D．正方形

5.（2018•梧州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°

，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°

，连接BB′，则∠ABB′的度数是（　　）

A．30°

B．35°

C．40°

D．45°

6.（2018•沈阳）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，-1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（　　）

A．（4，1） B．（-1，4）

C．（-4，-1） D．（-1，-4）

7.（2018•贵港）若点A（1+m，1-n）与点B（-3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）

A．-5 B．-3

C．3 D．1

8.（2018•枣庄）在平面直角坐标系中，将点A（-1，-2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（　　）

A．（-3，-2） B．（2，2）

C．（-2，2） D．（2，-2）

9.（2018•江西）小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（　　）

A．3个 B．4个

C．5个 D．无数个

10.（2018•临安区）如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2 B．4

C．8 D．10

11.（2018•天津）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（　　）

A．AB B．DE

C．BD D．AF

12.（2018•新疆）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）

A． B．1 C． D．2

13.（2018•吉林）如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，若AB=9，BC=6，则△DNB的周长为（　　）

A．12 B．13

C．14 D．15

14.（2018•资阳）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（　　）

A．12厘米 B．16厘米

C．20厘米 D．28厘米

15.（2018•天津）如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AD=BD B．AE=AC

C．ED+EB=DB D．AE+CB=AB

16.（2018•天门）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（　　）

A．1 B．1.5

C．2 D．2.5

二、填空题

17．（2018•南京）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'

，再将点A'

向下平移4个单位，得到点A″，则点A″

18.（2018•长春）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°

．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为．

19.（2018•邵阳）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°

，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是．

20.（2018•杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：

①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；

②把纸片展开并铺平；

③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=．

21.（2018•常德）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°

，连接BG，则∠AGB=．

22.（2018•阜新）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°

）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为．

23.（2018•淄博）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于．

三、解答题

24．（2018•长春）图①、图②均是8×

8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：

（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．

（2）所画的两个四边形不全等．

25.（2018•白银）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案．

（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？

（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率．

26.（2018•威海）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；

点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°

，∠2=75°

，EF=+1，求BC的长．

27.（2018•荆州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；

再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；

延长PF交AB于G．求证：

（1）△AFG≌△AFP；

（2）△APG为等边三角形．

27.【思路分析】

（1）由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用

28.（2018•广东）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：

△ADE≌△CED；

（2）求证：

△DEF是等腰三角形．

第二十五讲对称参考答案

1.【思路分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．

根据轴对称图形的概念，可知：

选项C中的图形不是轴对称图形．

C．

【点评】本题考查了轴对称图形，牢记轴对称图形的概念是解题的关键．

2.【思路分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

该图形的对称轴是直线l3，

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．

3.【思路分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．

A、是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

4.【思路分析】根据轴对称及对称轴的定义，结合所给图形即可作出判断．

A、等边三角形由3条对称轴，故本选项错误；

B、平行四边形无对称轴，故本选项错误；

C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；

D、正方形有4条对称轴，故本选项错误；

【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义，常见的轴对称图形有：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

5.【思路分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．

连接BB′，

∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，

∴△BAC≌△B′AC′，

∵AB=AC，∠C=70°

∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°

∴∠BAC=∠B′AC′=40°

∵∠CAF=10°

∴∠C′AF=10°

∴∠BAB′=40°

+10°

+40°

=100°

∴∠ABB′=∠AB′B=40°

．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC度数是解题关键．

6.【思路分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．

∵点B的坐标是（4，-1），点A与点B关于x轴对称，

∴点A的坐标是：

（4，1）．

【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．

7.【思路分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．

∵点A（1+m，1-n）与点B（-3，2）关于y轴对称，

∴1+m=3、1-n=2，

解得：

m=2、n=-1，

所以m+n=2-1=1，

D．

【点评】本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．

8.【思路分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：

横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．

点A（-1，-2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（-1+3，-2），即（2，-2），

则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），

【点评】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．

9.【思路分析】直接利用平移的性质结合轴对称图形的性质得出答案．

如图所示：

正方形ABCD可以向上、下、向右以及沿AC所在直线，沿BD所在直线平移，

所组成的两个正方形组成轴对称图形．

【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及平移的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．

