完整版RANSAC算法详解.docx
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完整版RANSAC算法详解
给定两个点p1与p2的坐标，确定这两点所构成的直线，要求对于输入的任意点p3，都可以判断它是否在该直线上。
初中解析几何知识告诉我们，判断一个点在直线上，只需其与直线上任意两点点斜率都相同即可。
实际操作当中，往往会先根据已知的两点算出直线的表达式（点斜式、截距式等等），然后通过向量计算即可方便地判断p3是否在该直线上。
生产实践中的数据往往会有一定的偏差。
例如我们知道两个变量X与Y之间呈线性关系，Y=aX+b，我们想确定参数a与b的具体值。
通过实验，可以得到一组X与Y的测试值。
虽然理论上两个未知数的方程只需要两组值即可确认，但由于系统误差的原因，任意取两点算出的a与b的值都不尽相同。
我们希望的是，最后计算得出的理论模型与测试值的误差最小。
大学的高等数学课程中，详细阐述了最小二乘法的思想。
通过计算最小均方差关于参数a、b的偏导数为零时的值。
事实上，在很多情况下，最小二乘法都是线性回归的代名词。
遗憾的是，最小二乘法只适合与误差较小的情况。
试想一下这种情况，假使需要从一个噪音较大的数据集中提取模型（比方说只有20%的数据时符合模型的）时，最小二乘法就显得力不从心了。
例如下图，肉眼可以很轻易地看出一条直线（模式），但算法却找错了。
RANSAC算法的输入是一组观测数据（往往含有较大的噪声或无效点），一个用于解释观测数据的参数化模型以及一些可信的参数。
RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。
被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：
∙有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
∙用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
∙如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
∙然后，用所有假设的局内点去重新估计模型（譬如使用最小二乘法），因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
∙最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
∙上述过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。
整个过程可参考下图：
关于算法的源代码，ZivYaniv曾经写一个不错的C++版本，我在关键处增补了注释：
C代码
#include
#include "LineParamEstimator.h"
LineParamEstimator:
:
LineParamEstimator（double delta） :
m_deltaSquared（delta*delta） {}
/*****************************************************************************/
/*
* Compute the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y]
* 通过输入的两点来确定所在直线，采用法线向量的方式来表示，以兼容平行或垂直的情况
* 其中n_x,n_y为归一化后，与原点构成的法线向量，a_x,a_y为直线上任意一点
*/
void LineParamEstimator:
:
estimate（std:
:
vector &data,
std:
:
vector ¶meters）
{
parameters.clear（）;
if（data.size（）<2）
return;
double nx = data[1]->y - data[0]->y;
double ny = data[0]->x - data[1]->x;// 原始直线的斜率为K，则法线的斜率为-1/k
double norm = sqrt（nx*nx + ny*ny）;
parameters.push_back（nx/norm）;
parameters.push_back（ny/norm）;
parameters.push_back（data[0]->x）;
parameters.push_back（data[0]->y）;
}
/*****************************************************************************/
/*
* Compute the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y]
* 使用最小二乘法，从输入点中拟合出确定直线模型的所需参量
*/
void LineParamEstimator:
:
leastSquaresEstimate（std:
:
vector &data,
std:
:
vector ¶meters）
{
double meanX, meanY, nx, ny, norm;
double covMat11, covMat12, covMat21, covMat22; // The entries of the symmetric covarinace matrix
int i, dataSize = data.size（）;
parameters.clear（）;
if（data.size（）<2）
return;
meanX = meanY = 0.0;
covMat11 = covMat12 = covMat21 = covMat22 = 0;
for（i=0; i meanX +=data[i]->x;
meanY +=data[i]->y;
covMat11 +=data[i]->x * data[i]->x;
covMat12 +=data[i]->x * data[i]->y;
covMat22 +=data[i]->y * data[i]->y;
}
meanX/=dataSize;
meanY/=dataSize;
covMat11 -= dataSize*meanX*meanX;
covMat12 -= dataSize*meanX*meanY;
covMat22 -= dataSize*meanY*meanY;
covMat21 = covMat12;
if（covMat11<1e-12） {
nx = 1.0;
ny = 0.0;
}
else { //lamda1 is the largest eigen-value of the covariance matrix
//and is used to compute the eigne-vector corresponding to the smallest
//eigenvalue, which isn't computed explicitly.
