二次函数知识点及经典例题详解最终Word格式.docx

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x=0时，y有最小值c．

x=0时，y有最大值c．

3.y=a（x-h）2的性质：

左加右减。

（h，0）

X=h

h时，y随x的增大而增大；

h时，y随

x=h时，y有最小值0．

h时，y随x的增大而减小；

x=h时，y有最大值0．

4.y=a（x-h）2+k的性质：

（h，k）

x<

x=h时，y有最小值k．

x=h时，y有最大值k．

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k，确定其顶点坐标（h，k）；

⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：

2.平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；

k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

四、二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2+bx+c的比较

从解析式上看，y=a（x-h）2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得

到前者，即y=a

+

，其中h=-

，k=

五、二次函数y=ax2+bx+c的性质

当a>

0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-

顶点坐标为

.

当x<

-

时，y随x的增大而减小；

当x>

-

时，y随x的增大而增大；

当x=-

时，y有最小值

.

2.当α<

0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-

顶点坐标为

.当

x<

时，y随x的大而增大y;

当随x>

时,y随x的增大而减小;

时,y有最大值

六、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：

y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；

2.顶点式：

y=a（x-h）2+k（a，h，k为常数，a≠0）；

3.两根式（交点式）：

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

⑴当a>

0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵当a<

0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

2.一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）

3.常数项c

⑴当c>

0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶当c<

0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

八、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：

①当∆=b2-4ac>

0时，图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1≠x2），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．

②当∆=0时，图象与x轴只有一个交点；

③当∆<

0时，图象与x轴没有交点.

1'

当a>

0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>

0；

2'

当a<

0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<

0．

2.抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

中考题型例析

1.二次函数解析式的确定

例1求满足下列条件的二次函数的解析式

（1）图象经过A（-1,3）、B（1,3）、C（2,6）;

（2）图象经过A（-1,0）、B（3,0）,函数有最小值-8;

（3）图象顶点坐标是（-1,9）,与x轴两交点间的距离是6.

分析:

此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.

（1）解:

设解析式为y=ax2+bx+c,把A（-1,3）、B（1,3）、C（2,6）各点代入上式得

解得

∴解析式为y=x2+2.

（2）解法1:

由A（-1,0）、B（3,0）得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为（1,-8）.

设解析式为y=a（x-h）2+k,即y=a（x-1）2-8.把x=-1,y=0代入上式得0=a（-2）2-8,

∴a=2.即解析式为y=2（x-1）2-8,即y=2x2-4x-6.

解法2:

设解析式为y=a（x+1）（x-3）,确定顶点为（1,-8）同上,把x=1,y=-8代入上式得-8=a（1+1）（1-3）.解得a=2,

∴解析式为y=2x2-4x-6.

解法3:

∵图象过A（-1,0）,B（3,0）两点,可设解析式为:

y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a.

∵函数有最小值-8.

∴

=-8.

又∵a≠0,∴a=2.

∴解析式为y=2（x+1）（x-3）=2x2-4x-6.

（3）解:

由顶点坐标（-1,9）可知抛物线对称轴方程是x=-1,又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.

由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A（-4,0）,B（2,0）,设出两根式y=a（x-x1）·

（x-x2）,将A（-4,0）,B（2,0）代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.

点评:

一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点（或任意3对x,y的值）可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;

如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a（x-h）2+k来求解;

若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a（x-x1）（x-x2）.

2.二次函数的图象

例2y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,则点M（a,bc）在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

由图可知:

抛物线开口向上⇒a>

0.

抛物线与y轴负半轴相交⇒c<

0b

⎬

⇒bc>

对称轴x=-2a在y轴右侧⇒b<

0⎪

∴点M（a,bc）在第一象限.答案:

A.

本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.

例3已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,它们在同一坐标系中的大致图象是（）.

一次函数y=ax+c,当a>

0时,图象过一、三象限;

当a<

0时,图象过二、四象限;

c>

0时,直线交y轴于正半轴;

当c<

0时,直线交y轴于负半轴;

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来讲:

⎧开口上下决定a的正负

⎪左同右异（即对称轴在y轴左侧,b的符号

⎪

⎨与a的符号相同;

）来判别b的符号

⎪抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定

⎪⎩c的正负

解:

可用排除法,设当a>

0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;

0时,用同样方法可排除A;

c决定直线与y轴交点;

也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.

答案:

D.

3.二次函数的性质

例4对于反比例函数y=-

与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:

①,②;

再说出它们的两个不同点:

①,②.

本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.

相同点:

①图象都是曲线,②都经过（-1,2）或都经过（2,-1）;

不同点:

①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值.点评:

本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命

题的热点.

4.二次函数的应用

例5已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k,

（1）求证:

此抛物线与x轴总有两个不同的交点.

