矩阵特征值与特征向量的计算Word文件下载.docx
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=L得1
1lim0λλ+→∞⎛⎞
=⎜⎟
kiiikau,于是1
21lim0λλ+→∞
=⎛⎞
=⎜⎟⎝⎠
∑kn
iiikiau
故只要k充分大,就有（1
111
111121[]λλ
λ+++=⎛⎞
=+≈⎜⎟⎝⎠
∑n
kkkiiii1λxauauau因此,可以近似作为与（1+kx1λ相应
的特征向量。
下面我们通过特征向量来计算特征值1λ。
用（kix表示的第i个分量,由于
（kx（11111（
111（（λλ++≈kkiikkiixaxauu,所以（1
1（（1,2,,λ+≈=Lkiki
xinx上式这种由已知非零向量及矩阵（0xA的乘幂构造向量序列k
A{}
（kx用来计算矩阵A按模最大的特征值1λ与对应的特征向量的方法称为幂法。
例1用幂法的规范运算求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=1439A
幂法的收敛速度取决于比值
2
λλ,比值越小,收敛越快。
反之,则很慢。
此外,当矩阵A无个线性无关的特征量时,幂法收敛很慢,亦应考虑改用其它方法。
n二、反幂法
分析反设A为阶非奇异矩阵,×
nn,uλ为A的特征值与相应的特征向量,即λ=Auu,由于,
11
λ
−=
Auu,所以1A−的特征值是A的特征值的倒数
λ1
而相应的特征向量不变。
如果A的特征值的次
序为
12nλλλ≥≥≥L,则1A−的特征值为
λλλ≥
≥≥
−Lnn
因此,若对矩阵1
A−用幂法,即可
计算出1
A−的按模最大的特征值
从而求得A的按模最小的特征值nλ。
这就是反幂法的基本思想。
因为反幂法的来源
反幂法计算的主要步骤如下:
1.对A进行三角分解;
2.求整数LUA=r,使得（
（（1max,kkr
i
in
kr
x
α≤≤==x
计算（
α
=
kkxy
;
3.解方程组
+⎧=⎪⎨=⎪⎩kkLzy
Ux
z例2用反幂法求矩阵的最接近⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡−−−=72321333
12A13−的特征值,并求相应的特征向量。
§
2Jacobi
方法
Jacobi方法的基本思想是:
构造特殊的正交矩阵序列,通过正交变换,使A的非零的非对角元素逐次化成零,并且使得非对角元素的平方和减小。
从而使该矩阵近似为对角矩阵,得到全部特征值和特征向量。
一、矩阵的旋转变换
Jacobi方法的关键是如何构造正交矩阵?
先分析简单例子。
对二阶矩阵,只做依次正交变换,选择适当角ϕ,就可将A对角化。
将这种思想推广到维情况,设nA为阶实对称矩阵,考虑nn
R中平面旋转变换矩阵
11cossin1（1sincos11ijVϕϕϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
−⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦OLMOMLO
它是将n阶单位阵中对角线上第i和第j个元换成cosϕ,非对角元和分别换或sinijVjiVϕ和
sinϕ−而得到的,容易验证,（ijVϕ是正交矩阵,若记（1（1
（Tijijij
AVAVa==则有（1
22（122
（1（1（1（1
（1cossinsin2sincossin2cossin（,
sincosiiiijjijjjiijjijikkiikjkjkkjikjkklaaaaaaaaaaaakijaaaaaϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=++=+−==+≠==−+（1
（1（1
（,,1（sin2cos2
2lkklijjkjjiiijaaklijaaaaaϕϕ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪==≠⎪⎪==−+⎪⎩
如果,取0ija≠ϕ使得2tan2（4
ijiijj
aaaπ
ϕ=
<
−则有（1
（10ijjiaa==,这样,就得到一个使A中非
零的非对角元素变成零的正交相似变换。
对重复上述过程,可得,如此继续下去,得到
一个矩阵序列{=ijjiaa（1A（2
A}
（kA。
可以证明由上述方法构造的旋转矩阵对变换后,就会使非对角元的平方和严格
单调递减,而对角元的平方和单调递增。
