=limcr=a。
A-0
n
（2）Ji/（x，j）（Ic7=lim^
i）1
n
=Alimy/（^（，i7，）A（7-,=k\\f｛x,y）Aa.
A—°台•｛!
（3）因为函数/U，y）在闭区域/）上可积,故不论把£»怎样分割,积分和的极限总是不变的。
因此在分割D时,可以使和/）2的公共边界永远是一条分割线。
这样fix.y）在AUD2上的积分和就等于＆上的积分和加D2上的积分和，记为
^/（^,，17,）Act，=^/（^,,17，）Act，+^/（^,，17，）Act,.
/）（U0，",l）：
令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得Jf（x，y）i\a=jjf（x,y）da+JJ/（xfy）da.
p，un｝V，n;
Sa4。
试确定积分区域/），使二重积分］[（1—2x2—y2）d«ly达到最大值。
I）
解由二重积分的性质可知,当积分区域/＞包含了所有使被积函数1-2.v2-V2大于等于零的点，而不包含使被积函数1—2/-y2小于零的点,即当£»是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.
&5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小:
（1）Ju+y）2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+。
、=
DI）
1所围成；
（2）J（x+7）2如与■，其中积分区域0是由圆周（.r-2）2+（.v-l）2=
t）n
2所围成；
（3）I’mA；+y）（lor与!
”[In（X+y）］2（1（7,其中Z＞是三角形闭K域,三顶点分别为
l）"
（1，0）,（1，1）,（2,0）;
（4）Jpn（：
r+y）dcr与In（：
t+y）］2fW，其中/）=|（。
r,.v）|3,0彡、彡1。
i）i）
解
（1）在积分K域0上，故有
（x+j）3^（x+y）2。
根据二重积分的性质4,可得
J（.r+y）\lrx^J（。
\+v）
0D
（2）由于积分区域0位于半平面｜（a：
，V）|。
V+•、彡11内，故在/）｜：
&（。
f+y）2彡（a+y）3•从『（"•J（v+＞）:
drr^jj（x+y）\lfr。
（3）由于积分区域D位于条形区域1U，y）｜1彡1+7彡2丨内，故知区域/）上的点满足0彡InU+y）彡1，从而有[lnU+y）］2彡lnU+。
y）。
因此
jj[ln（a：
+y）]2（Jo—^+y）d
（4）由于积分区域/）位于半平面丨（x，y）｜。
v+y彡e|内，故在Z）上有ln（x+y）彡1，从而:
In（—v+）'）］2彡In（:
c+）’）。
因此
Jj^1n（。
r+y）］2dcr^Jln（x+y）da.
i）a
36。
利用二重积分的性质估计下列积分的值:
（1）/=｜^7（文+7）心，其中/）=\（x，y）1，01｜；
n
（2）/=j^sin^sin^do■,其中/）=j（a：
，y）|0^^^tt,0^y^tt1;
i）
（3）/=J*（A：
+y+l）d（7,其中/>=｛｛x,y）｜0^x^l,0^j^2[；
it
（4）/=J（x2+4y2+9）do•，其中D=\｛x，y）\x2+y2^4｜。
I）
解
（1）在积分区域D上,0矣;<:
矣1,0英y矣1,从而0矣巧•（*+y）矣2•又£»的面积等于1，因此
（2）在积分区域/）上，0矣sinj：
矣1，0^sin1，从而0彡sin2A：
sin2y彡1，又0的面积等于tt2,W此
（3）在积分K域”上有\^x+y+\«4，/）的而积等于2，因此
（4）W为在积分K域/〉»上有0矣；t2+y2苳4,所以有
9^+4r2+9^4（x2+y2）+9矣25。
34I）的酣枳等于4tt,W此
36tt^[［（x2+4/+9）（Ur^lOO-ir。
二重积分的计算法
.^1.计算下列二甩积分：
（2）l<3x十2）；dcr，其中"是由两坐标轴及直线—X-+v=2听围成的闭区域；
b
（3Jjj（xJ+3x2\+v3）da,其中D=（x,v）0^a:
^1.0^v^1；
u
（4）jjxcas（X+Yjdo■,其中Z〉是顶点分别为（0.0j<77，0）和（77,77）的三角形闭
区域。
m（1
（x24—V2）d（T=fdxf（X2-hV2）dV
dx
jfh
（2）D可用不等式表示为
于是
2r2-x
3xy+y2］l～xdx=｜（4+2x—2x2）dx
20
（3）
（+3x2y+y3）da=d〉（文3+3。
r2v+、、）ch.