double lamda1 = （covMat11 + covMat22 + sqrt（（covMat11-covMat22）*（covMat11-covMat22） + 4*covMat12*covMat12）） / 2.0;
nx = -covMat12;
ny = lamda1 - covMat22;
norm = sqrt（nx*nx + ny*ny）;
nx/=norm;
ny/=norm;
}
parameters.push_back（nx）;
parameters.push_back（ny）;
parameters.push_back（meanX）;
parameters.push_back（meanY）;
}
/*****************************************************************************/
/*
* Given the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y] check if
* [n_x, n_y] dot [data.x-a_x, data.y-a_y] < m_delta
* 通过与已知法线的点乘结果，确定待测点与已知直线的匹配程度；结果越小则越符合，为
* 零则表明点在直线上
*/
bool LineParamEstimator:
:
agree（std:
:
vector ¶meters, Point2D &data）
{
double signedDistance = parameters[0]*（data.x-parameters[2]） + parameters[1]*（data.y-parameters[3]）;
return （（signedDistance*signedDistance） < m_deltaSquared）;
}
RANSAC寻找匹配的代码如下：
C代码
/*****************************************************************************/
template
double Ransac:
:
compute（std:
:
vector ¶meters, ParameterEsitmator *paramEstimator, std:
:
vector &data, int numForEstimate）
{
std:
:
vector leastSquaresEstimateData;
int numDataObjects = data.size（）;
int numVotesForBest = -1;
int *arr = new int[numForEstimate];// numForEstimate表示拟合模型所需要的最少点数，对本例的直线来说，该值为2
short *curVotes = new short[numDataObjects]; //one if data[i] agrees with the current model, otherwise zero
short *bestVotes = new short[numDataObjects]; //one if data[i] agrees with the best model, otherwise zero
//there are less data objects than the minimum required for an exact fit
if（numDataObjects < numForEstimate）
return 0;
// 计算所有可能的直线，寻找其中误差最小的解。
对于100点的直线拟合来说，大约需要100*99*0.5=4950次运算，复杂度无疑是庞大的。
一般采用随机选取子集的方式。
computeAllChoices（paramEstimator,data,numForEstimate,
bestVotes, curVotes, numVotesForBest, 0, data.size（）, numForEstimate, 0, arr）;
//compute the least squares estimate using the largest sub set
for（int j=0; j if（bestVotes[j]）
leastSquaresEstimateData.push_back（&（data[j]））;
}
// 对局内点再次用最小二乘法拟合出模型
paramEstimator->leastSquaresEstimate（leastSquaresEstimateData,parameters）;
delete [] arr;
delete [] bestVotes;
delete [] curVotes;
return （double）leastSquaresEstimateData.size（）/（double）numDataObjects;
}
在模型确定以及最大迭代次数允许的情况下，RANSAC总是能找到最优解。
经过我的实验，对于包含80%误差的数据集，RANSAC的效果远优于直接的最小二乘法。
RANSAC可以用于哪些场景呢？
最著名的莫过于图片的拼接技术。
优于镜头的限制，往往需要多张照片才能拍下那种巨幅的风景。
在多幅图像合成时，事先会在待合成的图片中提取一些关键的特征点。
计算机视觉的研究表明，不同视角下物体往往可以通过一个透视矩（3X3或2X2）阵的变换而得到。
RANSAC被用于拟合这个模型的参数（矩阵各行列的值），由此便可识别出不同照片中的同一物体。
可参考下图：
另外，RANSAC还可以用于图像搜索时的纠错与物体识别定位。
下图中，有几条直线是SIFT匹配算法的误判，RANSAC有效地将其识别，并将正确的模型（书本）用线框标注出来：
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