kA二、Jacobi方法
通过一系列旋转相似变换将A变成（1
+kA,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。
计算过程如下:
（1令;
（2求整数（
0,kkA==Aji,,使得（
1,,max
kijlm
lmnlm
a≤≤≠=ka;
（3计算旋转矩阵（4计算;
（5计算（1
+kA
（12（（kklmlm
EA
a++≠=∑,（令∑≠=l
kklaAE2
（6若（1
（kEA
ε+<
则为特征值,的各列为相应的特征向量;
否则,返回2,重复上述过程。
（1（1（1
1122,,,kkknn
aaa++L+k（0（1（kQVVV=L1k+⇒
数值计算方法教案----第九章矩阵特征值与特征向量的计算
定理1设A为阶实对称阵,对nA用经典Jacobi方法得到序列{}
（kA,其中（0
=A
A,则
（lim（0kkEA→∞
=例3用Jacobi方法求对称矩阵的全部特征值。
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=612152224A小结:
1.幂法的基本思想;
2.幂法的应用;
3.反幂法的基本思想及应用;
4.Jacobi方法
作业:
习题9第1,2,3题
3方法
QR教学目的与要求:
掌握用QR方法求矩阵特征值与特征向量的方法。
QR■教学内容:
QR方法是计算一般中小型矩阵全部特征值与特征向量的最有效的方法之一。
它是以矩阵正交三角分
解为基础的一种变换方法。
这里仅讨论实矩阵,并假定矩阵非奇异。
一、矩阵的QR分解
定理9.2任一非奇异实矩阵都可以分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R乘积,而且当R的对角元素为正时,分解是惟一的。
对矩阵作QR分解的方法有多种,下面以Schmit正交化方法为例证明。
证明设A为阶非奇异实矩阵,将矩阵nA写成分块形式
12[]=LnAaaa
其中,因为A非奇异,所以线性无关。
=ja12（,,,
（1,2,,jjnjaaajn=LL12Lnaaa取111aab=,
显然11222bbaab>
−=′,12′⊥bb,取222/′′=bbb,则12121,,0==〈〉=bbbb。
一般地,取
−=′=−〈〉∑kk
kkiibaabbi/（2,3,,′′==Lkk
kbbbkn
则向量组正交,且12,,,Lnbbb1（1,2,,==Lkbkn。
式（9-13可改写成
1111,,−−′=〈〉++〈〉+Lkkkkkk
aabbabbbbk于是
2112
12121,,[,,,][,,,]0
−⎡⎤
〈〉〈〉⎢⎥′⎢
⎥
⎢
⎥==⎢⎥′⎢⎥⎢⎥′⎣⎦LLLOL
nnnn
aababbAaaabbbbbMQR=
这就是用Schmit正交化方法对矩阵进行分解的过程。
QR二、基本QR方法
基本方法的思想是利用矩阵的QR分解,通过迭代格式
QR
2,1（
1（
（L=⎪⎩⎪⎨⎧==+kQRA
RQAkkkk
kk将化成相似的上三角阵（或分块上三角阵,从而求出矩阵（1
=AAA的全部特征值与特征向量。
具体计算步骤为:
令,对作分解
A
=A（1AQR（111AQR=
令（211ARQ=,作分解
QR（222AQR=重复上述过程,得迭代公式
（（1
（1,2,kkk
kkkAQRkA
RQ+⎧==⎨=⎩L这样可以得到矩阵序列{}
（kA,并且矩阵是相似矩阵。
事实上:
由（111AQR=可得,于是
11QAR−=1（211111ARQQAQ−==
数值计算方法教案----第九章矩阵特征值与特征向量的计算即A（2与A相似。
同理可得，A（k~A（k=2,3,L，故它们有相同的特征值。
有上述方法构造正交相似矩阵的方法称为基本QR方法。
在一定条件下，矩阵序列A（k收敛于一个上三角阵或分块上三角阵，且对角块为1×
1矩阵或2×
2矩阵，其中1×
1矩阵对角元素为A的实特征值，2×
2矩阵含有A的一对复特征值。
特别地，如果A是实对称阵，则A（k收敛于对角矩阵。
另外，当K充分大时，A可以作为A的特征值的近似。
{}{}（k的主对角元（或主对角子块的特征值）就52511032的特征值。
例5用基本QR方法求矩阵A=02231200解令A（1=A，对A（1作QR分解A（1=Q1R10.98060.03770.19230.10385.09921.96125.49120.39220.19610.188040.88040.41920.00002.03811.58522.5288×