+xy+v"jc
di
（4）l）可用不等式表示为
0^V^A：
，0^。
t^7T。
于是
|a：
cos（jc+y）da=Icos（.v+v）di
［sin（。
t+y）］q（）^=Jv（sin2。
v—sin.v）<1xx（\（cos.v—丄（.〈，s2.v）
卜（
1X（—
TTrTX
cos。
v-—rus
TT。
＆2。
_出枳分ix：
域,斤i卜r）：
v列m分：
（1）J^^do■，其中/）是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域；
D
（2）jfxy2dcr，其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域;
I）
（3）JV+’dcr，其中/）=I（％，）•）｜|A；｜+｜J｜^1！
;
D
（4）|”U2+/-x）〈lo•,其中D是由直线y:
l、y二xh：
2＊所围成的闭区域.
D
解
（1）0可用不等式表示为
x2^y^J^，0矣x矣1（图10-2）。
于是
（2）
0«^^/4—y2，-2矣7矣2（图10—3），
D可用不等式表示为
（3）如阁I（）—4，W=/\U”2，其中
/〉1=\（x，y）\—x-\^y^Jc+1,-1^a;^0｜，
I）2=\（x，y）｜＊-1+
因此
Ea3。
如果二重积分｜/（.r，y）心办的被积函数/（x，v）是两个函数/］（O及）的乘
n
积，即/（X，y）=f\（x）./“y），积分区域/）=｛（.V，y）I（1^V^/>,r^,证叫
这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即
｜*/｜U）—/2（r）flatly=［J/,（.v）（l.v]—［［/：
（>）^v］—
证Jj。
/1（x）•.，2（/）dvdV～J［fJ\（v）■./:
t^］l^x*
在上式右端的第一次单枳分f/,（。
V）•/2（.V）dv中，。
/,（A。
）1Jfut变招：
、无关，nn见为常数提到积分5外，W此上式“端笏T
而在这个积分中,由于f/2（y）dy为常数，故又可提到积分号外，从而得到
•f2<，y）^xAy=[｜/2（y）dj]—[Jn/,（x）dx]
证毕。
^4.化二重积分
/=Jf（x,y）da
I）
为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域£>是：
（1）由直线及抛物线y2=4x所围成的闭区域；
（2）由x轴及半圆周/+y2=r2（y英0）所围成的闭区域；
（3）由直线y=x，;c=2及双曲线：
k=^-（＊〉0）所围成的闭区域;
X
（4）环形闭区域IU，y）｜1+y2^4（.
解
（1）直线y=x及抛物线y2=4;c的交点为（0,0）和（4,4）（图10—6）.于是
fix
/=j[dy^/（*，y）tk.
f（x,y）dy，
（2）将/）用不等式表示’fyO^y^r2—x2，-r^W/•，于是可将/化为如下的先对y、后对＊的二次积分：
r
/=J（1文Jf（x，y）（\y；
如将0叫不等式表示为～Vr2-y2^x^Vr2-y2,0各/•，则可将/化为如卜的先对*、后对y的二次枳分：
dr
x,y）dx。
（3）如图10—7.
：
条边界曲线两两相交,先求得3个交点为（1,1），2,y和
（2，2）.于是
dy（i_/（^，y）+tlj/（x，y）dx。
｜dxj［f（x，y）dy。
注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线的情况,选取恰当的积分次序。
本题中的积分区域/）的上、下边界曲线均分别由-个方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先对y、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分。
需要指出，选择积分次序时,还需考虑被积函数/U,y）的特点。
具体例子n]'见教材下册第144页上的例2。
dx
•\/4
J\xyy）dy+d.vl
（1%
/T
/（A：
y）clr+d.vl
■ya—x2
/（。
r，v）d>—f/（。
vVv）dv。
/（.v，v）d。
v—f
.\/4-、
/（\,>）d。
v-f
厂、/4—、•'
•I
-v^W”
/（v,y）（l。
\。
（4）将D按图10-8（a）和图10—8（1>）的两种不同方式則分为4块，分別得
图10—8
，5.设/U,y）在D上连续,其中/）是由直线;==所围成的闭区
域，证明
x，r）d。
t。
dx｜f（x，y）Ay
证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U，y）do•，因而它们相等。
I）
^6.改换下列二次积分的积分次序:
（5）（lx\f{x，y）Ay\
广2fyix—x2
（4）｜叫2f｛x,y）dy-，
fix/-sinx
（6）IAx\J（x，y）Ay.
