第5章一次函数55一次函数的简单应用一 专项同步练习Word文档格式.docx

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4．一位自行车爱好者利用周末进行了一次骑车旅行，如图所示是这次旅行过程中自行车离出发地的距离y（km）与骑行时间t（min）之间的函数图象，观察图象，下列判断正确的是①③④（填序号）．

①这次旅行的总路程为16km；

②这次旅行中用于骑车的总时间为60min；

③到达目的地之后休息了15min；

④如果返回途中不休息，可以提前10min到达出发点．

（第4题）

5．1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min.

设气球上升的时间为x（min）（0≤x≤50）．

（1）根据题意，填写下表：

上升时间（min）

1号探测气球所在位置的海拔（m）

15

35

x＋5

2号探测气球所在位置的海拔（m）

0.5x＋15

（2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？

如果能，这时气球上升了多长时间？

位于什么高度？

如果不能，请说明理由．

（3）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？

【解】　

（2）两个气球能位于同一高度．

由题意，得x＋5＝0.5x＋15，

解得x＝20，∴x＋5＝25.

答：

两个气球能位于同一高度，此时气球上升了20min，都位于海拔25m的高度．

（3）当30≤x≤50时，由题意可知，1号气球所在位置的海拔始终高于2号气球．

设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差y（m），

则y＝（x＋5）－（0.5x＋15）＝0.5x－10.

∵k＝0.5＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x＝50时，y取得最大值15.

两个气球所在位置的海拔最多相差15m.

6．为迎接“五一”劳动节，某中学组织了甲、乙两个义务劳动小组，甲组x人，乙组y人，到“中华路”和“青年路”打扫卫生，根据打扫卫生的进度，学校随时调整两组人数．如果从甲组调50人去乙组，则乙组人数为甲组人数的2倍；

如果从乙组调m人去甲组，则甲组人数为乙组人数的3倍．

（1）求出x与m之间的函数表达式．

（2）问：

当m为何值时，甲组人数最少，最少是多少人？

【解】　

（1）由题意，得

整理，得

①×

3－②，得5x＝450＋4m，

∴x＝

m＋90.

（2）∵x＝

m＋90，∴x随m的增大而增大．

又∵x，m，y均为正整数，

∴当m＝5时，x取得最小值，最小值为

×

5＋90＝94，

此时y＝2×

94－150＝38，符合题意．

当m＝5时，甲组人数最少，最少是94人．

B组

7．8个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的函数表达式为（C）

（第7题））

xB.y＝

C.y＝

xD.y＝x

【解】　设直线l与8个正方形最上面的交点为A，

过点A作AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C.

∵正方形的边长为1，∴OB＝3.

∵经过原点的一条直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，

∴易得S△ABO＝5，

∴

OB·

AB＝5，∴AB＝

，

∴OC＝

，∴点A

.

设直线l的函数表达式为y＝kx.

将点A

的坐标代入，得3＝

k，

解得k＝

∴直线l的函数表达式为y＝

x.

8．为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．

（第8题）

（1）求y与x之间的函数表达式．

（2）若购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

【解】　

（1）当0≤x≤20时，设y与x之间的函数表达式为y＝k1x（k1≠0）．

把点（20，160）的坐标代入，得20k1＝160.

解得k1＝8，∴y＝8x.

当x>

20时，设y与之间的函数表达式为y＝k2x＋b（k2≠0）．

把（20，160），（40，288）代入y＝k2x＋b，得

解得

则y＝6.4x＋32.

∴y＝

（2）由题意，得

解得22.5≤x≤35.

设总费用为W元，则

W＝6.4x＋32＋7（45－x）＝－0.6x＋347.

∵k＝－0.6<

0，

∴W随x的增大而减小，

∴当x＝35，即购买B种苗35棵时，总费用最低，最低费用为－0.6×

35＋347＝326（元）．

（第9题）

9．某农场急需氨肥8t，在该农场南北方向分别有A，B两家化肥公司，A公司有氨肥3t，每吨售价750元；

B公司有氨肥7t，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b（元/千米）与运输质量a（t）的关系如图所示．

（1）根据图象求出b关于a的函数表达式，并写出自变量的取值范围．

（2）若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m（km），设农场从A公司购买x（t）氨肥，购买8t氨肥的总费用为y元（总费用＝购买氨肥的费用＋运输费用），求出y关于x的函数表达式（m为常数），并向农场建议总费用最低的购买方案．

【解】　

（1）当0≤a≤4时，设b＝ka（k≠0）．

把点（4，12）的坐标代入，得4k＝12，

解得k＝3.

∴b＝3a.

当a≥4时，设b＝ma＋n（m≠0）．

把点（4，12），（8，32）的坐标分别代入，得

∴b＝5a－8.