10.【思路分析】本题考查空间想象能力．

阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，

由第一个图形可知：

阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，

正方形的面积=4×

4=16，

∴图中阴影部分的面积是16÷

4=4．

【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系．

11.【思路分析】连接CP，当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，依据△ABF≌△CDE，即可得到AP+EP最小值等于线段AF的长．

如图，连接CP，

由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°

，DP=DP，可得△ADP≌△CDP，

∴AP=CP，

∴AP+PE=CP+PE，

∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，

此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE，

∴AF=CE，

∴AP+EP最小值等于线段AF的长，

【点评】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．

12.【思路分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．

作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．

∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，

∴M′是AD的中点，

又∵N是BC边上的中点，

∴AM′∥BN，AM′=BN，

∴四边形ABNM′是平行四边形，

∴M′N=AB=1，

∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．

13.【思路分析】由D为BC中点知BD=3，再由折叠性质得ND=NA，从而根据△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD可得答案．

∵D为BC的中点，且BC=6，

∴BD=BC=3，

由折叠性质知NA=ND，

则△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12，

【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：

折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

14.【思路分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．

∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，

∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×

180°

=90°

同理可得：

∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°

∴四边形EFGH为矩形，

AD=AH+HD=HM+MF=HF，，

∴AD=20厘米．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形EFGH为矩形是解题关键．

15.【思路分析】先根据图形翻折变换的性质得出BE=BC，根据线段的和差，可得AE+BE=AB，根据等量代换，可得答案．

∵△BDE由△BDC翻折而成，

∴BE=BC．

∵AE+BE=AB，

∴AE+CB=AB，

故D正确，

【点评】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

16.【思路分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；

在直角△ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．

如图，连接AE，

∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°

在Rt△AFE和Rt△ADE中，

∵，

∴Rt△AFE≌Rt△ADE，

∴EF=DE，

设DE=FE=x，则EC=6-x．

∵G为BC中点，BC=6，

∴CG=3，

在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：

（6-x）2+9=（x+3）2，

解得x=2．

则DE=2．

【点评】本题考查了翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．

17.【思路分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点A'

坐标，再利用平移的性质得出答案．

∵点A的坐标是（-1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'

∴A′（1，2），

∵将点A'

向下平移4个单位，得到点A″，

∴点A″的坐标是：

（1，-2）．

1，-2．

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．

18.【思路分析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．

当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，

∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°

∴AE=3，BE=，

∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，

∴EF=BC=AD=7，

∴四边形AEFD周长的最小值为：

14+6=20，

20

【点评】此题考查平移的性质，关键是根据当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小进行分析．

19.【思路分析】由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，问题得解．

∵AB=AC，∠A=36°

∴，

∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，

∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°

∴∠CEB=72°

∴BC=CE=AE=，

【点评】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．

20.【思路分析】设AD=x，则AB=x+2，利用折叠的性质得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°

，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE=AD=x，再根据折叠的性质得DH=DC=x+2，则AH=AE-HE=x-1，然后根据勾股定理得到x2+（x-1）2=（x+2）2，再解方程求出x即可．

设AD=x，则AB=x+2，

∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，

∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°

∴四边形AEFD为正方形，

∴AE=AD=x，

∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，

∴DH=DC=x+2，

∵HE=1，

∴AH=AE-HE=x-1，

在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，

∴x2+（x-1）2=（x+2）2，

整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2，x2=3-2（舍去），

即AD的长为3+2．

故答案为3+2．

【点评】本题考查了折叠的性质：

折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．

21.【思路分析】由折叠的性质可知：

GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°

，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH-∠EGB=∠EBC-∠EBG，即：

∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．

由折叠的性质可知：

∴∠EBG=∠EGB．

∴∠EGH-∠EGB=∠EBC-∠EBG，即：

∠GBC=∠BGH．

又∵AD∥BC，

∴∠AGB=∠GBC．

∴∠AGB=∠BGH．

∵∠DGH=30°

∴∠AGH=150°

∴∠AGB=∠AGH=75°

75°

【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：

折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对