JOJ-siny
（2）J）dj|：
f（x，y）dx；
解（丨）所给二次积分等于二重积分J［/U，；k）（^,其中o=丨h,y）1°^^^r—
”
0^j^I（./〉n|■改写为｜Uj）|＊矣y矣1，0^^I｜（罔10—9）,于是
原式=丄（2）所给一.次枳分等于二'Ti积分｜/U，y）山,.K：
中/）=I|。
y2^^<2y，
0
0^21。
MI）njm为{u’y）I音矣j^7^,0^x在4）（1冬11（〉—I0），W此
原式=J,i\xjy/（x，y）i\y。
（3）所给二次积分等于二重积分。
其中D=：
（。
v.v）｜-V1
-y2^
.V^1
＄、飞
V彡1
U
X^J1—y2，0彡〉•彡1；•又D可表示为：
（JC，）＊）丨0彡y彡V1—。
r2,—1=（图10—11），因此
f1fV1—X～
原式=J^dxj/（x，v）dy.
（4）所给二次积分等于二重积分其中D=：
（.v.v）'2—
h
s/lx-x1%\彡.r彡2:
.又D可表示为：
（a:
v）｜2—1彡.t•彡1+Y1-v2,0:
（图10—12），故
原式=丄d）jf（x％y）dx。
（5）所给二次积分等于二重积分］｜/（.10）（1^,）1：
中/）=1（.v。
v）|0^v^
I）
x彡e|•又/）可表示为|（a：
，＞•）｜e、彡a•彡e，0彡、彡1i（｜劄10—1，故
原式=L（I.、|，./X.、，。
、）（l。
v。
（6）m1（）—14，将积分|〉<:
域/）丧示为/）,U/）2，其中A），=jU，、）|arcsin>^
/（x，y）dx.
y
广1rir-arcsin>
原式=Idyf（xyy）c\x
JOJarcsin）
tt—arcsiny，0彡y彡1|1，D2=|（.r,y）
一2arcsin,一1彡）’彡0|。
于是
^7。
设平面薄片所占的闭区域D由直线；t=2，y=和；r轴所围成，它的面密度
/x（.t,v）=x2+y2,求该薄片的质量.
解D如图10-15所示.所求薄片的质
rt
-x+xy
dr
M=jJ/Lt（x9y）dcr=^dyj（x2+y2）dx
Ay
r［+（2"）3+2，
～d\2x
12
｜冬｜10—15
c\）’'ixe|o»•Y=sinA的反闲数足A=iirrs»My——1x
足ihy-hinx=sin（tt—x）"n！
Jtt—x^arcKiny，从ifii得反闲数^
（子•中,TT
tt—iin-Hiny.
8.i｜灯｜l｜四个平而a:
=0,y=0，；t=I,v=I所闲成的柱休被平面z=0及2.r+3y+z6藏得的立休的体积。
解江力一EJ.它？
？
芪是；c0：
.S二苎泛7:
省•。
=X.；，0矣二矣
0^;。
€1。
了是芒-2x-3:
。
F10-］6。
g-护不二歹
l=|（6-2j:
—3；.dxdv=dx6—lx—5•.d’.
Sa9.求由平面a：
=0,y=0，^+:
，•=]所围成的柱体被平面z=0及拉物面;c:
，:
.：
=6—:
£.得的」/。
体的体积.
解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOv面上的闭区域D=.0«^1-：
，.
