高等数学经管类下林伟初郭安学主编复旦大学出版社课后习题答案Word格式文档下载.docx
《高等数学经管类下林伟初郭安学主编复旦大学出版社课后习题答案Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学经管类下林伟初郭安学主编复旦大学出版社课后习题答案Word格式文档下载.docx（229页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
（1）x－2y=1；
（2）x2+y2=1；
（3）2x2+3y2=1；
（4）y=x2.
（1）表示直线、平面。
（2）表示圆、圆柱面。
（3）表示椭圆、椭圆柱面。
（4）表示抛物线、抛物柱面。
习题7-2
1.下列各函数表达式:
xy
（1）已知f（x,y）=x2+y2,求f（xy,）；
（2）已知f（xy,）x2y2,求f（x,y）.
xy
（1）f（xy,）（xy）2（）2x2xyy2
（2）f（xy,）x2y2（xy）222
所以f（x,y）x22y2
2.求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形：
122
（1）zsin；
（2）z
1x
x2y21
1x
y1;
（3）f（x,y）
ln（xy）；
（4）
arcsin（3x2y2）
xy2
f（x,y）
（1）由x2y210可得x2y21
故所求定义域为D={（x,y）|
（2）由
x2y21}表示xOy平面上不包含圆周的区域。
可得
1x20
y210
1x1
y1或y1
故所求的定义域为D={（x,y）|
（3）由
1x1且y1或y1}，表示两条带形闭域。
1x0
xy0
可得
x1
yx
标x1的部分。
（4）由
x1且yx}，表示xOy平面上直线y=x以下且横坐
13x2y21
xy20
2x2y24
y2x
故所求的定义域为D={（x,y）|2x2y24且y2x}。
3.说明下列极限不存在：
3
（1）limxy；
（2）
x0xy
y0
limxy.
x0x6y2
y0
（1）当点P（x,y）沿直线y=kx趋于点（0,0）时，有
lim
xylim（k1）xk1。
（x,y）（0,0）xy
ykx
x0（k1）xk1
显然，此时的极限值随k的变化而变化。
因此，函数f（x,y）在（0,0）处的极限不存在。
（2）当点P（x,y）沿曲线ykx3趋于点（0,0）时，有
x3y6
kx
lim
k。
（x,y）（0,0）x6y2
x0（k21）x6
k21
4.计算下列极限：
x
（1）limey；
y1
（x,y）（0,3）
sin（xy）;
（3）lim
（x,y）（0,0）
sin（x3y3）
xy
；
exy
lim.
xy42
（x,y）（0,0）xy
（1）因初等函数f（x,y）
在（0,1）处连续，故有
limeye012
（2）
x0xy
y1
sin（xy）
01
sin（xy）y3
（x,y）（0,3）x（x,y）（0,3）xy
3333
（3）
（4）
（x,y）（0,0）
sin（xy）
xy42
（x,y）（0,0）
sin（xy）（x2xyy2）0
（xy42）（xy42）
xy（xy42）
x3y3
11。
（x,y）（0,0）xy（x,y）（0,0）（x,y）（0,0）4
5.究下列函数的连续性：
22
xy,（x,y）（0,0）
（1）f（x,y）xy
0,（x,y）（0,0）
x2y2
（2）f（x,y）x2y2,（x,y）（0,0）
（1）
x2y2xy
lim（xy）0f（0,0）
所以f（x,y）在（0,0）处连续.
x2y2
x2kx2
1k2
（2）lim
lim
x2y2x0x2k2x21k2
该极限随着k的取值不同而不同，因而f（x,y）在（0,0）处不连续.
6.下列函数在何处间断？
1x2y2
1
（1）z；
x2y2
zln.
（1）z在{（x,y）|xy}处间断.
（2）z在{（x,y）|
x2y21}处间断.
1.求下列函数偏导数：
（1）z=x3+3xy+y3；
习题7-3
siny2
zx;
（3）zln（x3y）；
z
zxylnxy（x0，y0,x1）
（5）uxy；
（6）ucos（x2y2ez）
z3x23y,z3x3y2.
2
2y.