2

（2）设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x2=-2k2+2k+1.

①求抛物线的解析式.

②设点P（m1,n1）、Q（m2,n2）是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称.求m+m的值.

（1）欲证抛物线与x轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>

0即可.

（2）①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式;

②由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即（m1-m2）（m1+m2+1）=0可求得m1+m2=-1.

（1）证明:

△=（2k+1）2-4（-k2+k）=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.

∵8k2+1>

0,

即△>

0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点.

（2）①由题意得x1+x2=-（2k+1）,x1·

x2=-k2+k.

∵x12+x22=-2k2+2k+1,

∴（x1+x2）2-2x1x2=-2k2+2k+1,即（2k+1）2-2（-k2+k）=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.

∴8k2=0,∴k=0,

∴抛物线的解析式是y=x2+x.

②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称,

∴n1=n2.

又n1=m12+m1,n2=m2+m2.

∴m12+m1=m2+m2,

即（m1-m2）（m1+m2+1）=0.

∵P、Q是抛物上不同的点,

∴m1≠m2,即m1-m2≠0.

∴m1+m2+1=0

即m1+m2=-1.

本题考查二次函数的图象（即抛物线）与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.

二次函数对应练习试题

一、选择题

1.二次函数y=x2-4x-7的顶点坐标是（）

A.（2,－11）B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）

2.把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）

A.y=-2（x+1）2

B.y=-2（x-1）2

C.y=-2x2+1

D.y=-2x2-1

3.函数y=kx2-k和y=k（k≠0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的（）

x

4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,则下列结论:

①a,b同号;

②当x=1和x=3时,函数值相等;

③4a+b=0④当y=-2时,x的值只能取0.

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图）,

由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和

x2=（）

Ａ．-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.3

6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点（ac,bc）在（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

7.方程2x-x2=

的正根的个数为（）

A.0个B.1个C.2个.3个

8.已知抛物线过点A（2,0）,B（-1,0）,与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A.y=x2-x-2B.y=-x2+x+2

C.y=x2-x-2或y=-x2+x+2D.y=-x2-x-2或y=x2+x+2

二、填空题

9．二次函数y=x2+bx+3的对称轴是x=2，则b=。

10．已知抛物线y=-2（x+3）²

+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是

11．一个函数具有下列性质：

①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增

大；

满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。

12．抛物线y=2（x-2）2-6的顶点为C，已知直线y=-kx+3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。

13.二次函数y=2x2-4x-1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=,c=。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（π取3.14）.

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是x+3=0,图象经过（1,-6）,且与y轴的交点为（0,

）.

（1）求这个二次函数的解析式;

（2）当x为何值时,这个函数的函数值为0?

（3）当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式h=v0t-

gt2（0<

t≤2），其

中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v=20米/秒的初速度上升，

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S∆APC：

S∆ACD=5：

4的点P的坐标。

18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：

当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：

“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？

请说明理由．

二次函数应用题训练

1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系：

y=-0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）.

（1）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？

当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？

（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？

A

2、如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC

上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?

3、如图,△ABC中,∠B=90°

AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动;

点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大?

最大面积是多少?

C

Q

APB

4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行

的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;

（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：

球出手时，他跳离地面的高度是多少.

5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为xm.

（1）要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？

（2）如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？

比较

（1）

（2）的结果，你能得到什么结论？

6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：

m=140－2x.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？

最大销售利润为多少？

二次函数对应练习试题参考答案

一，选择题、

1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C二、填空题、

9．b=-4

10．x＜-311．如y=-2x2+4,y=2x+4等（答案不唯一）

12．113．-8714．15

三、解答题

15．

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由题意可得

解得a=-

b=-3,c=-

所以y=-

x2-3x-

（2）x=-1或-5

（2）x<

-3

16．

（1）由已知得，15=20t-

⨯10⨯t2，解得t1=3,t2=1当t=3时不合题意，舍去。

所以当爆竹点燃后1秒离地15米．

（2）由题意得，h=-5t2+20t＝-5（t-2）2+20，可知顶点的横坐标t=2，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．

17．

（1）直线y=x-3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，-3）．则

解得

所以此抛物线解析式为y=x2-2x-3．

（2）抛物线的顶点D（1，－4），与x轴的另一个交点C

（－1，0）.设P（a,a2-2a-3），则（

4

）：

（

）=5:

4,化简得

=5.

当a2-2a-3＞0时，a2-2a-3=5得a=4,a=-2∴P（4，5）或P（－2，5）

当a2-2a-3＜0时，-a2+2a+3=5即a2+2a+2=0，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．

18．

（1）45+

⨯7.5=60（吨）．

（2）y=（x-100）（45+

⨯