=0.00000.98132.52423.27360.17610.07400.00000.00000.00000.78220.39620.89890.00000.00000.00000.0000然后，求得A（2=R1Q1，作QR分解A（2=Q2R2，一直下去，得到***4.00001.87893.5910*A12=1.32900.1211*1.0000所以，A的一个特征值为4，一个特征值为1，还有一对复特征值是方程1.8789λ1.329023.59100.1211λ=0的根，即λ2λ1.8789×
0.12111.3290×
（3.5910=0，得λ≈1±
2i。
事实上，矩阵A特征方程为λ45λ3+7λ27λ20=0，其特征值为4,1，1±
小结：
基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。
因此实
数值计算方法教案----第九章矩阵特征值与特征向量的计算际计算时，总是先用一系列相似变换将A化成拟上三角矩阵（称为上Hessenberg矩阵），然后对此矩阵用基本QR方法。
这样可减少运算量。
下面介绍一种化A为相似的拟上三角阵的方法：
Householder变换。
作业：
习题9第8，12题★数值实验：
1．程序设计基础知识：
求A的全部{特征值、特征向量}:
Eigensystem[A]求A的数字特征值Eigenvaluse[A]求A的特征向量组:
Eigenvectors[A]求A的特征多项式：
Det[A-x*IdentityMatrix[3]]Clear[A,x]A={{1,2,1},{-1,2,1},{0,4,2}};
MatrixForm[%]Eigenvalues[A]Eigenvectors[A];
MatrixForm[%]Det[A-x*IdentityMatrix[3]]Eigensystem[A]2102．用幂法求矩阵A=021按模最大特征值λ1和对应的特征向量x1012取初始向量V0=（0.5,0.5,1.1TA={{2,-1,0},{0,2,-1},{0,-1,2}};
MatrixForm[%]vx={0.5,0.5,1.1};
Do[vy=A.vx;
Print[k,"
"
vy,"
vy[[1]]/vx[[1]],"
vy[[2]]/vx[[2]]];
vx=vy/Max[Abs[vy]],{k,1,15}]Eigensystem[A]
数值计算方法教案----第九章矩阵特征值与特征向量的计算210用反幂法求矩阵A=021按模最小特征值λ1和对应的特征向量x1012A={{2,-1,0},{0,2,-1},{0,-1,2}};
MatrixForm[%]y={0,0,1.};
Do[x=LinearSolve[A,y];
y=x/Max[Abs[x]],{k,1,20}]Eigensystem[A]"
x,"
y[[1]]/x[[1]]];
★知识拓展及课题研究（适合研究生）：
课题1：
利用极小值原理设计广义特征值算法，并评价其数值性质课题2：
设计雅可比型的奇异值算法并评价其数值性质要求阅读的文献：
【1】广义Jacobi矩阵特征值反问题《大连交通大学学报》2008文章简介：
提出广义Jacobi矩阵特征值反问题,也就是次对角线元素乘积为正的Jacobi矩阵的特征值反问题,问题IEPGJM:
①给定两个互异实数λ,μ（λ<
μ和两个n维非零实向量x,y,求n阶实广义Jacobi矩阵J=[ai,bi,kbi],使得Jx=λx,Jy=μy;
②给定3个互异实数λ,μ,γ,和3个n维非零实向量x,y,z,求n阶实广义Jacobi矩阵J=[ai,bi,ci],使得Jx=λx,Jy=μy,Jz=γz.文中给出了问题解的表达式,提供了一个数值例子.【2】一个特征值问题的谱理论《华北水利水电学院学报》2002文章简介：
考虑一特征值问题,通过渐近估计理论,得到了正谱问题及反谱问题的谱理论【3】大型广义特征值问题的部分特征值和特征向量的块迭代求解《物理化学学报》2008文章简介：
将求解标准特征值问题的Davidson方法推广到求解大型广义特征值问题,并给出了相应的块迭代算法.经过理论分析和数值计算发现,如果迭代过程不发散,则块迭代算法经过有限次迭代一定收敛.设矩阵的维数为n,要求的特征值和相应特征向量的个数为k,初始的子空间大小为r（r≥k,迭代次数为m,则它们之间满足关系n=r+km.通过调节子空间大小,就得到迭代次数m的正整数解.
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