∴b＝

（2）∵A公司有氨肥3t，B公司有氨肥7t，

∴0≤x≤3，0≤8－x≤7，∴1≤x≤3，

∴y＝750x＋3mx＋（8－x）×

700＋[5（8－x）－8]×

2m

＝（50－7m）x＋5600＋64m.

∴当m＞

时，到A公司买3t，B公司买5t费用最低；

当m＝

时，到A公司或B公司买费用一样；

当m＜

时，到A公司买1t，B公司买7t，费用最低．

数学乐园

10．【问题情境】用同样大小的黑色棋子按如图①所示的规律摆放，则第2018个图形中共有多少枚黑色棋子

（第10题①）

关于这个问题我们可以通过建立函数模型的方法求解．

【建立模型】上述图形的规律我们可以借助建立函数模型探讨，具体步骤如下：

（1）确定变量；

（2）画函数图象；

（3）求函数表达式；

（4）代入验证．

【解决问题】完成下列问题：

（1）上述问题情境中以第x个图形为自变量，以第x个图形中黑色棋子的数量y为函数．

（2）请在如图②所示的平面直角坐标系中画出图象．

（3）猜想它是什么函数？

求这个函数的表达式．

（4）求第2018个图形中共有多少枚黑色棋子．

（第10题②）

【解】　

（2）如解图．

（第10题解）

（3）猜想它是一次函数．

设猜想的一次函数表达式为y＝kx＋b，

由题意，得

∴y＝3x＋1.

当x＝3时，y＝10；

当x＝4时，y＝13.

均符合所求的函数表达式y＝3x＋1.

∴y＝3x＋1是所求的函数表达式．

（4）当x＝2018时，y＝3×

2018＋1＝6055.

第2018个图形中共有6055枚黑色棋子．

1.1认识三角形

（一）

1．如图，图中共有__6__个三角形，以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ADC，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△AEC，∠ADB是△ABD的内角，△ADE的三个内角分别是∠ADE，∠AED，∠DAE．

（第1题）

（第2题）

2．在“三角尺拼角实验”中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝__120°

__．

3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__40°

4．

（1）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（B）

A．14　　　B．10　　　C．3　　　D．2

（2）若长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是（C）

A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．9

（第5题）

5．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A＝62°

，∠AED＝54°

，则∠B的度数为（C）

A．54°

B．62°

C．64°

D．74°

6．若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是（C）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．不能确定

（第7题）

7．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．

（1）求CD的取值范围．

（2）若AE∥BD，∠A＝55°

，∠BDE＝125°

，求∠C的度数．

【解】　

（1）∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1<

CD<

9．

（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°

∴∠AEC＝55°

∴∠C＝180°

－∠AEC－∠A＝70°

．

8．现有3cm，4cm，7cm,9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（B）

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

【解】　四根木棒任取三根的所有组合为3，4，7；

3，4，9；

3，7，9和4，7，9，其中3，7，9和4，7，9能组成三角形．

9．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（D）

A．2a＋2b－2cB．2a＋2b

C．2cD．0

【解】　∵a＋b>

c，

∴a＋b－c>

0，c－a－b<

∴|a＋b－c|－|c－a－b|

＝a＋b－c＋（c－a－b）

＝a＋b－c＋c－a－b＝0．

10．各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有多少个？

【解】　∵各边长度都是整数、最大边长为8，

∴三边长可以为：

1，8，8；

2，7，8；

2，8，8；

3，6，8；

3，7，8；

3，8，8；

4，5，8；

4，6，8；

4，7，8；

4，8，8；

5，5，8；

5，6，8；

5，7，8；

5，8，8；

6，6，8；

6，7，8；

6，8，8；

7，7，8；

7，8，8；

8，8，8．

故各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有20个．

（第11题）

11．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器应安装在AC，BD的交点E处，你知道这是为什么吗？

【解】　如图，另任取一点E′（异于点E），分别连结AE′，BE′，CE′，DE′．

在△BDE′中，DE′＋BE′>

DB．

在△ACE′中，AE′＋CE′>

AC．

∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>

AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．

12．观察并探求下列各问题：

（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__＜__AB＋AC（填“＞”“＜”或“＝”）．

（2）将

（1）中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（3）将

（2）中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（第12题）

【解】　

（1）BP＋PC＜AB＋AC．理由：

三角形两边的和大于第三边．

（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：

如解图①，延长BP交AC于点M．

∵PC<

PM＋MC，∴BP＋PC<

BM＋MC．

∵BM<

AB＋AM，∴BM＋MC<

AB＋BC，

∴BP＋PC＜AB＋AC，

∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，

即△BPC的周长＜△ABC的周长．

（第12题解）

（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：

如解图②，分别延长BP1，CP2交于点M．

由

（2）知，BM＋CM＜AB＋AC．

又∵P1P2＜P1M＋P2M，

∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，

∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<

AB＋AC＋BC，

即四边形BP1P2C的周长<

△ABC的周长．

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