（2）zsiny,z1cosy2
xx2yx
（3）z1,z3.
xx3yyx3y
（4）zyxy1yyxy11,zxylnx1.
y2
xxyxyy
（5）uzx
z
z1
y
uxy
lnx
uxylnx
zy
2x,
（6）usin（x2y2ez）
zsin（x2y2ez）（2y）2ysin（x2y2ez）.
（ez）
usin（x2y2ez）
ezsin（x2y2ez）
2.求下列函数在指定点处的偏导数：
（1）f（x,y）=x2－xy+y2，求fx（1,2），fy（1,2）;
（2）f（x,y）arctanxy;
求f
xyx
（1,0）
（3）f（x,y）ln
sin（x
21）earctan（xxy）
;
求fx（1,2）；
（4）f（x,y,z）ln（xyz）,求fx（2,0,1）,fy（2,0,1）,fz（2,0,1）.
fx（x,y）2xy,fy（x,y）x2y.
fx（1,2）220,fy（1,2）143.
f（x,0）arctanx,故f（x,0）1
x1x2
因此f（1,0）11.
x112
122arctan（xx4）
（3）f（x,2）2ln（x4）sin（x1）e
因此
f（x,2）12xcos（x21））
x2x24
2x12x
sin（x21）earctan（xx4）
1（x2
x24.
x24）2
所以f（1,2）12earctan（15）.
x5
（4）f（x,y,z）1,f（x,y,z）z,f（x,y,z）y.
xxyzy
xyzz
xyz
故f（2,0,1）1,f（2,0,1）1,f（2,0,1）0.
x2y2z2
3．设r
2y2z
，证明：
r
（1）
y
z
1;
2r2r2r2
（2）;
x2y2z2r
2（lnr）
2（lnr）1
x2
.
z2r2
证明：
rx
x,
r
利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：
r
y,r
z.
（1）r
r
xyzr
rzr
2222222
zr2r21
rx
2rrxxrr
r2x2
x2r2
r2r3
rry,rrz
y2r3z2r3
2r2r2r3r2x2y22r22
x2y2z2r3
r3r.
（3）lnr1ln（x2y2z2）,（lnr）xx
x2
xr
r2x
r4
xx2y2z2
22x2
r2
r22y2
r22z2
y2r4
.
z2r4
2（lnr）2（lnr）2（lnr）3r22（x2y2z2）1
.
z2
2z
2z
r4r2
4.求下列函数的二阶偏导数,,：
x2y2yx
（1）z4x33x2y3xy2xy；
（2）zxln（xy）.
（1）z12x26xy3y21,z24x6y.
z2
2z
y3x
6xy1,6x.
z12z1xyxx2y
（2）xln（xy）xxy,x2xy（xy）2
.
（xy）2
zx2zx
yxy,y2（xy）2.
5.某水泥厂生产A,B两种标号的水泥，其日产量分别记作x,y（单位：
吨），总成本（单位：
元）为
C（x,y）=20+30x2+10xy+20y2,
求当x=4,y=3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义.解：
Cx（x,y）60x10y,Cy（x,y）10x40y,
Cx（4,3）270,Cy（x,y）160.
经济含义:
当A,B两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B水泥产量不变，而A水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；
如果A水泥产量不变，而B水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。
6.设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为
Q=400－2p+0.03y.
求当p=25,y=5000时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.解：
Qp（p,y）2,Qy（p,y）0.03,
Qp（25,5000）2,Qy（25,5000）0.03.
价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品
的需求量将增加0.03；
如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.
1.求下列函数的全微分：
（1）z=4xy3+5x2y6；
习题7-4
z
（3）u=ln（x－yz）；
uxsinyeyz
z4y310xy6,z12xy230x2y5,
所以dz2y3（2+5xy3）dx6xy2（2+5xy3）dy.
（2）z
x,z
1x2y2
y,
所以dz
xdx
ydy.
（3）u1,uz,uy,
xxyzyxyzzxyz
所以du1dxzdyydz.
xyzxyzxyz
（4）u1,u1cosyzeyz,uyeyz,
xy22z
所以dudx（1cosyzeyz）dyyeyzdz.
2.计算函数z=xy在点（3，1）处的全微分.
zyxy1,zxylnx,
所以dzyxy1dxxylnxdy.
dz（3,1）dx3ln3dy.