顶是曲面Z=f）—，故体积
V-（I6—^x2+y2）dx（\y
6（1-x）-x2+-—f1
广1广1—戈
dx^（6-x~
\1_
6"＊
10—17
m10-18
H.r
这10。
求由曲面+2/及z=6-2x2_y2所围成的立体的体积。
_2^2
解由=T+'｝’消去z，得；c2+y2=2，故所求立体在面上的投影U=6—2x2—j2
区域为
D=|（x,y）｜x2+〆矣2|（图10—18）.所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差:
V=（6-2x2—y2）dcr—x2+2y2）dcr
l）I）
=JJ（6—3^r2—3y2）da=jj（6-3p2）pdpd0
/-2tt
d0[（6-3p2）pdp=6tt。
注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域,并知道立体的底和顶的方程，这就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识•
y11。
両出积分区域，把积分J[/（A：
y）d;cdy表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区
U
域D是：
（1）\（xyy）\X2+y2^a2I（a>0）；
（2）|{xyy）\x2+y2^2^|；
（3）|（x，y）｜a2彡x2+y1彡62|，其中0〈a<6；
（4）j（xyy）|0^j^1-x,0^x1|。
解
（1）如图10-19，在极坐标系中，0=｜（p，0）|0彡p彡a，0彡（9彡2tt1，故
^j\x,y）AxAy—jj/（pcos0，psin6）pdpd0
/—2tTr〈l
（1^1/（pcos0，psin0）pAp.
（2）如图10—20，在极坐标系中,
l）=（p，0）
jjy（x,y）dxdy=jj/（pcos0,pain0）pdpdO
i）i）
—y＊y。
2coH0
=J，d^j）/（pros0，psin6»）p
（3）如图10-21，在极坐标系中，/）=\（p，6、彡p彡/），0彡0彡2tt,故
=J/（pcos0，psin0）pdpd0
/-2-it
（id/（pros0,psin0）pdp。
（4）D如图10-22所示.在极坐标系中，直线x
的方程为p
sin0+cos0
—于是
sin6+cos62J
f（x,y）dxdy=jj/（pcos0，psin6）pdpd0n
V
C,in•n«
^/（pcos0,psin6）pdp。
）\
p=b
（r
P=^\
-bl—aVO
jyhx
10-22
图10-21
12。
化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
（1）丄心丄/（d'HIv；
2〉/3\
（2）（｜.vf/（/r'+v2）
解
（1）如图10-23，用直线7=*将积分区域£〉分成£>1，102两部分：
{（p,0）
（p，e）
于是
l—X，sec6rYrcsc8
原式=［d0［_/（pcos6,psin6）pdp+Ld^l/（pcos0,psind）pdp.
（2）D如图10-24所示。
在极坐标系中，直线x=2,射线和;r=^x（x^0）的方程分别是p=2sec6,6=•^和0=•因此
|（pyO）
0^p^2sece,f^6^f｝。
又f（Vx2+y2）=f（p）,于是
f—Yy。
2sec0
原式=d0j）/（p）pdp-
（3）D如图1（）—25所示。
在极坐标系中，直线；K=1_x的方程为P=
1,圆；k=-/l—x2的方程为p=1,因此
sin0+cos6
（p，e）
原式
sin0+cos6
于是
/（pcos6，psin0）pdp。
（4）/）如图10—26所示。
在极坐标系中，直线＊=1的方程是/〉=sec心抛物线y=/的方程是psin0=p2c:
os2（9，即p=tan伽e（.0；从原点到两者的交点的射线是沒=
rTrser0
D=〈（p，6）
7T
于是
JlanO^ec0
原式=[d沒/（pcos6，psin6）pdp。
（"A
.s/lax
‘A：
+
y2）dj；
rti。
v；
（3）［dxi（x2+/）-了dy
（4）d〉
（.r2+y2）cIa
解
（1）积分区域D如图10—27所示。
在极坐标系中，
0=ip,6）
0^p^2aros0,0^L
于是
r2/*2fl<'OSf）/•j•—＊4
原式=ideip2'pdp=i
4aA[c（、s40（W=4aA
IT
i\0
注在多元函数积分学的计算题中，常会遇到定枳分sin'4如和j/，-os^，）^。
|M此i己住如下的结果是有益的：
r//-I^-33ITT、j,-/…似
•r了••T”，n匆I［。
偶数，
（2）m10—28，在极坐标系中，
TT
i13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
i
于是
T/-rtsec0
d6»j）p-pAp=yj^secJ6»d6〉
=——[sec^tan6+ln（sec6+tand）]46o
=~~［+ln（J2+1）].
o
0^^tanOsec0,0^f）J—
（3）积分区域D如图10-29所示。
在极坐标系中,抛物线y=X2的方程是psin沒p:
cos2沒，即p=tan6sec0；射线y=A；（:
t彡0）的方程是0=子，故
"=\（
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