3.求函数z=xy在点（2，3）处，关于Δx=0.1，Δy=0.2的全增量与全微分.
zy,zx,所以z
3,z
2,
x（2,3）
y（2,3）
zz
xz
y0.30.40.7
（2,3）
dz3dx2dy.
4.计算（1.04）2.02的近似值.
设函数f（x,y）=xy.x=1,y=2,Δx=0.04,Δy=0.02.f（1,3）=13=1,fx（x,y）=yxy-1,fy（x,y）=xylnx,
fx（1,2）=2,fy（1,2）=0.
由二元函数全微分近似计算公式（7-18），得
（1.05）3.02≈1+2×
0.04+0×
0.02=1.08.
5.设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20cm，内半径为4cm，容器的壁与底
的厚度均为0.1cm，求容器外壳体积的近似值.
解设圆柱的直径和高分别用x，y表示，则其体积为
Vf（x,y）π（x）2y1πx2y.
24
于是，将所需的混凝土量看作当x+Δx=8+2×
0.1，y+Δy=20+0.1与x=8，y=20时的两个圆柱体的体积之差ΔV（不考虑底部的混凝土），因此可用近似计算公式
ΔV≈dV=fx（x,y）Δx+fy（x,y）Δy.
又fx
（x,y）1πxy,f
2y
（x,y）1πx2，代入x=8，y=20，Δx=0.2，
4
Δy=0.1，得到
VdV18200.21820.117.655.264.（m3）.
因此，大约需要55.264m3的混凝土.
习题7-5
1.求下列函数的全导数：
（1）设z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求导数dz；
dt
（2）设z=arctan（u－v）,而u=3x,v=4x3,求导数dz;
dx
（3）设z=xy+sint,而x=et,y=cost,求导数dz.
（1）
dzzduzdv
dtudtvdt
3e3u2v2t2e3u2v（sint）
6te3t2cost2sinte3t2cost
（2）dzzduzdv
dxudxvdx
13112x
1（uv）21（uv）2
3（14x）.1（3x4x3）2
（3）dzzdxzdyz
dtxdtydtt
yet
x（
sint）c
cotsetetstintc
2.求下列函数的偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）：
（1）设z=u2v－uv2，而u=xsiny,v=xcosy，求z和z；
（2）设z=（3x2+y2）4x+2y，求z和z；
（3）设u=f（x,y,z）=ex+2y+3z,z=x2cosy，求u和u；
（4）设w=f（x，x2y，xy2z），求w,w,w.
（1）zzuzv（2uvv2）siny（u22uv）cosy
xuxvx
（x2sin2yx2cos2y）siny（x2sin2yx2sin2y）cosy
zzuzv（2uvv2）xcosy（u22uv）xsiny
yuyvy
（x2siny2x2
c2osyx）cyos2x（2
syin2x
syin
（2）令u3x2y2,v4x2y,则zuv.
zzuzvvuv16xuvlnu4
6x3x2y24x2y143x2y24x2yln（3x2y2）
zzuzvvuv12yuvlnu2
xuyvy
2y3x2y24x2y123x2y24x2yln（3x2y2）
（3）wff2xyf
y2z
x123
w2
yf2xf32xyz
wf
z3
⋅
xy2
xy
3.应用全微分形式的不变性，求函数zarctan1xy的全微分.
令uxy,v1xy,则zarctanu
v
dzd（arctanu）11du1udv
v1（u）2v1（u）2v2
vv
而dudxdy,dvydxxdy
故dz11[dxdy（xy）（ydxxdy）]
xy21xy
11xy
1xy
dxdy
.1x21y2
4.已知sinxy－2z+ez=0,求z和z..
两同时对x求偏导，可得
ycosxy2zezz0.
xx
故zycosxy.
x2ez
两边同时对y求偏导，可得
xcosxy2zezz0.
yy
故zxcosxy.
y2ez
5.若f的导数存在，验证下列各式：
（1）设u=yf（x2－y2），则y2uxyuxu；
（2）设zxyxf（y），则xzyzzxy.
xxy
证：
uyf'
（x2y2）2x,uf（x2y2）2y2f'
（x2y2）.
所以y2uxyuy3f'
（x2y2）2xxy[f（x2y2
升级会员 